Abraham de Moivre - Abraham de Moivre

Abraham de Moivre
Abraham de Moivre
Geboren	( 1667-05-26 )26. Mai 1667 Vitry-le-François , Königreich Frankreich
Ist gestorben	27. November 1754 (1754-11-27)(87 Jahre) London , England
Staatsangehörigkeit	Französisch
Alma Mater	Akademie von Saumur Collège d'Harcourt  [ fr ]
Bekannt für	De Moivre-Formel De Moivre-Gesetz De Moivre-Martingal De Moivre-Laplace-Theorem Einschluss-Ausschluss-Prinzip Generierende Funktionrating
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder	Mathematik
Einflüsse	Isaac Newton

Abraham de Moivre ( Französisch Aussprache: [abʁaam də mwavʁ] ; 26. Mai 1667 - November 27 1754) war ein Französisch Mathematiker bekannt für Moivrescher Satz , eine Formel , dass Links komplexe Zahlen und Trigonometrie , und für seine Arbeiten über die Normalverteilung und Wahrscheinlichkeitstheorie .

Er zog in jungen Jahren aufgrund der religiösen Verfolgung der Hugenotten in Frankreich, die 1685 begann, nach England . Er war ein Freund von Isaac Newton , Edmond Halley und James Stirling . Unter seinen in England im Exil lebenden Hugenotten war er ein Kollege des Herausgebers und Übersetzers Pierre des Maizeaux .

De Moivre schrieb ein Buch über Wahrscheinlichkeitstheorie , The Doctrine of Chances , das angeblich von Spielern geschätzt wurde. De Moivre entdeckte zuerst die Binet-Formel , den geschlossenen Ausdruck für Fibonacci-Zahlen , der die n- te Potenz des Goldenen Schnitts φ mit der n- ten Fibonacci-Zahl verknüpft . Er war auch der erste, der den zentralen Grenzwertsatz postulierte , einen Eckpfeiler der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Leben

Frühe Jahre

Abraham de Moivre wurde am 26. Mai 1667 in Vitry-le-François in der Champagne geboren . Sein Vater Daniel de Moivre war ein Chirurg, der an den Wert der Bildung glaubte. Obwohl Abraham de Moivres Eltern protestantisch waren, besuchte er zuerst die katholische Schule der Christian Brothers in Vitry, die angesichts der religiösen Spannungen in Frankreich zu dieser Zeit ungewöhnlich tolerant war. Als er elf Jahre alt war, schickten ihn seine Eltern an die evangelische Akademie in Sedan , wo er vier Jahre lang Griechisch bei Jacques du Rondel studierte. Die Evangelische Akademie von Sedan war 1579 auf Initiative von Françoise de Bourbon, der Witwe von Henri-Robert de la Marck, gegründet worden.

1682 wurde die protestantische Akademie in Sedan aufgelöst und de Moivre schrieb sich für zwei Jahre in Saumur ein , um Logik zu studieren . Obwohl Mathematik nicht Teil seines Studiums war, las de Moivre selbst mehrere Werke über Mathematik, darunter Éléments des mathématiques des französischen Oratorienpriesters und Mathematikers Jean Prestet und eine kurze Abhandlung über Glücksspiele, De Ratiociniis in Ludo Aleae , von Christiaan Huygens der niederländische Physiker, Mathematiker, Astronom und Erfinder. 1684 zog de Moivre nach Paris, um Physik zu studieren, und erhielt zum ersten Mal eine formale Mathematikausbildung mit Privatunterricht bei Jacques Ozanam .

Am 25. November 2017 wurde in Saumur von Dr. Conor Maguire unter der Schirmherrschaft der französischen Nationalkommission der UNESCO ein Kolloquium organisiert , um den 350 Akademie von Saumur . Das Kolloquium trug den Titel Abraham de Moivre : le Mathématicien, sa vie et son œuvre und behandelte De Moivres wichtige Beiträge zur Entwicklung komplexer Zahlen, siehe De Moivres Formel , und zur Wahrscheinlichkeitstheorie, siehe De Moivre-Laplace-Theorem . Das Kolloquium zeichnete De Moivres Leben und sein Exil in London nach, wo er ein hoch angesehener Freund von Isaac Newton wurde. Nichtsdestotrotz lebte er mit bescheidenen Mitteln, die er teilweise durch seine Sitzungen generierte, in denen er Spieler im Old Slaughter's Coffee House über die Wahrscheinlichkeiten ihrer Bemühungen beriet ! Am 27. November 2016 Professor Christian Genest die McGill University (Montreal) , um den 262. Jahrestag des Todes von Abraham de Moivre mit einem Kolloquium in Limoges den Titel markierte Abraham de Moivre: Génie en exil , die De Moivre berühmte Annäherung der Binomialverteilung diskutierte die inspirierte den zentralen Grenzwertsatz.

Die religiöse Verfolgung in Frankreich wurde schwerwiegend, als König Ludwig XIV . 1685 das Edikt von Fontainebleau erließ , das das Edikt von Nantes aufhob, das den französischen Protestanten erhebliche Rechte eingeräumt hatte. Es verbot den protestantischen Gottesdienst und verlangte, dass alle Kinder von katholischen Priestern getauft werden. De Moivre wurde in die Prieuré Saint-Martin-des-Champs geschickt, eine Schule, in die die Behörden protestantische Kinder zur Indoktrination zum Katholizismus schickten.

Es ist unklar, wann de Moivre die Prieure de Saint-Martin verließ und nach England zog, da die Aufzeichnungen der Prieure de Saint-Martin darauf hinweisen, dass er die Schule 1688 verließ, aber de Moivre und sein Bruder präsentierten sich als Hugenotten, die in die Schule aufgenommen wurden Savoyenkirche in London am 28. August 1687.

Mittlere Jahre

Als er in London ankam, war de Moivre ein kompetenter Mathematiker mit guten Kenntnissen vieler Standardtexte. Um seinen Lebensunterhalt zu verdienen, wurde de Moivre Privatlehrer für Mathematik , besuchte seine Schüler oder unterrichtete in den Kaffeehäusern von London. De Moivre setzte sein Mathematikstudium fort, nachdem er den Earl of Devonshire besucht und Newtons jüngstes Buch Principia Mathematica gesehen hatte . Als er das Buch durchsah, stellte er fest, dass es viel tiefer war als die Bücher, die er zuvor studiert hatte, und er war entschlossen, es zu lesen und zu verstehen. Da er jedoch ausgedehnte Spaziergänge durch London unternehmen musste, um zwischen seinen Schülern zu reisen, hatte de Moivre wenig Zeit zum Lernen, also riss er Seiten aus dem Buch und trug sie in seiner Tasche herum, um zwischen den Unterrichtsstunden zu lesen.

Laut einer möglicherweise apokryphen Geschichte verwies Newton in den späteren Jahren seines Lebens Leute, die ihm mathematische Fragen stellten, an de Moivre und sagte: "Er weiß all diese Dinge besser als ich."

1692 freundete sich de Moivre mit Edmond Halley und bald darauf mit Isaac Newton selbst an. Im Jahr 1695 übermittelte Halley der Royal Society de Moivres erste mathematische Arbeit, die aus seinem Studium der Fluxionen in der Principia Mathematica entstand . Dieses Papier wurde im selben Jahr in den Philosophical Transactions veröffentlicht. Kurz nach der Veröffentlichung dieses Artikels verallgemeinerte de Moivre auch Newtons bemerkenswerten Binomialsatz zum Multinomialsatz . Die Royal Society wurde 1697 von dieser Methode in Kenntnis gesetzt und zwei Monate später wurde de Moivre Mitglied.

Nachdem de Moivre angenommen worden war, ermutigte ihn Halley, sich der Astronomie zuzuwenden. 1705 entdeckte de Moivre intuitiv, dass "die Zentripetalkraft eines Planeten direkt mit seinem Abstand vom Zentrum der Kräfte und umgekehrt mit dem Produkt aus dem Durchmesser der Evolute und der Kubik der Lotrechten auf der Tangente zusammenhängt". ." Mit anderen Worten, wenn ein Planet M einer elliptischen Bahn um einen Brennpunkt F folgt und einen Punkt P hat, an dem PM tangential zur Kurve ist und FPM ein rechter Winkel ist, so dass FP die Senkrechte zur Tangente ist, dann ist die Zentripetalkraft am Punkt P ist proportional zu FM/(R*(FP) ³ ) wobei R der Krümmungsradius bei M ist. Der Mathematiker Johann Bernoulli bewies diese Formel 1710.

Trotz dieser Erfolge konnte de Moivre an keiner Universität einen Lehrstuhl für Mathematik bekommen, was ihn von seiner Abhängigkeit von zeitraubender Nachhilfe befreit hätte, die ihn mehr als die meisten anderen Mathematiker seiner Zeit belastete. Zumindest ein Teil des Grundes war eine Voreingenommenheit gegenüber seiner französischen Herkunft.

Im November 1697 wurde er zum Fellow der Royal Society gewählt und 1712 neben MM in eine von der Gesellschaft eingesetzte Kommission berufen. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston und Taylor, um die Behauptungen von Newton und Leibniz zu überprüfen, wer die Infinitesimalrechnung entdeckt hat. Die vollständigen Details der Kontroverse finden sich im Artikel zur Kontroverse über Leibniz und Newton .

Zeit seines Lebens blieb de Moivre arm. Es wird berichtet, dass er regelmäßiger Gast des alten Slaughter's Coffee House , St. Martin's Lane in der Cranbourn Street war, wo er ein wenig Geld mit Schachspielen verdiente.

Spätere Jahre

De Moivre studierte bis zu seinem Tod im Jahr 1754 weiterhin die Gebiete der Wahrscheinlichkeit und Mathematik, und nach seinem Tod wurden mehrere weitere Arbeiten veröffentlicht. Als er älter wurde, wurde er zunehmend lethargisch und brauchte längere Schlafzeiten. Eine weit verbreitete, wenn auch umstrittene Behauptung ist, dass er bemerkte, dass er jede Nacht 15 Minuten länger schlief, und das Datum seines Todes korrekt als den Tag berechnete, an dem die Schlafzeit 24 Stunden erreichte, den 27. November 1754 starb in London und sein Leichnam wurde in St. Martin-in-the-Fields begraben , obwohl sein Leichnam später verlegt wurde.

Wahrscheinlichkeit

De Moivre leistete Pionierarbeit bei der Entwicklung der analytischen Geometrie und der Wahrscheinlichkeitstheorie, indem er die Arbeit seiner Vorgänger, insbesondere Christiaan Huygens und mehrerer Mitglieder der Familie Bernoulli, erweiterte. Er produzierte auch das zweite Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie, The Doctrine of Chances: eine Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen im Spiel . (Das erste Buch über Glücksspiele, Liber de ludo aleae ( Über den Würfelwurf ), wurde in den 1560er Jahren von Girolamo Cardano geschrieben , aber erst 1663 veröffentlicht.) Dieses Buch erschien in vier Auflagen, 1711 in lateinischer Sprache, und in Englisch in den Jahren 1718, 1738 und 1756. In den späteren Ausgaben seines Buches fügte de Moivre sein unveröffentlichtes Ergebnis von 1733 hinzu, das die erste Aussage über eine Annäherung an die Binomialverteilung in Bezug auf das ist, was wir heute das normale or Gaußsche Funktion . Dies war die erste Methode, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Fehlers einer bestimmten Größe zu ermitteln, wenn dieser Fehler in Form der Variabilität der Verteilung als Einheit ausgedrückt wird, und die erste Identifizierung der Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers . Darüber hinaus wandte er diese Theorien auf Glücksspielprobleme und versicherungsmathematische Tabellen an .

Ein in der Wahrscheinlichkeit häufig vorkommender Ausdruck ist n! aber vor den Tagen der Taschenrechner, die n berechnen! für ein großes n war zeitaufwendig. 1733 schlug de Moivre die Formel zur Schätzung einer Fakultät als n ! =  cn ^(n+1/2) e ⁻ⁿ . Er erhielt einen ungefähren Ausdruck für die Konstante c, aber James Stirling fand heraus, dass c √ 2 π ist .

De Moivre veröffentlichte auch einen Artikel mit dem Titel "Annuities upon Lives", in dem er die normale Verteilung der Sterblichkeitsrate über das Alter einer Person aufzeigte. Daraus entwickelte er eine einfache Formel, um die Einnahmen aus den jährlichen Zahlungen basierend auf dem Alter einer Person zu approximieren. Dies ist vergleichbar mit den Arten von Formeln, die heute von Versicherungsunternehmen verwendet werden.

Priorität bezüglich der Poisson-Verteilung

Einige Ergebnisse zur Poisson-Verteilung wurden zuerst von de Moivre in De Mensura Sortis seu vorgestellt; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus in Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. Infolgedessen haben einige Autoren argumentiert, dass die Poisson-Verteilung den Namen de Moivre tragen sollte.

Die Formel von De Moivre

1707 leitete de Moivre eine Gleichung ab, aus der man ableiten kann:

${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\ cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}$

was er für alle positiven ganzen Zahlen  n beweisen konnte . 1722 stellte er Gleichungen vor, aus denen man die bekanntere Form der de Moivre-Formel ableiten kann :

${\displaystyle (\cos x+i\sinx)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}$

1749 bewies Euler diese Formel für jedes reelle n unter Verwendung der Eulerschen Formel , was den Beweis recht einfach macht. Diese Formel ist wichtig, weil sie komplexe Zahlen und Trigonometrie in Beziehung setzt . Außerdem ermöglicht diese Formel die Ableitung nützlicher Ausdrücke für cos( nx ) und sin( nx ) in Form von cos( x ) und sin( x ).

Näherung nach Stirling

De Moivre hatte die Wahrscheinlichkeit studiert, und für seine Untersuchungen musste er Binomialkoeffizienten berechnen, die wiederum Fakultäten berechnen mussten. 1730 veröffentlichte de Moivre sein Buch Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Analytic Miscellany of Series and Integrals], das Log-Tabellen ( n !) enthielt . Für große Werte von n approximierte de Moivre die Koeffizienten der Terme in einer Binomialentwicklung. Insbesondere bei einer gegebenen positiven ganzen Zahl n , wobei n gerade und groß ist, wird der Koeffizient des mittleren Termes von (1 + 1) ⁿ durch die Gleichung angenähert:

${\displaystyle {n \choose n/2}={\frac {n!}{(({\frac {n}{2}})!)^{2}}}\approx {2^{n}} {\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}} }$

Am 19. Juni 1729 schickte James Stirling einen Brief an de Moivre, der veranschaulichte, wie er den Koeffizienten des Mittelterms einer Binomialentwicklung (a + b) ⁿ für große Werte von n berechnete. 1730 veröffentlichte Stirling sein Buch Methodus Differentialis [Die Differentialmethode], in das er seine Reihe für log ( n !) einfügte:

${\displaystyle \log_{10}(n+{\frac {1}{2}})!\approx \log_{10}{\sqrt {2\pi}}+n\log_{10}n- {\frac{n}{\ln 10}}}$,

damit für große , . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi}}({\frac {n}{e}})^{n}}$

Am 12. November 1733 veröffentlichte und verteilte de Moivre privat eine Broschüre – Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Approximation of the Sum of the Terms of the Binomial (a + b) ⁿ extended in a Series ] – in dem er den Brief von Stirling zur Kenntnis nahm und einen alternativen Ausdruck für den zentralen Begriff einer binomialen Expansion vorschlug.

Siehe auch

• De Moivre-Nummer
• De Moivre quintic
• Wirtschaftsmodell
• Gauß-Integral
• Poisson-Verteilung

Anmerkungen

Verweise

• Siehe Miscellanea Analytica von de Moivre (London: 1730), S. 26–42.
• HJR Murray , 1913. Geschichte des Schachs . Oxford University Press: S. 846.
• Schneider, I., 2005, "Die Lehre vom Zufall" in Grattan-Guinness, I. , Hrsg., Landmark Writings in Western Mathematics . Sonst: S. 105–20

Weiterlesen

• "de Moivre, Abraham" . Archiviert vom Original am 19. Dezember 2007 . Abgerufen am 15. Juni 2002 .
• Die Doktrin des Zufalls bei MathPages.
• Biographie (PDF) , Matthew Matys Biographie von Abraham De Moivre, übersetzt, kommentiert und erweitert .
• Auszug aus Trigonometric Delights (toter Link)
• de Moivre, Über das Gesetz der normalen Wahrscheinlichkeit