Reichlich Zahl - Abundant number

Demonstration der Fülle der Zahl 12 . mit Cuisenaire-Ruten

In der Zahlentheorie ist eine reichlich vorhandene Zahl oder eine übermäßige Zahl eine Zahl, bei der die Summe ihrer echten Teiler größer ist als die Zahl. Die ganze Zahl 12 ist die erste häufige Zahl. Seine richtigen Teiler sind 1, 2, 3, 4 und 6 für insgesamt 16. Der Betrag, um den die Summe die Zahl übersteigt, ist die Fülle . Die Zahl 12 hat zum Beispiel eine Fülle von 4.

Definition

Eine Zahl n, für die die Summe der Teiler σ ( n ) > 2 n oder äquivalent die Summe der echten Teiler (oder die Aliquotsumme ) s ( n ) > n ist .

Die Fülle ist der Wert σ ( n ) − 2n (oder s ( n ) − n ).

Beispiele

Die ersten 28 reichlich vorhandenen Zahlen sind:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (Sequenz A005101 im OEIS ).

Zum Beispiel sind die richtigen Teiler von 24 1, 2, 3, 4, 6, 8 und 12, deren Summe 36 ist. Da 36 größer als 24 ist, ist die Zahl 24 reichlich vorhanden. Seine Häufigkeit beträgt 36 − 24 = 12.

Eigenschaften

• Die kleinste ungerade häufig vorkommende Zahl ist 945.
• Die kleinste häufige Zahl, die nicht durch 2 oder 3 teilbar ist, ist 5391411025, deren verschiedene Primfaktoren 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29 sind (Sequenz A047802 im OEIS ). Ein Algorithmus von Iannucci aus dem Jahr 2005 zeigt, wie man die kleinste häufige Zahl findet, die nicht durch die ersten k Primzahlen teilbar ist . Stellt die kleinste häufige Zahl dar, die nicht durch die ersten k Primzahlen teilbar ist, dann haben wir für alles${\displaystyle A(k)}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon)(k\lnk)^{2-\epsilon}<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\lnk)^{2+\epsilon}}$

für ausreichend großes k .

• Jedes Vielfache einer perfekten Zahl ist reichlich vorhanden. Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 6 reichlich vorhanden, weil${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• Jedes Vielfache einer reichlichen Zahl ist reichlich vorhanden. Zum Beispiel ist jedes Vielfache von 20 (einschließlich 20 selbst) reichlich vorhanden, weil${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\frac {n}{10}}.}$
• Folglich existieren unendlich viele gerade und ungerade reichliche Zahlen.
• Darüber hinaus hat die Menge der reichlich vorhandenen Zahlen eine natürliche Dichte ungleich Null . Marc Deléglise zeigte 1998, dass die natürliche Dichte der Menge der reichlich vorhandenen Zahlen und der vollkommenen Zahlen zwischen 0,2474 und 0,2480 liegt.
• Eine reichlich vorhandene Zahl, die nicht das Vielfache einer reichlichen Zahl oder einer perfekten Zahl ist (dh alle ihre echten Teiler sind defizient), heißt eine primitive reichliche Zahl
• Eine reichlich vorhandene Zahl, deren Häufigkeit größer ist als jede niedrigere Zahl, wird als hochhäufige Zahl bezeichnet, und eine Zahl, deren relative Häufigkeit (dh s(n)/n ) größer als jede niedrigere Zahl ist, wird als überzählige Zahl bezeichnet
• Jede ganze Zahl größer als 20161 kann als Summe zweier häufiger Zahlen geschrieben werden.
• Eine häufig vorkommende Zahl, die keine semiperfekte Zahl ist, wird als seltsame Zahl bezeichnet . Eine reichlich vorhandene Zahl mit der Häufigkeit 1 wird als quasiperfekte Zahl bezeichnet , obwohl noch keine gefunden wurde.

Verwandte konzepte

Euler Diagramm von reichlich , primitiven reichlich , sehr reichlich , überreichlich , kolossal reichlich , sehr Verbund , überlegen hoch Composite , seltsam und perfekten Zahlen unter 100 in Bezug auf einen Mangel und zusammengesetzte Zahlen

Zahlen, deren Summe der Eigenfaktoren der Zahl selbst entspricht (wie 6 und 28), werden als perfekte Zahlen bezeichnet , während Zahlen, deren Summe der Eigenfaktoren kleiner als die Zahl selbst ist, als defiziente Zahlen bezeichnet werden . Die erste bekannte Klassifizierung von Zahlen als mangelhaft, perfekt oder reichlich war von Nikomachus in seiner Introductio Arithmetica (um 100 n.

Der Häufigkeitsindex von n ist das Verhältnis σ ( n )/ n . Eindeutige Zahlen n ₁ , n ₂ , ... (ob reichlich vorhanden oder nicht) mit demselben Häufigkeitsindex werden freundliche Zahlen genannt .

Die Sequenz ( a _k ) der kleinsten Zahl n derart , dass σ ( n )> kn , in der ein ₂ = 12 entspricht die erste Abundante Zahl, wächst sehr schnell (Sequenz A134716 im OEIS ).

Die kleinste ungerade ganze Zahl mit einem Abundanzindex über 3 ist 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.

Wenn p = ( p ₁ , ..., p _n ) eine Liste von Primzahlen ist, dann ist p wird als reichlich vorhanden , wenn einige ganzzahlige nur die Primzahlen in bestehend p reichlich vorhanden sind. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass das Produkt von p _i /( p _i − 1) > 2 ist.

Verweise

• Tattersall, James J. (2005). Elementare Zahlentheorie in neun Kapiteln (2. Aufl.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl  1071.11002 .

Externe Links

• Das Prime-Glossar: Unzählige Zahl
• Weisstein, Eric W. "Abundant Number" . MathWorld .
• Reichlich Zahl bei PlanetMath .