Beschleunigung - Acceleration

Beschleunigung
Schwerkraft gravita grave.gif
Im Vakuum (kein Luftwiderstand ) gewinnen Objekte, die von der Erde angezogen werden, stetig an Geschwindigkeit.
Gemeinsame Symbole
ein
SI-Einheit m/s 2 , m·s -2 , m s -2
Ableitungen von
anderen Mengen
Abmessungen

In der Mechanik , die Beschleunigung ist die Rate der Änderung der Geschwindigkeit eines Objekts in Bezug auf die Zeit. Beschleunigungen sind Vektorgrößen (da sie Betrag und Richtung haben ). Die Ausrichtung eines Beschleunigungs des Objekts wird durch die Ausrichtung der gegebene Nettokraft auf dem Objekt einwirkt. Die Größe der Beschleunigung eines Objekts, wie sie durch das zweite Newtonsche Gesetz beschrieben wird , ist die kombinierte Wirkung von zwei Ursachen:

  • die Nettobilanz aller auf dieses Objekt einwirkenden äußeren Kräfte – die Größe ist direkt proportional zu dieser resultierenden Nettokraft;
  • die Masse dieses Objekts , abhängig von den Materialien, aus denen es besteht – die Größe ist umgekehrt proportional zur Masse des Objekts.

Die SI- Einheit für die Beschleunigung ist Meter pro Sekunde zum Quadrat ( m⋅s −2 , ).

Wenn ein Fahrzeug beispielsweise aus dem Stillstand (Geschwindigkeit Null, in einem Trägheitsbezugssystem ) startet und mit zunehmender Geschwindigkeit geradeaus fährt, beschleunigt es in Fahrtrichtung. Wenn das Fahrzeug wendet, tritt eine Beschleunigung in die neue Richtung auf und ändert seinen Bewegungsvektor. Die Beschleunigung des Fahrzeugs in seiner aktuellen Bewegungsrichtung wird als lineare (oder bei Kreisbewegungen tangentiale ) Beschleunigung bezeichnet, deren Reaktion die Passagiere an Bord als Kraft empfinden, die sie in ihre Sitze zurückdrängt. Beim Richtungswechsel wird die einwirkende Beschleunigung als Radialbeschleunigung (bzw. bei Kreisbewegungen orthogonal) bezeichnet, deren Reaktion die Insassen als Fliehkraft erfahren . Wenn die Geschwindigkeit des Fahrzeugs abnimmt, ist dies eine Beschleunigung in die entgegengesetzte Richtung und rechnerisch eine negative , manchmal auch Verzögerung genannt , und die Passagiere erleben die Reaktion auf die Verzögerung als eine Trägheitskraft , die sie nach vorne drückt. Solche negativen Beschleunigungen werden oft durch das Brennen von Retroraketen in Raumfahrzeugen erreicht . Sowohl Beschleunigung als auch Verzögerung werden gleich behandelt, beides sind Geschwindigkeitsänderungen. Jede dieser Beschleunigungen (tangential, radial, Verzögerung) wird von den Passagieren gefühlt, bis ihre relative (Differenz-)Geschwindigkeit in Bezug auf das Fahrzeug neutralisiert ist .

Definition und Eigenschaften

Kinematische Größen eines klassischen Teilchens: Masse m , Ort r , Geschwindigkeit v , Beschleunigung a .

Durchschnittliche Beschleunigung

Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderungsrate. An jedem Punkt einer Trajektorie ist die Größe der Beschleunigung durch die Geschwindigkeitsänderung sowohl in Größe als auch in Richtung an diesem Punkt gegeben. Die wahre Beschleunigung zum Zeitpunkt t findet sich im Grenzwert als Zeitintervall Δ t → 0 von Δ vt

Ein durchschnittliche Beschleunigung des Objekts über einen Zeitraum von der Zeit ist die Änderung der Geschwindigkeit durch die Dauer der Periode geteilt . Mathematisch,

Sofortige Beschleunigung

Von unten nach oben :
  • eine Beschleunigungsfunktion a ( t ) ;
  • das Integral der Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsfunktion v ( t ) ;
  • und das Integral der Geschwindigkeit ist die Distanzfunktion s ( t ) .

Die augenblickliche Beschleunigung hingegen ist die Grenze der durchschnittlichen Beschleunigung über ein infinitesimales Zeitintervall. In den Bedingungen Kalkül ist die momentane Beschleunigung Derivat des Geschwindigkeitsvektors bezüglich der Zeit:

Da die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t und die Geschwindigkeit als die Ableitung der Position x nach der Zeit definiert ist, kann man sich die Beschleunigung als die zweite Ableitung von x nach t vorstellen :

(Hier und an anderer Stelle, wenn eine Bewegung in einer geraden Linie , Vektor - Mengen können substituiert sein Skalare in den Gleichungen.)

Nach dem fundamentalen Theorem der Infinitesimalrechnung kann man sehen, dass das Integral der Beschleunigungsfunktion a ( t ) die Geschwindigkeitsfunktion v ( t ) ist ; das heißt, die Fläche unter der Kurve eines Beschleunigungs-Zeit- Graphen ( a vs. t ) entspricht der Geschwindigkeit.

Ebenso das Integral der Ruckfunktion j ( t ) kann die Ableitung der Beschleunigungsfunktion verwendet werden , eine gewisse Zeit zu finden Beschleunigung bei:

Einheiten

Beschleunigung hat die Dimensionen Geschwindigkeit (L/T) dividiert durch Zeit, dh L T –2 . Die SI- Einheit der Beschleunigung ist Meter pro Sekunde zum Quadrat (ms -2 ); oder "Meter pro Sekunde pro Sekunde", da sich die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde jede Sekunde um den Beschleunigungswert ändert.

Andere Formen

Ein Objekt, das sich kreisförmig bewegt – beispielsweise ein Satellit, der die Erde umkreist – beschleunigt aufgrund der Änderung der Bewegungsrichtung, obwohl seine Geschwindigkeit konstant sein kann. In diesem Fall spricht man von einer zentripetalen (zum Zentrum gerichteten) Beschleunigung.

Die richtige Beschleunigung , die Beschleunigung eines Körpers relativ zu einem freien Fall, wird von einem Instrument namens Beschleunigungsmesser gemessen .

In der klassischen Mechanik , für einen Körper mit konstanter Masse, die (Vektor) Beschleunigung des Massenmittelpunktes des Körpers ist proportional zu dem Nettokraft - Vektor (dh Summe aller Kräfte) , die auf ihr ( Newtons zweites Gesetz ):

Dabei ist F die auf den Körper wirkende Nettokraft, m die Masse des Körpers und a die Schwerpunktbeschleunigung. Wenn sich die Geschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit nähern , werden relativistische Effekte immer größer.

Tangentiale und Zentripetalbeschleunigung

Ein oszillierendes Pendel mit markierter Geschwindigkeit und Beschleunigung. Es erfährt sowohl Tangential- als auch Zentripetalbeschleunigung.
Beschleunigungskomponenten für eine gekrümmte Bewegung. Die Tangentialkomponente a t ist auf die Änderung der Verfahrgeschwindigkeit zurückzuführen und zeigt entlang der Kurve in Richtung des Geschwindigkeitsvektors (oder in die entgegengesetzte Richtung). Die Normalkomponente (bei Kreisbewegung auch Zentripetalkomponente genannt) a c entsteht durch die Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors und ist senkrecht zur Trajektorie, in Richtung Krümmungsmittelpunkt der Bahn weisend.

Die Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich auf einer gekrümmten Bahn bewegt, als Funktion der Zeit kann geschrieben werden als:

mit v ( t ) gleich der Fahrgeschwindigkeit entlang der Bahn, und

ein Einheitsvektor tangential zur Bahn, der zum gewählten Zeitpunkt in Bewegungsrichtung zeigt. Berücksichtigt man sowohl die sich ändernde Geschwindigkeit v ( t ) als auch die sich ändernde Richtung von u t , kann die Beschleunigung eines Teilchens, das sich auf einer gekrümmten Bahn bewegt, mit Hilfe der Kettenregel der Differentiation für das Produkt zweier Zeitfunktionen geschrieben werden als:

wobei U n die Einheit (nach innen) ist Normalvektor zur Flugbahn des Teilchens (auch bezeichnet als die Hauptnormal ) und r ist dessen momentaner Krümmungsradius auf dem basierend Schmiegkreises zum Zeitpunkt t . Diese Komponenten werden Tangentialbeschleunigung und Normal- oder Radialbeschleunigung (bzw. Zentripetalbeschleunigung bei Kreisbewegungen, siehe auch Kreisbewegung und Zentripetalkraft ) genannt.

Die geometrische Analyse dreidimensionaler Raumkurven, die Tangente, (Haupt-)Normale und Binormale erklärt, wird durch die Frenet-Serret-Formeln beschrieben .

Sonderfälle

Gleichmäßige Beschleunigung

Berechnung der Geschwindigkeitsdifferenz für eine gleichmäßige Beschleunigung

Gleichmäßige oder konstante Beschleunigung ist eine Art von Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit eines Objekts in jedem gleichen Zeitraum um den gleichen Betrag ändert.

Ein häufig zitiertes Beispiel für eine gleichmäßige Beschleunigung ist das eines Objekts im freien Fall in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld. Die Beschleunigung eines fallenden Körpers in Abwesenheit von Resistenzen gegen Bewegung nur auf der abhängig ist Gravitationsfeld Stärke g (auch aufgrund der Schwerkraft - Beschleunigung ). Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die auf einen Körper wirkende Kraft gegeben durch:

Wegen der einfachen analytischen Eigenschaften des Falles konstanter Beschleunigung gibt es einfache Formeln, die die Verschiebung , die Anfangs- und zeitabhängigen Geschwindigkeiten und die Beschleunigung mit der verstrichenen Zeit in Beziehung setzen :

wo

  • ist die verstrichene Zeit,
  • ist die anfängliche Verschiebung vom Ursprung,
  • ist die zeitliche Verschiebung vom Ursprung ,
  • ist die Anfangsgeschwindigkeit,
  • ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt und
  • ist die gleichmäßige Beschleunigung.

Insbesondere kann die Bewegung in zwei orthogonale Teile aufgelöst werden, einer mit konstanter Geschwindigkeit und der andere gemäß den obigen Gleichungen. Wie Galileo gezeigt hat, ist das Nettoergebnis eine parabolische Bewegung, die z. B. die Flugbahn eines Projektils im Vakuum nahe der Erdoberfläche.

Kreisbewegung

Positionsvektor r , zeigt immer radial vom Ursprung.
Geschwindigkeitsvektor v , immer tangential zur Bewegungsbahn.
Beschleunigungsvektor a , nicht parallel zur Radialbewegung, sondern versetzt durch die Winkel- und Coriolisbeschleunigung, noch tangential zur Bahn, sondern versetzt durch die Zentripetal- und Radialbeschleunigung.
Kinematische Vektoren in ebenen Polarkoordinaten . Beachten Sie, dass das Setup nicht auf den 2D-Raum beschränkt ist, sondern die oskulierende Ebene in einem Punkt einer beliebigen Kurve in jeder höheren Dimension darstellen kann.

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung , also einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn, erfährt ein Teilchen eine Beschleunigung, die sich aus der Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ergibt, während seine Größe konstant bleibt. Die Ableitung des Ortes eines Punktes auf einer Kurve nach der Zeit, dh seine Geschwindigkeit, ist immer genau tangential zur Kurve bzw. orthogonal zum Radius in diesem Punkt. Da sich bei gleichförmiger Bewegung die Geschwindigkeit in tangentialer Richtung nicht ändert, muss die Beschleunigung in radialer Richtung zum Kreismittelpunkt gerichtet sein. Diese Beschleunigung ändert ständig die Richtung der tangentialen Geschwindigkeit im Nachbarpunkt, wodurch der Geschwindigkeitsvektor entlang des Kreises gedreht wird.

  • Bei gegebener Geschwindigkeit ist der Betrag dieser geometrisch bedingten Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) umgekehrt proportional zum Radius des Kreises und nimmt mit dem Quadrat dieser Geschwindigkeit zu:
  • Beachten Sie, dass bei einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit die Zentripetalbeschleunigung direkt proportional zum Radius ist . Dies liegt an der Abhängigkeit der Geschwindigkeit vom Radius .

Das Ausdrücken des Zentripetalbeschleunigungsvektors in polaren Komponenten, wobei ein Vektor vom Mittelpunkt des Kreises zum Teilchen mit einer Größe gleich diesem Abstand ist, und unter Berücksichtigung der Orientierung der Beschleunigung zum Mittelpunkt ergibt

Wie bei Rotationen üblich, kann die Geschwindigkeit eines Teilchens als Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf einen Punkt in der Entfernung ausgedrückt werden als

Daher

Diese Beschleunigung und die Masse des Teilchens bestimmen die notwendige Zentripetalkraft , gerichtet in Richtung der Mitte des Kreises, da die Nettokraft auf diesem Teilchens wirkt , es zu halten in dieser gleichförmigen Kreisbewegung. Die sogenannte ' Zentrifugalkraft ', die nach außen auf den Körper zu wirken scheint, ist eine sogenannte Pseudokraft, die im Bezugssystem des Körpers bei Kreisbewegungen aufgrund des linearen Impulses des Körpers , einem Vektor tangential zum Kreis , erfahren wird der Bewegung.

Bei einer ungleichmäßigen Kreisbewegung, dh die Geschwindigkeit entlang der Kurvenbahn ändert sich, hat die Beschleunigung eine zur Kurve tangentiale Komponente ungleich Null und ist nicht auf die Hauptnormale beschränkt , die auf den Mittelpunkt des Schmiegkreises gerichtet ist, dass bestimmt den Radius für die Zentripetalbeschleunigung. Die Tangentialkomponente ergibt sich aus der Winkelbeschleunigung , dh der Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit mal dem Radius . Das ist,

Das Vorzeichen der Tangentialkomponente der Beschleunigung wird durch das Vorzeichen der Winkelbeschleunigung ( ) bestimmt und die Tangente ist immer rechtwinklig zum Radiusvektor gerichtet.

Bezug zur Relativität

Spezielle Relativität

Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt das Verhalten von Objekten, die sich relativ zu anderen Objekten mit Geschwindigkeiten bewegen, die sich der von Licht im Vakuum annähern. Die Newtonsche Mechanik erweist sich genau als eine Annäherung an die Realität, die bei niedrigeren Geschwindigkeiten mit großer Genauigkeit gültig ist. Da die relevanten Geschwindigkeiten in Richtung Lichtgeschwindigkeit ansteigen, folgt die Beschleunigung nicht mehr den klassischen Gleichungen.

Wenn sich die Geschwindigkeit der des Lichts nähert, nimmt die von einer gegebenen Kraft erzeugte Beschleunigung ab und wird bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit verschwindend klein; ein Körper mit Masse kann sich dieser Geschwindigkeit asymptotisch nähern , aber nie erreichen.

Generelle Relativität

Wenn der Bewegungszustand eines Objekts nicht bekannt ist, ist es unmöglich zu unterscheiden, ob eine beobachtete Kraft auf Gravitation oder Beschleunigung zurückzuführen ist – Gravitation und Trägheitsbeschleunigung haben identische Wirkungen. Albert Einstein nannte dies das Äquivalenzprinzip und sagte, dass nur Beobachter, die überhaupt keine Kraft – einschließlich der Schwerkraft – spüren, berechtigt sind, zu dem Schluss zu kommen, dass sie nicht beschleunigen.

Konvertierungen

Umrechnungen zwischen gängigen Beschleunigungseinheiten
Basiswert ( Gal oder cm / s 2 ) ( ft/s 2 ) ( M / s 2 ) ( Standardschwerkraft , g 0 )
1 Gal oder cm/s 2 1 0,032 8084 0,01 0,001 019 72
1 Fuß/s 2 30.4800 1 0,304 800 0,031 0810
1 m / s 2 100 3.280 84 1 0,101 972
1 g 0 980.665 32.1740 9.806 65 1

Siehe auch

Verweise

Externe Links