Albanische Sorte - Albanese variety

In der Mathematik ist die Albanese-Variante , benannt nach Giacomo Albanese , eine Verallgemeinerung der Jacobi-Variante einer Kurve. ${\displaystyle A(V)}$

Präzise Aussage

Die Sorte Albanese ist die abelsche Sorte, die von einer Sorte erzeugt wird, die einen bestimmten Punkt der Identität von annimmt . Mit anderen Worten, es gibt einen Morphismus von der Varietät zu seiner Albanese Varietät , so dass jeder Morphismus von zu einer abelschen Varietät (wobei der gegebene Punkt zur Identität genommen wird) eindeutig durch faktorisiert . Für komplexe Mannigfaltigkeiten definierte André Blanchard ( 1956 ) die albanische Varietät auf ähnliche Weise als Morphismus von zu einem Torus, so dass jeder Morphismus zu einem Torus eindeutig durch diese Karte faktorisiert. (In diesem Fall handelt es sich um eine analytische Varietät; sie muss nicht algebraisch sein.) ${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Eigenschaften

Für kompakte Kähler Mannigfaltigkeiten ist die Dimension der Albanese Varietät die Hodge-Zahl , die Dimension des Raumes von Differentialen erster Art auf , die für Flächen die Unregelmäßigkeit einer Fläche genannt wird . In Bezug auf Differentialformen ist jede holomorphe 1-Form auf der albanesischen Varietät ein Pullback der translationsinvarianten 1-Form, die aus dem holomorphen Kotangensraum von an ihrem Identitätselement kommt. Ebenso wie im Kurvenfall wird durch Wahl eines Basispunktes auf (von dem aus 'integriert') ein albanischer Morphismus${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\to\operatorname {Alb} (V)}$

definiert ist, entlang der sich die 1-Formen zurückziehen. Dieser Morphismus ist bis auf eine Übersetzung auf die albanische Varietät einzigartig. Bei Sorten über Feldern mit positiven Eigenschaften kann die Dimension der Albanesischen Sorte kleiner sein als die Hodge-Zahlen und (die nicht gleich sein müssen). Die erstere Anmerkung zu sehen, dass die Albanese-Sorte dual zur Picard-Sorte ist , deren Tangentialraum an der Identität durch Das ist ein Ergebnis von Jun-ichi Igusa in der Bibliographie. ${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}}$${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$

Satz von Roitman

Wenn der Grundkörper k ist algebraisch abgeschlossen , die Albanese Karte kann zu Faktor über einen Gruppenhomomorphismus gezeigt werden (auch genannt Albanese Karte ) ${\displaystyle V\to\operatorname {Alb} (V)}$

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

von der Chow-Gruppe der 0-dimensionalen Zyklen auf V zur Gruppe der rationalen Punkte von , die eine abelsche Gruppe ist, da sie eine abelsche Varietät ist. ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Der Satz von Roitman , eingeführt von AA Rojtman ( 1980 ), behauptet, dass die albanische Abbildung für l prim zu char( k ) einen Isomorphismus auf den l- Torsionsuntergruppen induziert . Ersetzen der Chow-Gruppe durch die algebraische singuläre Homologie von Suslin-Voevodsky nach der Einführung der motivischen Kohomologie Der Satz von Roitman wurde erhalten und im motivischen Rahmen umformuliert. Ein ähnliches Ergebnis gilt beispielsweise für nicht singuläre quasiprojektive Varietäten. Für normale Schemata stehen weitere Versionen des Roitmanschen Theorems zur Verfügung. Tatsächlich beinhalten die allgemeinsten Formulierungen des Roitman-Theorems (dh homologisch, kohomologisch und Borel-Moore ) den motivischen Albanese-Komplex und wurden von Luca Barbieri-Viale und Bruno Kahn bewiesen (siehe Literaturhinweise III.13). ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$

Verbindung zur Picard-Sorte

Die Sorte Albanese ist dual zur Sorte Picard (die verbundene Komponente der Null des Picard-Schemas , das invertierbare Garben auf V klassifiziert ):

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee}.}$

Für algebraische Kurven impliziert das Abel-Jacobi-Theorem , dass die Albanese- und Picard-Varietäten isomorph sind.

Siehe auch

• Mittelstufe Jacobi
• Albanisches Schema
• Motivischer Albaner

Hinweise & Referenzen

• Barbieri-Viale, Luca; Kahn, Bruno (2016), Zur abgeleiteten Kategorie der 1-Motive , Astérisque, 381 , SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179 , MR  3545132
• Blanchard, André (1956), "Sur les variétés analytiques complexes", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN  0012-9593 , MR  0087184
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Prinzipien der algebraischen Geometrie . Wiley Classics-Bibliothek. Wiley Interscience. S. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Igusa, Jun-ichi (1955). "Eine grundlegende Ungleichung in der Theorie der Picard-Varietäten" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 41 (5): 317–20. Bibcode : 1955PNAS...41..317I . doi : 10.1073/pnas.41.5.317 . PMC  528086 . PMID  16589672 .
• Parshin, Aleksei N. (2001) [1994], "Albanese_variety" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press