Aleph-Zahl - Aleph number

Aleph-Null, Aleph-Null oder Aleph-Null, die kleinste unendliche Kardinalzahl

In der Mathematik , insbesondere in der Mengenlehre , die Alef Zahlen sind eine Folge von Zahlen verwendet , um die repräsentiert Kardinalität (oder Größe) der unendlichen Mengen das sein kann gut geordneten . Sie wurden vom Mathematiker Georg Cantor eingeführt und sind nach dem von ihm verwendeten Symbol benannt, dem hebräischen Buchstaben Aleph ( ).

Die Kardinalität der natürlichen Zahlen ist (read Alef-naught oder Alef-Null ; der Begriff Alef-null wird auch manchmal verwendet wird ), wird die nächste größere Kardinalität eines gut bestellbaren Set ist Alef-one dann und so weiter. Auf diese Weise fortfahrend ist es möglich, wie unten beschrieben für jede Ordnungszahl eine Kardinalzahl zu definieren .

Konzept und Notation gehen auf Georg Cantor zurück , der den Kardinalitätsbegriff definierte und erkannte, dass unendliche Mengen unterschiedliche Kardinalitäten haben können .

Die Aleph-Zahlen unterscheiden sich von der Unendlichkeit ( ), die üblicherweise in Algebra und Infinitesimalrechnung gefunden wird, dadurch, dass die Alephs die Größen von Mengen messen, während Unendlichkeit üblicherweise entweder als eine extreme Grenze der reellen Zahlengerade definiert wird (angewandt auf eine Funktion oder Folge , die " ins Unendliche divergiert " oder "unendlich zunimmt") oder als Extrempunkt der erweiterten reellen Zahlengeraden .

Aleph-Null

(Aleph-Null, auch Aleph-Null oder Aleph-Null) ist die Kardinalität der Menge aller natürlichen Zahlen und ist eine unendliche Kardinalzahl . Die Menge aller endlichen Ordinalzahlen , genannt oder (wo die griechischen Kleinbuchstaben ist Omega ) hat Mächtigkeit Ein Satz Mächtigkeit hat , wenn und nur wenn es abzählbar unendlich , das heißt, es gibt eine Bijektion (Eins-zu-Eins - Entsprechung) zwischen es und die natürlichen Zahlen. Beispiele für solche Sätze sind

Diese unendlichen Ordinalzahlen: und gehören zu den abzählbar unendlichen Mengen. Zum Beispiel die Folge (mit Ordinalität ω·2) aller positiven ungeraden ganzen Zahlen gefolgt von allen positiven geraden ganzen Zahlen

ist eine Ordnung der Menge (mit Kardinalität ) der positiven ganzen Zahlen.

Wenn das Axiom der abzählbaren Wahl (eine schwächere Version des Wahlaxioms ) gilt, dann ist kleiner als jedes andere unendliche Kardinal.

Aleph-one

ist die Kardinalität der Menge aller abzählbaren Ordnungszahlen , genannt oder manchmal Dies ist selbst eine Ordnungszahl, die größer ist als alle abzählbaren, also eine überabzählbare Menge . Daher unterscheidet sich von der Definition der (in ZF, impliziert Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl) , dass keine Kardinalzahl zwischen und Wenn das Axiom der Wahl verwendet wird, kann es ferner nachgewiesen werden , dass die Klasse der Kardinalzahlen ist total geordnet und damit die zweitkleinste unendliche Kardinalzahl. Mit dem Auswahlaxiom kann man eine der nützlichsten Eigenschaften der Menge zeigen, von der jede abzählbare Teilmenge eine obere Schranke hat (Dies folgt aus der Tatsache, dass die Vereinigung einer abzählbaren Anzahl abzählbarer Mengen selbst abzählbar ist – eine der gebräuchlichsten Anwendungen des Auswahlaxioms.) Diese Tatsache ist analog zu der Situation in jeder endlichen Menge natürlicher Zahlen hat ein Maximum, das auch eine natürliche Zahl ist, und endliche Vereinigungen endlicher Mengen sind endlich.

ist eigentlich ein nützliches Konzept, wenn auch etwas exotisch klingend. Eine Beispielanwendung ist das "Schließen" in Bezug auf zählbare Operationen; zB der Versuch, explizit die σ-Algebra zu beschreiben, die von einer beliebigen Sammlung von Teilmengen erzeugt wird (siehe zB Borel-Hierarchie ). Dies ist schwieriger als die meisten expliziten Beschreibungen von "Erzeugung" in der Algebra ( Vektorräume , Gruppen usw.), da wir in diesen Fällen nur in Bezug auf endliche Operationen schließen müssen – Summen, Produkte und dergleichen. Der Prozess beinhaltet, für jede abzählbare Ordinalzahl durch transfinite Induktion eine Menge zu definieren, indem alle möglichen abzählbaren Vereinigungen und Komplemente "hineingeworfen" werden, und die Vereinigung von all dem über alles genommen wird

Kontinuumshypothese

Die Kardinalität der Menge der reellen Zahlen ( Kardinalität des Kontinuums ) ist Es kann nicht aus ZFC ( Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie erweitert mit dem Auswahlaxiom ) bestimmt werden, wo diese Zahl genau in die Aleph-Zahlenhierarchie passt, aber sie folgt aus ZFC dass die Kontinuumshypothese CH äquivalent zur Identität

Die CH besagt, dass es keine Menge gibt, deren Kardinalität genau zwischen der der ganzen Zahlen und der reellen Zahlen liegt. CH ist unabhängig von ZFC : Es kann im Kontext dieses Axiomensystems weder bewiesen noch widerlegt werden (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent ). Dass CH mit ZFC konsistent ist, wurde 1940 von Kurt Gödel demonstriert , als er zeigte, dass seine Negation kein Theorem von ZFC ist . Dass es unabhängig von ZFC ist, zeigte Paul Cohen 1963, als er umgekehrt zeigte, dass das CH selbst kein Theorem von ZFC ist – durch die (damals neuartige) Methode des Forcens .

Aleph-Omega

Aleph-Omega ist

wobei die kleinste unendliche Ordinalzahl mit ω bezeichnet wird . Das heißt, die Kardinalzahl ist die kleinste obere Schranke von

ist die erste überzählbare Kardinalzahl, die innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie gezeigt werden kann, dass sie nicht gleich der Kardinalität der Menge aller reellen Zahlen ist ; für jede positive ganze Zahl n können wir konsistent annehmen, dass und außerdem ist es möglich anzunehmen, dass es so groß ist, wie wir möchten. Wir sind nur gezwungen, es zu vermeiden, es auf bestimmte spezielle Kardinäle mit Kofinalität zu setzen, was bedeutet, dass es eine unbeschränkte Funktion von gibt (siehe Theorem von Easton ).

Aleph-α für allgemeines α

Um eine beliebige Ordinalzahl zu definieren, müssen wir die nachfolgende Kardinaloperation definieren , die jeder Kardinalzahl die nächst größere wohlgeordnete Kardinalzahl zuweist (wenn das Auswahlaxiom gilt, ist dies die nächstgrößere Kardinalzahl).

Wir können dann die Aleph-Zahlen wie folgt definieren:

und für λ eine unendliche Grenzordinal ,

Die α-te unendliche anfängliche Ordinalzahl wird geschrieben . Seine Kardinalität wird geschrieben In ZFC ist die Aleph-Funktion eine Bijektion von den Ordinalzahlen zu den unendlichen Kardinalzahlen.

Fixpunkte von Omega

Für jede Ordinalzahl α gilt

In vielen Fällen ist strikt größer als α . Dies gilt beispielsweise für jede nachfolgende Ordinalzahl α. Es gibt jedoch wegen des Fixpunktlemmas für normale Funktionen einige Grenzordinalzahlen, die Fixpunkte der Omega-Funktion sind . Der erste solcher ist der Grenzwert der Folge

Jeder schwach unzugängliche Kardinal ist auch ein Fixpunkt der Alephfunktion. Dies kann in ZFC wie folgt dargestellt werden. Angenommen, es handelt sich um einen schwach unzugänglichen Kardinal. Wäre ein Nachfolger-Ordinal , dann wäre ein Nachfolger-Kardinal und damit nicht schwach zugänglich. Wenn war eine Limesordinalzahl kleiner als dann seine Konfinalität (und damit die Konfinalität von ) wäre weniger als und so würde nicht regelmäßig sein und somit nicht schwach unzugänglich. Somit und folglich , was es zu einem Fixpunkt macht.

Rolle des Axioms der Wahl

Die Kardinalität einer unendlichen Ordnungszahl ist eine Alephzahl. Jedes Aleph ist die Kardinalität einer Ordnungszahl. Die kleinste davon ist die anfängliche Ordnungszahl . Jede Menge, deren Kardinalität ein Aleph ist, ist gleichzahlig mit einer Ordinalzahl und ist somit gut geordnet .

Jede endliche Menge ist gut geordnet, hat aber kein Aleph als Kardinalität.

Die Annahme, dass die Kardinalität jeder unendlichen Menge eine Aleph-Zahl ist, ist über ZF äquivalent zur Existenz einer Wohlordnung jeder Menge, die wiederum äquivalent zum Auswahlaxiom ist . Die ZFC-Mengentheorie, die das Auswahlaxiom beinhaltet, impliziert, dass jede unendliche Menge eine Aleph-Zahl als Kardinalität hat (dh gleichzahlig mit ihrer anfänglichen Ordinalzahl ist), und somit dienen die anfänglichen Ordinalzahlen der Aleph-Zahlen als eine Klasse von Repräsentanten für alle mögliche unendliche Kardinalzahlen.

Wenn die Kardinalität in ZF ohne das Auswahlaxiom studiert wird, ist es nicht mehr möglich zu beweisen, dass jede unendliche Menge eine Aleph-Zahl als Kardinalität hat; die Mengen, deren Kardinalität eine Aleph-Zahl ist, sind genau die unendlichen Mengen, die wohlgeordnet werden können. Die Methode des Tricks von Scott wird manchmal als alternative Methode verwendet, um Repräsentanten für Kardinalzahlen im Setting von ZF zu konstruieren. Zum Beispiel kann man card( S ) als die Menge von Mengen mit der gleichen Kardinalität wie S mit dem minimal möglichen Rang definieren. Dies hat die Eigenschaft card( S ) = card( T ) genau dann, wenn S und T die gleiche Kardinalität haben. (Die Menge card( S ) hat im Allgemeinen nicht die gleiche Kardinalität von S , aber alle ihre Elemente.)

Siehe auch

Anmerkungen

Zitate

Externe Links