Alexander Grothendieck- Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck
Alexander Grothendieck.jpg
Alexander Grothendieck in Montreal, 1970
Geboren ( 1928-03-28 )28. März 1928
Ist gestorben 13. November 2014 (2014-11-13)(86 Jahre)
Saint-Lizier , Frankreich
Staatsangehörigkeit
Alma Mater
Bekannt für Erneuerung der algebraischen Geometrie und Synthese zwischen ihr und Zahlentheorie und Topologie
Liste der nach Alexander Grothendieck benannten Dinge
Auszeichnungen
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder MathematikFunktionalanalysis , Algebraische Geometrie , Homologische Algebra
Institutionen
These Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires  (1953)
Promotionsberater
Doktoranden

Alexander Grothendieck ( / ɡ r t ən d i k / ; Deutsch: [ɡroːtn̩diːk] ; Französisch:  [ɡʁɔtɛndik] ; 28. März 1928 - 13. November 2014) war ein Mathematiker , der die führende Figur in der Schaffung von moderner wurde algebraische Geometrie . Seine Forschungen erweiterten den Umfang des Gebiets und fügten Elemente der kommutativen Algebra , der homologischen Algebra , der Garbentheorie und der Kategorientheorie zu ihren Grundlagen hinzu, während seine sogenannte "relative" Perspektive zu revolutionären Fortschritten in vielen Bereichen der reinen Mathematik führte . Er gilt vielen als der größte Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

Der in Deutschland geborene Grothendieck wuchs auf und lebte hauptsächlich in Frankreich, und er und seine Familie wurden vom NS-Regime verfolgt . Für einen Großteil seines Arbeitslebens war er jedoch faktisch staatenlos . Da er seinen Vornamen konsequent "Alexander" statt "Alexandre" buchstabierte und sein Nachname, von seiner Mutter übernommen, das niederdeutsche Plattdeutsch "Grothendieck" war, wurde manchmal fälschlicherweise angenommen, dass er niederländischer Herkunft war.

Grothendieck begann seine produktive und öffentliche Laufbahn als Mathematiker 1949. 1958 wurde er als Forschungsprofessor an das Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) berufen und blieb dort bis 1970, bevor er, getrieben von persönlichen und politischen Überzeugungen, folgende Streit um Militärfinanzierung. 1966 erhielt er seine Fields-Medaille für Fortschritte in der algebraischen Geometrie , der homologischen Algebra und der K-Theorie . Später wurde er Professor an der Universität von Montpellier und zog sich, während er immer noch relevante mathematische Arbeiten hervorbrachte, aus der mathematischen Gemeinschaft zurück und widmete sich politischen und religiösen Bestrebungen (zuerst dem Buddhismus und später einer christlicheren Vision). 1991 zog er in das französische Dorf Lasserre in den Pyrenäen , wo er zurückgezogen lebte und bis zu seinem Tod im Jahr 2014 unermüdlich an Mathematik arbeitete.

Leben

Familie und Kindheit

Grothen wurde geboren Berlin zu anarchistisch Eltern. Sein Vater, Alexander "Sascha" Schapiro (auch bekannt als Alexander Tanaroff), hatte chassidisch-jüdische Wurzeln und war in Russland inhaftiert, bevor er 1922 nach Deutschland zog, während seine Mutter, Johanna "Hanka" Grothendieck, aus einer protestantischen Familie in Hamburg stammte und arbeitete als Journalist. Beide hatten sich als Teenager von ihren frühen Hintergründen gelöst. Zum Zeitpunkt seiner Geburt war Grothendiecks Mutter mit dem Journalisten Johannes Raddatz verheiratet und sein Geburtsname war zunächst als "Alexander Raddatz" verzeichnet. Die Ehe wurde 1929 aufgelöst und Schapiro/Tanaroff erkannten seine Vaterschaft an, heirateten Hanka jedoch nie.

Grothendieck lebte bis Ende 1933 bei seinen Eltern in Berlin, dann zog sein Vater nach Paris , um dem Nationalsozialismus zu entgehen , kurz darauf folgte seine Mutter. Sie überließen Grothendieck der Obhut von Wilhelm Heydorn, einem lutherischen Pfarrer und Lehrer in Hamburg . Während dieser Zeit nahmen seine Eltern nach Angaben von Winfried Scharlau als nicht-kämpferische Hilfskräfte am spanischen Bürgerkrieg teil , andere behaupten, Sascha habe in der anarchistischen Miliz gekämpft.

Zweiter Weltkrieg

Im Mai 1939 wurde Grothendieck in Hamburg in einen Zug nach Frankreich gesetzt. Kurz darauf wurde sein Vater in Le Vernet interniert . Er und seine Mutter wurden dann von 1940 bis 1942 in verschiedenen Lagern als „unerwünschte gefährliche Ausländer“ interniert. Das erste war das Lager Rieucros , wo seine Mutter an Tuberkulose erkrankte , die schließlich zu ihrem Tod führte, und wo es Alexander gelang, die örtliche Schule in Mende zu besuchen . Einmal gelang es Alexander, aus dem Lager zu fliehen, um Hitler zu ermorden. Später wurde seine Mutter Hanka für den Rest des Zweiten Weltkriegs in das Internierungslager Gurs verlegt . Alexander durfte, von seiner Mutter getrennt, im Dorf Le Chambon-sur-Lignon leben , geschützt und versteckt in örtlichen Pensionen oder Pensionen , obwohl er gelegentlich bei Nazi-Razzien in den Wäldern Zuflucht suchen musste und zeitweise ohne überlebte Nahrung oder Wasser für mehrere Tage. Sein Vater wurde nach der antijüdischen Gesetzgebung von Vichy verhaftet und in die Drancy gebracht und dann von der französischen Vichy-Regierung an die Deutschen übergeben, um sie 1942 in das Konzentrationslager Auschwitz zu ermorden . In Chambon besuchte Grothendieck die Collège Cévenol (heute bekannt als Le Collège-Lycée Cévenol International ), eine einzigartige Sekundarschule, die 1938 von lokalen protestantischen Pazifisten und Antikriegsaktivisten gegründet wurde. Viele der in Chambon versteckten Flüchtlingskinder besuchten Cévenol, und an dieser Schule interessierte sich Grothendieck offenbar zum ersten Mal für Mathematik.

Studium und Kontakt zur Forschungsmathematik

Nach dem Krieg studierte der junge Grothendieck in Frankreich Mathematik, zunächst an der Universität Montpellier, wo er zunächst keine guten Leistungen erbrachte und beispielsweise in Astronomie durchfiel. Auf eigene Faust entdeckte er das Lebesgue-Maß wieder . Nach drei Jahren zunehmend selbstständiger Studien dort setzte er 1948 sein Studium nach Paris fort.

Grothendieck besuchte zunächst das Seminar von Henri Cartan an der École Normale Supérieure , aber ihm fehlte der nötige Hintergrund, um dem hochkarätigen Seminar folgen zu können. Auf Anraten von Cartan und André Weil wechselte er an die Universität Nancy, wo zwei führende Experten an Grothendiecks Interessengebiet, den topologischen Vektorräumen, arbeiteten : Jean Dieudonné und Laurent Schwartz . Letzterer hatte kürzlich eine Fields-Medaille gewonnen. Er zeigte seinem neuen Studenten seine neueste Arbeit; es endete mit einer Liste von 14 offenen Fragen, die für lokal konvexe Räume relevant sind . Grothendieck führte neue Methoden ein, die es ihm ermöglichten, all diese Probleme innerhalb weniger Monate zu lösen.

In Nancy schrieb er von 1950 bis 1953 bei diesen beiden Professoren für Funktionsanalyse seine Dissertation . Zu dieser Zeit war er ein führender Experte in der Theorie topologischer Vektorräume. Von 1953 bis 1955 wechselte er an die Universität von São Paulo in Brasilien, wo er mit einem Nansen-Pass einwanderte , da er sich weigerte, die französische Staatsbürgerschaft anzunehmen. 1957 legte er dieses Thema beiseite, um in der algebraischen Geometrie und der homologischen Algebra zu arbeiten . Im selben Jahr wurde er von Oscar Zariski eingeladen, Harvard zu besuchen , aber das Angebot scheiterte, als er sich weigerte, eine Zusage zu unterzeichnen, die versprach, nicht am Sturz der US-Regierung zu arbeiten, eine Position, die ihn, wie er gewarnt wurde, ins Gefängnis hätte bringen können . Die Aussicht beunruhigte ihn nicht, solange er Zugang zu Büchern hatte.

Vergleicht man Grothendieck während seiner Nancy-Jahre mit den damals an der École Normale Supérieure ausgebildeten Studenten: Pierre Samuel , Roger Godement , René Thom , Jacques Dixmier , Jean Cerf , Yvonne Bruhat , Jean-Pierre Serre , Bernard Malgrange , Leila Schneps sagt:

Er war dieser Gruppe und ihren Professoren so völlig unbekannt, stammte aus einem so benachteiligten und chaotischen Hintergrund und war im Vergleich zu ihnen zu Beginn seiner Forschungskarriere so ignorant, dass sein fulminanter Aufstieg zum plötzlichen Starruhm umso mehr ist unglaublich; Einzigartig in der Geschichte der Mathematik.

Seine ersten Arbeiten zu topologischen Vektorräumen aus dem Jahr 1953 wurden erfolgreich auf Physik und Informatik angewendet und gipfelten in einer Beziehung zwischen der Grothendieck-Ungleichung und dem Einstein-Podolsky-Rosen-Paradox in der Quantenphysik.

IHÉS Jahre

1958 wurde Grothendieck am Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) eingerichtet, einem neuen privat finanzierten Forschungsinstitut, das praktisch für Jean Dieudonné und Grothendieck geschaffen worden war. Grothendieck machte dort durch eine intensive und hochproduktive Seminartätigkeit auf sich aufmerksam ( de facto Arbeitsgruppen, die einige der begabtesten französischen und anderen Mathematiker der jüngeren Generation in die Grundlagenarbeit einarbeiten). Grothendieck selbst hat die Veröffentlichung von Aufsätzen über den konventionellen, gelehrten Weg praktisch eingestellt . Er konnte jedoch etwa ein Jahrzehnt lang eine dominierende Rolle in der Mathematik spielen und eine starke Schule aufbauen.

Während dieser Zeit hatte er offiziell als Studenten Michel Demazure (der an SGA3 arbeitete, an Gruppenschemata ), Luc Illusie (Kotangenskomplex), Michel Raynaud , Jean-Louis Verdier (Mitbegründer der abgeleiteten Kategorientheorie ) und Pierre Deligne . Zu den Mitarbeitern der SGA-Projekte gehörten auch Michael Artin ( Etale Cohomology ) und Nick Katz ( Monodromietheorie und Lefschetz-Bleistifte ). Jean Giraud erarbeitete Torsortheorie- Erweiterungen der nichtabelschen Kohomologie . Viele andere wie David Mumford , Robin Hartshorne , Barry Mazur und CP Ramanujam waren ebenfalls beteiligt.

"Goldenes Zeitalter"

Alexander Grothendiecks Arbeit während des "Goldenen Zeitalters" am IHÉS begründete mehrere verbindende Themen in der algebraischen Geometrie , Zahlentheorie , Topologie , Kategorientheorie und komplexen Analysis . Seine erste (vor dem IHÉS) Entdeckung in der algebraischen Geometrie war der Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch , eine Verallgemeinerung des algebraisch bewiesenen Satzes von Hirzebruch-Riemann-Roch ; in diesem Zusammenhang führte er auch die K-Theorie ein . Dann, nach dem Programm, das er in seinem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1958 skizzierte , führte er die Theorie der Schemata ein , entwickelte sie in seinen Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) detailliert weiter und lieferte die neuen flexibleren und allgemeineren Grundlagen für die algebraische Geometrie die seit dieser Zeit in der Praxis übernommen wurde. Er fuhr fort, die étale-Kohomologie- Theorie der Schemata einzuführen , die die wichtigsten Werkzeuge zum Beweis der Weil-Vermutungen sowie die kristalline Kohomologie und die algebraische de Rham-Kohomologie zur Ergänzung bereitstellte . Eng verbunden mit diesen Kohomologietheorien entstand die Topostheorie als Verallgemeinerung der Topologie (relevant auch in der kategorialen Logik ). Er lieferte auch eine algebraische Definition grundlegender Gruppen von Schemata und allgemeiner der Hauptstrukturen einer kategorialen Galois-Theorie . Als Rahmen für seine kohärente Dualitätstheorie führte er auch abgeleitete Kategorien ein , die von Verdier weiterentwickelt wurden.

Die Arbeitsergebnisse zu diesen und anderen Themen wurden in der EGA und in weniger ausgefeilter Form in den Notizen des Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ) veröffentlicht, das er an der IHÉS leitete.

Politischer Aktivismus

Grothendiecks politische Ansichten waren radikal und pazifistisch , und er lehnte sowohl die US- Intervention in Vietnam als auch den sowjetischen militärischen Expansionismus entschieden ab . Er hielt Vorträge über Kategorientheorie in den Wäldern um Hanoi, während die Stadt bombardiert wurde, um gegen den Vietnamkrieg zu protestieren . Er zog sich um 1970 aus dem wissenschaftlichen Leben zurück, nachdem er herausgefunden hatte, dass das IHÉS teilweise vom Militär finanziert wurde. Einige Jahre später kehrte er als Professor an die Universität Montpellier an die Universität zurück .

Während die Frage der militärischen Finanzierung vielleicht die offensichtlichste Erklärung für Grothendiecks Austritt aus dem IHÉS war, sagen diejenigen, die ihn kannten, dass die Ursachen des Bruchs tiefer lagen. Pierre Cartier , Visiteur de longue durée ("Langzeitgast") am IHÉS, hat für einen Sonderband zum 40-jährigen Bestehen des IHÉS einen Beitrag über Grothendieck geschrieben . Die 1990 erschienene Grothendieck Festschrift war eine dreibändige Sammlung von Forschungsarbeiten zu seinem sechzigsten Geburtstag im Jahr 1988.

Darin stellt Cartier fest, dass Grothendieck als Sohn eines antimilitärischen Anarchisten und einer, der unter Entrechteten aufwuchs, immer ein tiefes Mitgefühl für die Armen und Unterdrückten hatte. Wie Cartier es ausdrückt, kam Grothendieck, um Bures-sur-Yvetteune Cage dorée “ („ein vergoldeter Käfig“) zu finden. Während Grothendieck am IHÉS war, heizte sich die Opposition gegen den Vietnamkrieg auf, und Cartier vermutet, dass dies auch Grothendiecks Abscheu, ein Mandarin der wissenschaftlichen Welt geworden zu sein, verstärkte. Zudem schien Grothendieck nach mehreren Jahren am IHÉS nach neuen intellektuellen Interessen zu suchen. In den späten 1960er Jahren begann er, sich für wissenschaftliche Gebiete außerhalb der Mathematik zu interessieren. David Ruelle , ein Physiker, der 1964 an die Fakultät des IHÉS kam, sagte, Grothendieck sei ein paar Mal gekommen, um mit ihm über Physik zu sprechen . Biologie interessierte Grothendieck viel mehr als Physik, und er organisierte einige Seminare zu biologischen Themen.

1970 gründete Grothendieck mit zwei anderen Mathematikern, Claude Chevalley und Pierre Samuel , eine politische Gruppe namens Survivre – der Name wurde später in Survivre et vivre geändert . Die Gruppe veröffentlichte ein Bulletin und widmete sich antimilitärischen und ökologischen Themen und entwickelte auch starke Kritik am wahllosen Einsatz von Wissenschaft und Technologie. Grothendieck widmete dieser Gruppe die nächsten drei Jahre und war Hauptredakteur des Bulletins.

Obwohl Grothendieck mit mathematischen Untersuchungen fortfuhr, endete seine normale mathematische Laufbahn zum größten Teil mit seinem Ausscheiden aus dem IHÉS. Nach seinem Ausscheiden aus dem IHÉS wurde Grothendieck für zwei Jahre Professor auf Zeit am Collège de France . Anschließend wurde er Professor an der Universität Montpellier, wo er sich der mathematischen Gemeinschaft zunehmend entfremdete. Er ging 1988 offiziell in den Ruhestand, einige Jahre nachdem er eine Forschungsstelle am CNRS angenommen hatte .

Handschriften aus den 1980er Jahren

Während er in den 1980er Jahren keine mathematische Forschung auf herkömmliche Weise veröffentlichte, produzierte er mehrere einflussreiche Manuskripte mit begrenzter Verbreitung, sowohl mit mathematischem als auch mit biografischem Inhalt.

La Longue Marche à travers la théorie de Galois ( Der lange Marsch durch die Galois-Theorie ) wurde 1980 und 1981 produziert und ist ein 1600-seitiges handgeschriebenes Manuskript, das viele der Ideen enthält, die zum Programm Esquisse d'un führten . Es beinhaltet auch eine Untersuchung der Teichmüller-Theorie .

1983, angeregt durch einen Briefwechsel mit Ronald Brown und Tim Porter an der Bangor University , schrieb Grothendieck ein 600-seitiges Manuskript mit dem Titel Pursuing Stacks , das mit einem Brief an Daniel Quillen begann . Dieser Brief und darauffolgende Teile wurden von Bangor aus verteilt (siehe Externe Links unten). Darin erläuterte und entwickelte Grothendieck in informeller, tagebuchartiger Weise seine Ideen zum Zusammenhang zwischen algebraischer Homotopietheorie und algebraischer Geometrie sowie Perspektiven für eine nichtkommutative Stapeltheorie . Das Manuskript, das von G. Maltsiniotis zur Veröffentlichung herausgegeben wird, führte später zu einem weiteren seiner monumentalen Werke, Les Dérivateurs . Dieses letzte Werk von etwa 2000 Seiten wurde 1991 geschrieben und entwickelte die homotopischen Ideen weiter, die in Pursuing Stacks begonnen wurden . Ein Großteil dieser Arbeit nahm die spätere Entwicklung der motivischen Homotopietheorie von Fabien Morel und Vladimir Voevodsky Mitte der 1990er Jahre vorweg .

1984 verfasste Grothendieck den Vorschlag Esquisse d'un Program ("Programmskizze") für eine Stelle am Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). Es beschreibt neue Ideen zum Studium des Modulraums komplexer Kurven. Obwohl Grothendieck selbst nie seine Arbeiten auf diesem Gebiet veröffentlichte, inspirierte der Vorschlag die Arbeit anderer Mathematiker, indem er zur Quelle der Dessin- d'enfant- Theorie und der anabelschen Geometrie wurde . Es wurde später in den zweibändigen Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997) veröffentlicht.

Während dieser Zeit gab Grothendieck auch seine Zustimmung zur Veröffentlichung einiger seiner Entwürfe für EGA über Sätze vom Bertini-Typ ( EGA  V, veröffentlicht in Ulam Quarterly in den Jahren 1992–1993 und später auf der Grothendieck Circle -Website im Jahr 2004).

In dem 1000-seitigen autobiographischen Manuskript Récoltes et semailles (1986) beschreibt Grothendieck seinen Zugang zur Mathematik und seine Erfahrungen in der mathematischen Gemeinschaft, die ihn zunächst offen und einladend aufnahm, die er jedoch nach und nach als von Konkurrenz und Konkurrenz bestimmt wahrnahm Status. Er beklagt das, was er als "Begräbnis" seiner Arbeit und den Verrat seiner ehemaligen Schüler und Kollegen ansah, nachdem er die Gemeinde verlassen hatte. Récoltes et semailles work ist jetzt im französischen Original im Internet verfügbar, eine englische Übersetzung ist in Arbeit. Teile von Récoltes et semailles wurden ins Spanische und ins Russische übersetzt und in Moskau veröffentlicht.

1988 lehnte Grothendieck den Crafoord-Preis mit einem offenen Brief an die Medien ab. Er schrieb, dass etablierte Mathematiker wie er keine zusätzliche finanzielle Unterstützung benötigten und kritisierte die seiner Ansicht nach verfallende Ethik der wissenschaftlichen Gemeinschaft, die durch regelrechten wissenschaftlichen Diebstahl gekennzeichnet sei, der seiner Meinung nach alltäglich und geduldet sei. Der Brief drückte auch seine Überzeugung aus, dass völlig unvorhergesehene Ereignisse vor dem Ende des Jahrhunderts zu einem beispiellosen Zusammenbruch der Zivilisation führen würden. Grothendieck fügte jedoch hinzu, dass seine Ansichten „in keiner Weise als Kritik an den Zielen der Royal Academy bei der Verwaltung ihrer Gelder gedacht sind“ und fügte hinzu: „Ich bedauere die Unannehmlichkeiten, die Ihnen und der Royal Academy durch meine Weigerung, den Crafoord-Preis anzunehmen, verursacht haben könnten ."

La Clef des Songes , ein 315-seitiges Manuskript aus dem Jahr 1987, ist Grothendiecks Bericht darüber, wie seine Betrachtung der Quelle der Träume ihn zu der Schlussfolgerung führte, dass Gott existiert . In den Notizen zu diesem Manuskript beschrieb Grothendieck Leben und Werk von 18 „Mutanten“, Menschen, die er als Visionäre bewunderte, die ihrer Zeit weit voraus waren und ein neues Zeitalter einläuten. Der einzige Mathematiker auf seiner Liste war Bernhard Riemann . Beeinflusst von der katholischen Mystikerin Marthe Robin , der auf der heiligen Eucharistie in Anspruch genommen wurde , allein zu überleben, Grothen sich fast zu Tode gehungert 1988 mit geistigen Dingen Seine wachsende Beschäftigung war in einem Brief auch evident Titel Lettre de la Bonne Nouvelle 250 Freunde geschickt in Januar 1990. Darin beschrieb er seine Begegnungen mit einer Gottheit und kündigte an, dass am 14. Oktober 1996 ein „New Age“ beginnen würde.

Über 20.000 Seiten von Grothendiecks mathematischen und anderen Schriften, die sich an der Universität Montpellier befinden, sind unveröffentlicht. Sie wurden zur Erhaltung digitalisiert und sind über das Portal des Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck im Open Access frei zugänglich.

Ruhestand in Einsamkeit und Tod

1991 zog Grothendieck an eine neue Adresse, die er seinen bisherigen Kontakten in der mathematischen Gemeinschaft nicht mitteilte. Danach besuchten ihn nur noch wenige. Dorfbewohner halfen ihm mit einer abwechslungsreicheren Ernährung, nachdem er versucht hatte, von Löwenzahnsuppe zu leben . Irgendwann fanden ihn Leila Schneps und Pierre Lochak und führten eine kurze Korrespondenz. Damit gehörten sie zu den „letzten Mitgliedern des mathematischen Establishments, die mit ihm in Kontakt kamen“. Nach seinem Tod wurde bekannt, dass er allein in einem Haus in Lasserre, Ariège , einem kleinen Dorf am Fuße der Pyrenäen lebte .

Im Januar 2010 schrieb Grothendieck den Brief "Déclaration d'intention de non-publication" an Luc Illusie und behauptete, dass alle in seiner Abwesenheit veröffentlichten Materialien ohne seine Erlaubnis veröffentlicht wurden. Er bittet darum, keine seiner Werke ganz oder teilweise zu vervielfältigen und Kopien dieses Werkes aus Bibliotheken zu entfernen. Eine seiner Arbeit gewidmete Website wurde als "ein Greuel" bezeichnet. Diese Reihenfolge könnte später im Jahr 2010 umgekehrt worden sein.

Am 13. November 2014 starb Grothendieck im Alter von 86 Jahren im Krankenhaus von Saint-Girons, Ariège .

Staatsbürgerschaft

Grothendieck wurde in Weimar Deutschland geboren . 1938 zog er im Alter von zehn Jahren als Flüchtling nach Frankreich. Aufzeichnungen über seine Nationalität wurden im Fall Deutschlands 1945 vernichtet und er beantragte nach dem Krieg nicht die französische Staatsbürgerschaft. So wurde er zumindest für den größten Teil seines Berufslebens staatenlos und reiste mit einem Nansen-Pass . Ein Teil dieser Zurückhaltung, die französische Staatsangehörigkeit zu besitzen, wird dem Wunsch zugeschrieben, nicht im französischen Militär zu dienen, insbesondere aufgrund des Algerienkriegs (1954-62). Er beantragte schließlich in den frühen 1980er Jahren die französische Staatsbürgerschaft, weit über das Alter hinaus, das ihn vom Militärdienst befreite.

Familie

Grothendieck stand seiner Mutter sehr nahe, der er seine Dissertation widmete. Sie starb 1957 an der Tuberkulose , die sie sich in Lagern für Vertriebene zugezogen hatte. Er hatte fünf Kinder: einen Sohn mit seiner Vermieterin während seiner Zeit in Nancy, drei Kinder, Johanna (1959), Alexander (1961) und Mathieu (1965) mit seiner Frau Mireille Dufour, und ein Kind mit Justine Skalba, mit der er zusammenlebte in einer Kommune Anfang der 1970er Jahre.

Mathematische Arbeit

Grothendiecks frühe mathematische Arbeit war in der Funktionsanalyse . Zwischen 1949 und 1953 arbeitete er in Nancy an seiner Doktorarbeit zu diesem Thema unter der Betreuung von Jean Dieudonné und Laurent Schwartz . Seine wichtigsten Beiträge sind topologische Tensorprodukte von topologischen Vektorräumen , die Theorie der Kernräume als grundlegend für Schwartz Verteilungen und die Anwendung von L p Räumen in Studium lineare Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen. In wenigen Jahren hatte er sich zu einer führenden Autorität auf diesem Gebiet der Funktionsanalyse entwickelt – insofern Dieudonné seine Wirkung auf diesem Gebiet mit der von Banach vergleicht .

Grothendieck hat jedoch in der algebraischen Geometrie und verwandten Gebieten seine wichtigsten und einflussreichsten Arbeiten geleistet. Ab etwa 1955 begann er die Arbeit an Garbe Theorie und homologische Algebra , das einflussreiche „Herstellung Tohoku Papiers “ ( Sur quelques Punkte d'algèbre homologique , in dem veröffentlichten Tohoku Mathematical Journal 1957) , wo er eingeführt abelian Kategorien und angewandt um ihre Theorie zu zeigen dass die Garbenkohomologie in diesem Zusammenhang als bestimmte abgeleitete Funktoren definiert werden kann .

Homologische Methoden und Garbentheorie wurden bereits von Jean-Pierre Serre und anderen in die algebraische Geometrie eingeführt , nachdem Garben von Jean Leray definiert worden waren . Grothendieck führte sie auf eine höhere Abstraktionsebene und machte sie zu einem zentralen Ordnungsprinzip seiner Theorie. Er verlagerte die Aufmerksamkeit von der Untersuchung einzelner Varietäten auf den relativen Standpunkt (durch einen Morphismus verbundene Varietätenpaare ), was eine breite Verallgemeinerung vieler klassischer Sätze ermöglichte. Die erste große Anwendung war die relative Version von Serres Theorem, die zeigt, dass die Kohomologie einer kohärenten Garbe auf einer vollständigen Varietät endlichdimensional ist; Der Satz von Grothendieck zeigt, dass die höheren direkten Bilder von kohärenten Garben unter einer richtigen Abbildung kohärent sind; dies reduziert sich auf den Satz von Serre über einen Ein-Punkt-Raum.

1956 wandte er dieselbe Denkweise auf den Riemann-Roch-Satz an , der bereits kürzlich von Hirzebruch auf jede Dimension verallgemeinert worden war . Das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem wurde von Grothendieck auf der ersten Mathematischen Arbeitstagung in Bonn im Jahr 1957 angekündigt . Es erschien in gedruckter Form in einer Arbeit von Armand Borel mit Serre. Dieses Ergebnis war seine erste Arbeit in der algebraischen Geometrie. Er fuhr fort, ein Programm zum Wiederaufbau der Grundlagen der algebraischen Geometrie zu planen und auszuführen, die sich damals im Fluss befanden und im Seminar von Claude Chevalley diskutiert wurden ; in seinem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1958 skizzierte er sein Programm .

Seine grundlegende Arbeit zur algebraischen Geometrie ist auf einem höheren Abstraktionsniveau als alle früheren Versionen. Er adaptierte die Verwendung von nicht abgeschlossenen generischen Punkten , was zur Theorie der Schemata führte . Er leistete auch Pionierarbeit bei der systematischen Anwendung von Nilpotenten . Als 'Funktionen' können diese nur den Wert 0 annehmen, aber sie enthalten in rein algebraischen Einstellungen unendlich kleine Informationen. Seine Schematheorie hat sich aufgrund ihrer Ausdruckskraft und technischen Tiefe als die beste universelle Grundlage für dieses Gebiet etabliert. In diesem Rahmen kann man birationale Geometrie , Techniken aus der Zahlentheorie , Galoistheorie und kommutativen Algebra sowie enge Analoga der Methoden der algebraischen Topologie auf integrierte Weise anwenden .

Er ist auch bekannt für seine Beherrschung abstrakter Ansätze in der Mathematik und seinen Perfektionismus in Fragen der Formulierung und Präsentation. Relativ wenig seiner Arbeit nach 1960 wurde auf dem herkömmlichen Weg der gelehrten Zeitschrift veröffentlicht , die zunächst in doppelten Bänden mit Seminarnotizen zirkulierte; sein Einfluss war in erheblichem Maße persönlich. Sein Einfluss strahlte auf viele andere Zweige der Mathematik aus, zum Beispiel die zeitgenössische Theorie der D-Module . (Es provozierte auch Nebenwirkungen, wobei viele Mathematiker nach konkreteren Bereichen und Problemen suchten.)

EGA , SGA , FGA

Der Großteil von Grothendiecks veröffentlichtem Werk ist in den monumentalen, aber unvollständigen Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) und Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ) gesammelt . Wichtiges Material enthält auch die Sammlung Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), die im Séminaire Bourbaki gehaltene Vorträge versammelt .

Grothendiecks Arbeit umfasst die Erfindung der étale- und l-adischen Kohomologie- Theorien, die eine Beobachtung von André Weil erklären , dass es einen Zusammenhang zwischen den topologischen Eigenschaften einer Varietät und ihren diophantischen (zahlentheoretischen) Eigenschaften gibt. Zum Beispiel spiegelt die Anzahl der Lösungen einer Gleichung über einem endlichen Körper die topologische Natur ihrer Lösungen über die komplexen Zahlen wider . Weil erkannte, dass man zum Beweis eines solchen Zusammenhangs eine neue Kohomologie-Theorie brauchte, aber weder er noch ein anderer Experte sahen, wie dies zu bewerkstelligen war, bis eine solche Theorie von Grothendieck gefunden wurde.

Dieses Programm gipfelte in den Beweisen der Weil-Vermutungen , von denen die letzte Anfang der 1970er Jahre von Grothendiecks Schüler Pierre Deligne entschieden wurde, nachdem Grothendieck sich weitgehend aus der Mathematik zurückgezogen hatte.

Wichtige mathematische Beiträge

In Grothendiecks Retrospektive Récoltes et Semailles identifizierte er zwölf seiner Beiträge, die er als "großartige Ideen" bezeichnete. In chronologischer Reihenfolge sind dies:

  1. Topologische Tensorprodukte und Kernräume .
  2. „Kontinuierliche“ und „diskrete“ Dualität ( abgeleitete Kategorien , „ sechs Operationen “).
  3. Yoga des Grothendieck-Riemann-Roch-Theorems ( K-Theorie , Beziehung zur Schnittmengentheorie ).
  4. Schemata .
  5. Topoi .
  6. Étale Kohomologie und l-adische Kohomologie .
  7. Motive und die motivische Galois-Gruppe (Grothendieck ⊗-Kategorien).
  8. Kristalle und kristalline Kohomologie , Yoga der "de-Rham-Koeffizienten", "Hodge-Koeffizienten", ...
  9. "Topologische Algebra": ∞-Stacks, Ableitungen ; kohomologischer Formalismus von Topoi als Inspiration für eine neue homotopische Algebra .
  10. Zahme Topologie .
  11. Yoga der anabelschen algebraischen Geometrie , Galois-Teichmüller-Theorie .
  12. "Schematische" oder "arithmetische" Sichtweise für regelmäßige Polyeder und regelmäßige Konfigurationen aller Art.

Der Begriff Yoga bezeichnet hier eine Art "Meta-Theorie", die heuristisch verwendet werden kann; Michel Raynaud schreibt die anderen Begriffe "Ariadne-Faden" und "Philosophie" als wirksame Äquivalente.

Grothendieck schrieb, dass Topoi das größte dieser Themen seien, da sie algebraische Geometrie, Topologie und Arithmetik synthetisierten. Das am weitesten entwickelte Thema waren Schemata, die den Rahmen „ par excellence “ für acht der anderen Themen (alle außer 1, 5 und 12) bildeten. Grothendieck schrieb, dass das erste und das letzte Thema, topologische Tensorprodukte und regelmäßige Konfigurationen, von bescheidenerer Größe waren als die anderen. Topologische Tensorprodukte hatten eher die Rolle eines Werkzeugs denn als Inspirationsquelle für weitere Entwicklungen gespielt; aber er erwartete, dass regelmäßige Konfigurationen zu Lebzeiten eines Mathematikers, der sich ihr widmete, nicht erschöpft sein könnten. Er glaubte, dass die tiefsten Themen Motive, anabelsche Geometrie und Galois-Teichmüller-Theorie waren.

Beeinflussen

Grothendieck gilt vielen als der größte Mathematiker des 20. Jahrhunderts. In einem Nachruf schrieben David Mumford und John Tate :

Obwohl die Mathematik im Laufe des 20. Jahrhunderts immer abstrakter und allgemeiner wurde, war Alexander Grothendieck der größte Meister dieser Richtung. Seine einzigartige Fähigkeit bestand darin, alle unnötigen Hypothesen zu eliminieren und sich so tief in ein Gebiet einzugraben, dass sich seine inneren Muster auf der abstraktesten Ebene offenbarten – und dann wie ein Zauberer zu zeigen, wie die Lösung alter Probleme auf einfache Weise von der Hand ging, nachdem ihre die wahre Natur war enthüllt worden.

In den 1970er Jahren wurde Grothendiecks Arbeit nicht nur als einflussreich in der algebraischen Geometrie und den verwandten Gebieten der Garbentheorie und der homologischen Algebra angesehen, sondern beeinflusste auch die Logik auf dem Gebiet der kategorialen Logik.

Geometrie

Grothendieck näherte sich der algebraischen Geometrie, indem er die Grundlagen des Feldes klärte und mathematische Werkzeuge entwickelte, die eine Reihe bemerkenswerter Vermutungen beweisen sollten. Algebraische Geometrie bedeutet traditionell das Verständnis geometrischer Objekte wie algebraischer Kurven und Oberflächen durch das Studium der algebraischen Gleichungen für diese Objekte. Eigenschaften algebraischer Gleichungen werden wiederum mit den Techniken der Ringtheorie untersucht . Bei diesem Ansatz beziehen sich die Eigenschaften eines geometrischen Objekts auf die Eigenschaften eines zugehörigen Rings. Der Raum (zB reell, komplex oder projektiv), in dem das Objekt definiert ist, ist dem Objekt extrinsisch, während der Ring intrinsisch ist.

Grothendieck legte eine neue Grundlage für die algebraische Geometrie, indem er intrinsische Räume ("Spektren") und zugehörige Ringe zu den primären Untersuchungsobjekten machte. Zu diesem Zweck entwickelte er die Theorie der Schemata , die man sich informell als topologische Räume vorstellen kann, auf denen jeder offenen Teilmenge des Raums ein kommutativer Ring zugeordnet ist. Schemata sind zu den grundlegenden Studienobjekten für Praktiker der modernen algebraischen Geometrie geworden. Ihre Verwendung als Grundlage ermöglichte es der Geometrie, technische Fortschritte aus anderen Bereichen aufzunehmen.

Seine Verallgemeinerung des klassischen Riemann-Roch-Theorems bezog topologische Eigenschaften komplexer algebraischer Kurven auf ihre algebraische Struktur. Die von ihm entwickelten Werkzeuge zum Beweis dieses Theorems begannen mit dem Studium der algebraischen und topologischen K-Theorie , die die topologischen Eigenschaften von Objekten untersucht, indem sie sie mit Ringen assoziieren. Die topologische K-Theorie wurde von Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch gegründet , nach direktem Kontakt mit Grothendiecks Ideen bei der Bonner Arbeitstagung .

Kohomologie-Theorien

Grothendiecks Konstruktion neuer Kohomologietheorien , die algebraische Techniken zum Studium topologischer Objekte verwenden, hat die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie , der algebraischen Topologie und der Darstellungstheorie beeinflusst . Als Teil dieses Projekts hat seine Entwicklung der Topos-Theorie , einer kategorietheoretischen Verallgemeinerung der Punktmengentopologie , die Gebiete der Mengenlehre und der mathematischen Logik beeinflusst .

Die Weil-Vermutungen wurden in den späten 1940er Jahren als eine Reihe mathematischer Probleme in der arithmetischen Geometrie formuliert . Sie beschreiben Eigenschaften analytischer Invarianten, sogenannte lokale Zetafunktionen , der Anzahl von Punkten auf einer algebraischen Kurve oder Varietät höherer Dimension. Grothendiecks Entdeckung der ℓ-adischen étale-Kohomologie , das erste Beispiel einer Weil-Kohomologie- Theorie, ebnete den Weg für einen Beweis der Weil-Vermutungen, der schließlich in den 1970er Jahren von seinem Schüler Pierre Deligne abgeschlossen wurde . Grothendiecks groß angelegter Ansatz wird als "visionäres Programm" bezeichnet. Die ℓ-adische Kohomologie wurde dann mit Anwendungen für das Langlands-Programm zu einem grundlegenden Werkzeug für Zahlentheoretiker .

Grothendiecks mutmaßliche Motivtheorie sollte die "ℓ-adische" Theorie sein, jedoch ohne die Wahl von "ℓ", einer Primzahl. Es bot nicht den beabsichtigten Weg zu den Weil-Vermutungen, sondern stand hinter modernen Entwicklungen in der algebraischen K-Theorie , der motivischen Homotopietheorie und der motivischen Integration . Diese Theorie, Daniel Quillens Arbeit und Grothendiecks Theorie der Chern-Klassen , gelten als Hintergrund der Theorie des algebraischen Kobordismus , einem weiteren algebraischen Analogon topologischer Ideen.

Kategorientheorie

Grothendiecks Betonung der Rolle universeller Eigenschaften über verschiedene mathematische Strukturen hinweg brachte die Kategorientheorie als Organisationsprinzip für die Mathematik im Allgemeinen in den Mainstream. Unter ihren Anwendungen schafft die Kategorientheorie eine gemeinsame Sprache zur Beschreibung ähnlicher Strukturen und Techniken, die in vielen verschiedenen mathematischen Systemen zu finden sind. Sein Konzept der abelschen Kategorie ist heute das grundlegende Untersuchungsobjekt der homologischen Algebra . Das Aufkommen einer eigenen mathematischen Disziplin der Kategorientheorie wurde dem Einfluss Grothendiecks zugeschrieben, wenn auch unbeabsichtigt.

In der Populärkultur

Der Roman Colonel Lágrimas ( Colonel Tears in English, erhältlich bei Restless Books) des puerto-ricanischen Schriftstellers Carlos Fonseca ist ein semibiografischer Roman über Grothendieck.

Veröffentlichungen

  • Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topologische Tensorprodukte und nukleare Räume]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (auf Französisch). Vorsehung: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. HERR  0075539 . OCLC  1315788 .
  • Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume . Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon und Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Quellen und weiterführende Literatur

Externe Links