Algebraische Topologie - Algebraic topology
Die algebraische Topologie ist ein Zweig der Mathematik , der Werkzeuge der abstrakten Algebra verwendet , um topologische Räume zu studieren . Das grundlegende Ziel ist es, algebraische Invarianten zu finden , die topologische Räume bis hin zum Homöomorphismus klassifizieren, obwohl die meisten normalerweise bis zur Homotopieäquivalenz klassifizieren .
Obwohl die algebraische Topologie hauptsächlich Algebra verwendet, um topologische Probleme zu untersuchen, ist es manchmal auch möglich, Topologie zur Lösung algebraischer Probleme zu verwenden. Die algebraische Topologie ermöglicht beispielsweise einen bequemen Beweis, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe wieder eine freie Gruppe ist.
Hauptzweige der algebraischen Topologie
Im Folgenden sind einige der Hauptbereiche aufgeführt, die in der algebraischen Topologie untersucht wurden:
Homotopiegruppen
In der Mathematik werden Homotopiegruppen in der algebraischen Topologie verwendet, um topologische Räume zu klassifizieren . Die erste und einfachste Homotopiegruppe ist die Fundamentalgruppe , die Informationen über Schleifen in einem Raum aufzeichnet. Intuitiv zeichnen Homotopiegruppen Informationen über die Grundform oder Löcher eines topologischen Raums auf.
Homologie
In der algebraischen Topologie und abstrakten Algebra ist Homologie (teilweise aus dem Griechischen ὁμός homos "identisch") ein bestimmtes allgemeines Verfahren, um eine Folge von abelschen Gruppen oder Modulen mit einem gegebenen mathematischen Objekt wie einem topologischen Raum oder einer Gruppe zu assoziieren .
Kohomologie
In der Homologietheorie und algebraischen Topologie ist Kohomologie ein allgemeiner Begriff für eine Folge von abelschen Gruppen, die aus einem Co-Kettenkomplex definiert sind . Das heißt, cohomology als abstrakte Studie von definierten Koketten , Kozyklen und coboundaries . Die Kohomologie kann als Methode angesehen werden, algebraische Invarianten einem topologischen Raum zuzuordnen , der eine feinere algebraische Struktur hat als die Homologie . Die Kohomologie entsteht aus der algebraischen Dualisierung der Konstruktion von Homologie. In weniger abstrakter Sprache sollten Cochains im fundamentalen Sinne den Ketten der Homologietheorie „Quantitäten“ zuordnen .
Verteiler
Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , der in der Nähe jedes Punktes dem euklidischen Raum ähnelt . Beispiele sind die Ebene , die Kugel und der Torus , die alle dreidimensional realisiert werden können, aber auch die Kleinflasche und die reale projektive Ebene, die nicht dreidimensional, sondern vierdimensional realisierbar sind. Typischerweise konzentrieren sich die Ergebnisse in der algebraischen Topologie auf globale, nicht differenzierbare Aspekte von Mannigfaltigkeiten; zum Beispiel Poincaré-Dualität .
Knotentheorie
Knotentheorie ist das Studium mathematischer Knoten . Inspiriert von Knoten, die im täglichen Leben in Schnürsenkeln und Seilen vorkommen, unterscheidet sich der Knoten eines Mathematikers dadurch, dass die Enden so miteinander verbunden sind, dass er nicht gelöst werden kann. In präziser mathematischer Sprache ist ein Knoten eine Einbettung eines Kreises in den 3-dimensionalen euklidischen Raum , . Zwei mathematische Knoten sind äquivalent, wenn einer durch eine Verformung seiner selbst in den anderen umgewandelt werden kann (bekannt als Umgebungsisotopie ); diese Transformationen entsprechen Manipulationen einer verknoteten Schnur, die nicht das Durchschneiden der Schnur oder das Durchführen der Schnur durch sich selbst beinhalten.
Komplexe
Ein simplizialer Komplex ist ein topologischer Raum einer bestimmten Art, der durch "Zusammenkleben" von Punkten , Liniensegmenten , Dreiecken und ihren n- dimensionalen Gegenstücken konstruiert wird (siehe Abbildung). Simpliziale Komplexe sollten nicht mit der abstrakteren Vorstellung einer simplizialen Menge verwechselt werden , die in der modernen simplizialen Homotopietheorie auftaucht. Das rein kombinatorische Gegenstück zu einem simplizialen Komplex ist ein abstrakter simplizialer Komplex .
Ein CW-Komplex ist ein topologischer Raumtyp, der von JHC Whitehead eingeführt wurde , um die Anforderungen der Homotopietheorie zu erfüllen . Diese Klasse von Räumen ist breiter und hat einige bessere kategoriale Eigenschaften als simpliziale Komplexe , behält aber dennoch eine kombinatorische Natur, die Berechnungen ermöglicht (oft mit einem viel kleineren Komplex).
Methode der algebraischen Invarianten
Ein älterer Name für das Thema war kombinatorische Topologie , was eine Betonung darauf impliziert, wie ein Raum X aus einfacheren konstruiert wurde (das moderne Standardwerkzeug für eine solche Konstruktion ist der CW-Komplex ). In den 1920er und 1930er Jahren wurde immer mehr Wert auf die Untersuchung topologischer Räume gelegt, indem Übereinstimmungen von ihnen zu algebraischen Gruppen gefunden wurden , was zur Namensänderung in algebraische Topologie führte. Der Name der kombinatorischen Topologie wird manchmal noch verwendet, um einen algorithmischen Ansatz zu betonen, der auf der Zerlegung von Räumen basiert.
Im algebraischen Ansatz findet man eine Entsprechung zwischen Räumen und Gruppen , die die Beziehung des Homöomorphismus (oder allgemeiner Homotopie ) von Räumen respektiert . Dies ermöglicht es, Aussagen über topologische Räume in Aussagen über Gruppen umzuwandeln, die sehr viel überschaubare Struktur haben, wodurch diese Aussagen oft leichter zu beweisen sind. Zwei Hauptwege, auf denen dies erreicht werden kann, sind fundamentale Gruppen oder allgemeiner die Homotopietheorie und Homologie- und Kohomologiegruppen . Die Fundamentalgruppen geben uns grundlegende Informationen über die Struktur eines topologischen Raums, aber sie sind oft nichtabelsch und können schwierig zu bearbeiten sein. Die Fundamentalgruppe eines (endlichen) simplizialen Komplexes hat eine endliche Darstellung .
Homologie- und Kohomologiegruppen hingegen sind abelsch und in vielen wichtigen Fällen endlich erzeugt. Endlich generierte abelsche Gruppen sind vollständig klassifiziert und besonders einfach zu bearbeiten.
Einstellung in der Kategorientheorie
Im Allgemeinen sind alle Konstruktionen der algebraischen Topologie funktorial ; die Begriffe Kategorie , Funktor und natürliche Transformation entstanden hier. Fundamentale Gruppen und Homologie- und Kohomologiegruppen sind nicht nur Invarianten des zugrunde liegenden topologischen Raums in dem Sinne, dass zwei topologische Räume, die homöomorph sind, dieselben assoziierten Gruppen haben, sondern ihre assoziierten Morphismen entsprechen auch – eine kontinuierliche Abbildung von Räumen induziert einen Gruppenhomomorphismus auf die assoziierten Gruppen, und diese Homomorphismen können verwendet werden, um die Nichtexistenz (oder, viel tiefer, die Existenz) von Abbildungen zu zeigen.
Einer der ersten Mathematiker, der mit verschiedenen Arten der Kohomologie arbeitete, war Georges de Rham . Man kann die Differentialstruktur glatter Mannigfaltigkeiten über die de Rham-Kohomologie oder die Čech- oder Garben-Kohomologie verwenden , um die Lösbarkeit von Differentialgleichungen zu untersuchen, die auf der fraglichen Mannigfaltigkeit definiert sind. De Rham zeigte, dass all diese Ansätze miteinander verbunden waren und dass für eine geschlossene, orientierte Mannigfaltigkeit die durch simpliziale Homologie abgeleiteten Betti-Zahlen dieselben Betti-Zahlen waren wie die durch die de Rham-Kohomologie abgeleiteten. Dies wurde in den 1950er Jahren erweitert, als Samuel Eilenberg und Norman Steenrod diesen Ansatz verallgemeinerten. Sie definierten Homologie und Kohomologie als functors ausgestattet mit natürlichen Transformationen unter bestimmten Axiome (zB eine schwache Äquivalenz von Räumen geht zu einem Isomorphismus von Homologie - Gruppen), überprüft , dass alle bestehenden (co) Homologie Theorien diese Axiome erfüllt, und dann bewiesen , dass solche eine Axiomatisierung kennzeichnete die Theorie auf einzigartige Weise.
Anwendungen der algebraischen Topologie
Klassische Anwendungen der algebraischen Topologie sind:
- Der Fixpunktsatz von Brouwer : Jede kontinuierliche Abbildung von der Einheit n -Disk zu sich selbst hat einen Fixpunkt.
- Der freie Rang der n- ten Homologiegruppe eines simplizialen Komplexes ist die n- te Betti-Zahl , die es erlaubt, die Euler-Poincaré-Charakteristik zu berechnen .
- Man kann die Differentialstruktur glatter Mannigfaltigkeiten über die de Rham-Kohomologie oder die Čech- oder Garben-Kohomologie verwenden , um die Lösbarkeit von Differentialgleichungen zu untersuchen, die auf der fraglichen Mannigfaltigkeit definiert sind.
- Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn die hochdimensionale integrale Homologiegruppe die ganzen Zahlen sind, und ist nicht orientierbar, wenn sie 0 ist.
- Die n -sphere zugibt eine nirgends verschwindende kontinuierliche Einheit Vektorfeld , wenn und nur wenn n ungerade ist . (Für n = 2 wird dies manchmal als „ Hairy-Ball-Theorem “ bezeichnet.)
- Der Borsuk-Ulam : beliebig kontinuierliche Karte vom n -sphere zu euklidischem n -Raum identifiziert mindestens einem Paar gegenüberliegender Punkte.
- Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei. Dieses Ergebnis ist sehr interessant, denn die Aussage ist rein algebraisch, der einfachste bekannte Beweis jedoch topologisch. Jede freie Gruppe G kann nämlich als Fundamentalgruppe eines Graphen X realisiert werden . Der Hauptsatz über das Überdecken von Räumen sagt uns, dass jede Untergruppe H von G die Fundamentalgruppe eines überdeckenden Raums Y von X ist ; aber jedes solche Y ist wieder ein Graph. Daher ist seine Fundamentalgruppe H frei. Andererseits wird diese Art der Anwendung auch einfacher durch die Verwendung von überdeckenden Morphismen von Gruppoiden gehandhabt , und diese Technik hat Untergruppensätze hervorgebracht, die noch nicht durch Methoden der algebraischen Topologie bewiesen wurden; siehe Higgins (1971) .
- Topologische Kombinatorik .
Bemerkenswerte algebraische Topologen
- Frank Adams
- Michael Atiyah
- Enrico Betti
- Armand Borel
- Karol Borsuk
- Luitzen Egbertus Jan Brouwer
- William Browder
- Ronald Brown
- Henri Cartan
- Albrecht Dold
- Charles Ehresmann
- Samuel Eilenberg
- Hans Freudenthal
- Peter Freyd
- Pierre Gabriel
- Alexander Grothendieck
- Allen Hatcher
- Friedrich Hirzebruch
- Heinz Hopf
- Michael J. Hopkins
- Wittold Hurewicz
- Egbert van Kampen
- Daniel Kan
- Hermann Künneth
- Ruth Lawrence
- Solomon Lefschetz
- Jean Leray
- Saunders Mac Lane
- Mark Mahowald
- J. Peter May
- Barry Mazur
- John Milnor
- John Coleman Moore
- Jack Morava
- Emmy Noether
- Sergej Nowikow
- Grigori Perelman
- Lev Pontryagin
- Nicolae Popescu
- Michail Postnikow
- Daniel Quillen
- Jean-Pierre Serre
- Stephen Smale
- Edwin Spanier
- Norman Steenrod
- Dennis Sullivan
- René Thom
- Hiroshi Toda
- Leopold Vietoris
- Hassler Whitney
- JHC Whitehead
- Gordon Thomas Whyburn
Wichtige Sätze der algebraischen Topologie
- Satz von Blakers-Massey
- Borsuk-Ulam-Theorem
- Brouwer Fixpunktsatz
- Zellulärer Approximationssatz
- Dold-Thom-Theorem
- Satz von Eilenberg-Ganea
- Satz von Eilenberg-Zilber
- Freudenthaler Suspensionssatz
- Satz von Hurewicz
- Künneth-Theorem
- Fixpunktsatz von Lefschetz
- Leray-Hirsch-Theorem
- Poincaré-Dualitätssatz
- Satz von Seifert-van Kampen
- Universalkoeffizientensatz
- Whitehead-Theorem
Siehe auch
- Algebraische K-Theorie
- Genaue Reihenfolge
- Glossar der algebraischen Topologie
- Grothendieck-Topologie
- Theorie der höheren Kategorie
- Höherdimensionale Algebra
- Homologische Algebra
- K-Theorie
- Lügen-Algebroid
- Gruppoid lügen
- Wichtige Veröffentlichungen zur algebraischen Topologie
- Serre spektrale Sequenz
- Garbe
- Topologische Quantenfeldtheorie
Anmerkungen
Verweise
- Allegretti, Dylan GL (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (Diskutiert verallgemeinerte Versionen des Satzes von van Kampen, angewendet auf topologische Räume und simpliziale Mengen).
- Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
- Brown, R. (2007), Höherdimensionale Gruppentheorie (Gibt einen breiten Überblick über höherdimensionale van Kampen-Theoreme, die mehrere Gruppoide beinhalten) .
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- Fraleigh, John B. (1976), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (2. Aufl.), Lesung: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Greenberg, Marvin J. ; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition , Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. Ein funktionaler, algebraischer Ansatz, der ursprünglich von Greenberg mit geometrischen Aromen von Harper hinzugefügt wurde.
- Hatcher, Allen (2002), Algebraische Topologie , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Eine moderne, geometrisch gefärbte Einführung in die algebraische Topologie.
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- Maunder, CRF (1970), Algebraische Topologie , London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
- tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology , EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
- van Kampen, Egbert (1933), "On the connection between the fundamental groups of some related spaces", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091
Weiterlesen
- Hatcher, Allen (2002). Algebraische Topologie . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.und ISBN 0-521-79540-0 .
- "Algebraische Topologie" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
- Mai JP (1999). Ein kompakter Kurs in algebraischer Topologie (PDF) . University of Chicago Press . Abgerufen 2008-09-27 . Abschnitt 2.7 liefert eine kategorietheoretische Darstellung des Satzes als Colimit in der Kategorie der Gruppoide.