Einvernehmliche Nummern - Amicable numbers

Demonstration der Freundlichkeit des Zahlenpaares mit Stäben (220,284)

Einvernehmliche Zahlen sind zwei verschiedene Zahlen, die so miteinander verbunden sind, dass die Summe der richtigen Teiler jeder gleich der anderen Zahl ist.

Das kleinste Paar einvernehmlicher Zahlen ist ( 220 , 284 ). Sie sind freundschaftlich, weil die richtigen Teiler von 220 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110 sind, von denen die Summe 284 ist; und die echten Teiler von 284 sind 1, 2, 4, 71 und 142, deren Summe 220 ist. (Ein echter Teiler einer Zahl ist ein positiver Faktor dieser Zahl außer der Zahl selbst. Zum Beispiel sind die richtigen Teiler von 6 sind 1, 2 und 3.)

Ein Paar einvernehmlicher Zahlen bildet eine aliquote Folge der Periode 2. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Paare einvernehmlicher Zahlen gibt.

Ein verwandtes Konzept ist das einer perfekten Zahl , das ist eine Zahl, die gleich der Summe ihrer eigenen Teiler ist, mit anderen Worten eine Zahl, die eine aliquote Folge der Periode 1 bildet. Zahlen, die Mitglieder einer aliquoten Folge mit einer Periode größer als sind 2 sind als soziale Zahlen bekannt .

Die ersten zehn freundschaftlichen Paare sind: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) und (66928, 66992). (Sequenz A259180 im OEIS ). (Siehe auch OEIS : A002025 und OEIS : A002046 )

Geschichte

Einvernehmliche Zahlen waren den Pythagoräern bekannt , die ihnen viele mystische Eigenschaften zuschrieben. Eine allgemeine Formel, nach der einige dieser Zahlen abgeleitet werden konnten, wurde um 850 vom irakischen Mathematiker Thābit ibn Qurra (826–901) erfunden. Andere arabische Mathematiker, die sich mit freundlichen Zahlen beschäftigten, sind al-Majriti (gestorben 1007), al-Baghdadi (980–1037) und al-Fārisī (1260–1320). Der iranische Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi (16. Jahrhundert) entdeckte das Paar (9363584, 9437056), obwohl dies oft Descartes zugeschrieben wurde . Ein Großteil der Arbeit östlicher Mathematiker auf diesem Gebiet ist in Vergessenheit geraten.

Die Formel von Thābit ibn Qurra wurde von Fermat (1601–1665) und Descartes (1596–1650), denen sie manchmal zugeschrieben wird, wiederentdeckt und von Euler (1707–1783) erweitert. Es wurde 1972 von Borho erweitert . Fermat und Descartes entdeckten auch Paare von freundschaftlichen Zahlen, die arabischen Mathematikern bekannt waren. Außerdem entdeckte Euler Dutzende neuer Paare. Das zweitkleinste Paar (1184, 1210) wurde 1866 von einem damals jugendlichen B. Nicolò I. Paganini (nicht zu verwechseln mit dem Komponisten und Geiger) entdeckt, nachdem es von früheren Mathematikern übersehen worden war.

Bis 1946 gab es 390 bekannte Paare, aber das Aufkommen von Computern hat seitdem die Entdeckung von vielen Tausenden ermöglicht. Es wurden umfassende Recherchen durchgeführt, um alle Paare zu finden, die kleiner als eine bestimmte Grenze sind, wobei diese Grenze von 10 ⁸ im Jahr 1970 auf 10 ¹⁰ im Jahr 1986, 10 ¹¹ im Jahr 1993, 10 ¹⁷ im Jahr 2015 und auf 10 ¹⁸ im Jahr 2016 erweitert wurde.

Ab Oktober 2021 gibt es über 1.227.230.944 bekannte freundschaftliche Paare.

Regeln für die Generation

Während diese Regeln einige Paare von einvernehmlichen Zahlen generieren, sind viele andere Paare bekannt, so dass diese Regeln keineswegs vollständig sind.

Insbesondere erzeugen die beiden folgenden Regeln nur gerade freundschaftliche Paare, so dass sie für das offene Problem, freundschaftliche Paare zu finden, die zu 210 = 2·3·5·7 coprime sind, uninteressant sind, während über 1000 Paare zu 30 = 2·3 . coprime sind ·5 sind bekannt [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Theorem von Thābit ibn Qurra

Das Theorem von Thābit ibn Qurra ist eine Methode zur Entdeckung gütlicher Zahlen, die im neunten Jahrhundert vom arabischen Mathematiker Thābit ibn Qurra erfunden wurde .

Es besagt, dass wenn

p = 3\times2 n - 1 - 1

,

q = 3\times2 n - 1

,

r = 9\times2 2 n - 1 - 1

,

wobei $n > 1$ ist eine ganze Zahl und $p$ , $q$ und $r$ ist Primzahlen , dann $2 n \times p \times q$ und $2 n \times r$ ein Paar von befreundeten Zahlen sind. Diese Formel liefert die Paare $(220, 284)$ für $n = 2$ , $(17296, 18416)$ für $n = 4$ und $(9363584, 9437056)$ für $n = 7$ , aber es sind keine anderen solchen Paare bekannt. Zahlen der Form $3\times2 n - 1$ werden als Thabit-Zahlen bezeichnet . Damit die Formel von Ibn Qurra ein freundschaftliches Paar ergibt, müssen zwei aufeinanderfolgende Thabit-Zahlen Primzahlen sein; dies schränkt die möglichen Werte von $n stark ein$ .

Um den Satz zu begründen, bewies Thâbit ibn Qurra neun Lemmata, die in zwei Gruppen unterteilt sind. Die ersten drei Lemmata befassen sich mit der Bestimmung der aliquoten Teile einer natürlichen ganzen Zahl. Die zweite Gruppe von Lemmata befasst sich genauer mit der Bildung von perfekten, reichlich vorhandenen und defizienten Zahlen.

Eulersche Regel

Die Eulersche Regel ist eine Verallgemeinerung des Theorems von Thâbit ibn Qurra. Es besagt, dass wenn

p = (2 n - m + 1) \times 2 m - 1

,

q = (2 n - m + 1) \times 2 n - 1

,

r = (2 n - m + 1) 2 \times 2 m + n - 1

,

wobei $n > m > 0$ sind ganze Zahlen sind und $p$ , $q$ und $r$ sind Primzahlen , dann $2 n \times p \times q$ und $2 n \times r$ ein Paar von befreundeten Zahlen sind. Der Satz von Thābit ibn Qurra entspricht dem Fall $m = n - 1$ . Die Eulersche Regel erzeugt zusätzliche freundschaftliche Paare für $(m, n) = (1,8), (29,40),$ ohne dass andere bekannt sind. Euler (1747 & 1750) fand insgesamt 58 neue Paare, um aus allen bis dahin bestehenden Paaren 61 zu machen.

Regelmäßige Paare

Sei ( $m$ , $n$ ) ein Paar freundschaftlicher Zahlen mit $m < n$ und schreibe $m = gM$ und $n = gN$ wobei $g$ der größte gemeinsame Teiler von $m$ und $n ist$ . Wenn $M$ und $N$ beide zu $g$ teilerfremd und quadratfrei sind, dann heißt das Paar ( $m$ , $n$ ) regulär (Sequenz A215491 im OEIS ); andernfalls wird es als unregelmäßig oder exotisch bezeichnet . Wenn ( $m$ , $n$ ) regulär und $M$ und $N$ haben $i$ und $j$ Primfaktoren bzw. dann $($ $m$ $,$ $n$ $)$ wird gesagt, dass der Typ $($ $i$ $,$ $j$ $)$ .

Mit $(m, n) = (220, 284)$ ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler $4,$ also $M = 55$ und $N = 71$ . Daher ist $(220, 284)$ regulär vom Typ $(2, 1)$ .

Zwei freundschaftliche Paare

Ein freundschaftliches Paar $(m, n)$ ist Zwilling, wenn es keine ganzen Zahlen zwischen $m$ und $n gibt,$ die zu einem anderen freundschaftlichen Paar gehören (Sequenz A273259 im OEIS )

Andere Ergebnisse

In jedem bekannten Fall sind die Zahlen eines Paares entweder beide gerade oder beide ungerade. Es ist nicht bekannt, ob es ein gerade-ungerades Paar freundschaftlicher Zahlen gibt, aber wenn dies der Fall ist, muss die gerade Zahl entweder eine Quadratzahl oder zweimal eins sein, und die ungerade Zahl muss eine Quadratzahl sein. Es gibt jedoch gütliche Zahlen, bei denen die beiden Mitglieder unterschiedliche kleinste Primfaktoren haben: Es sind sieben solcher Paare bekannt. Auch alle bekannten Paare Aktien mindestens ein gemeinsamer Prime Faktor . Es ist nicht bekannt, ob ein Paar von einvernehmlichen Koprimezahlen existiert, obwohl, falls dies der Fall ist, das Produkt der beiden größer als 10 ^{67 sein muss} . Außerdem kann ein Paar von einvernehmlichen Co-Prime-Zahlen weder durch die Formel von Thabit (oben) noch durch eine ähnliche Formel erzeugt werden.

1955 zeigte Paul Erdős , dass die Dichte der einvernehmlichen Zahlen relativ zu den positiven ganzen Zahlen 0 beträgt.

1968 stellte Martin Gardner fest, dass die meisten zu seiner Zeit bekannten geraden freundschaftlichen Paare durch 9 teilbare Summen haben, und eine Regel zur Charakterisierung der Ausnahmen (Sequenz A291550 im OEIS ) wurde erhalten.

Gemäß der Vermutung der Summe der freundschaftlichen Paare nähert sich der Prozentsatz der Summen der freundschaftlichen Paare, die durch zehn teilbar sind, 100% an, wenn sich die Zahl der freundschaftlichen Zahlen der Unendlichkeit nähert (Sequenz A291422 im OEIS ).

Referenzen in der Populärkultur

Einvernehmliche Nummern werden in dem Roman Die Haushälterin und der Professor von Yōko Ogawa und in dem darauf basierenden japanischen Film vorgestellt .
Paul Austers Kurzgeschichtensammlung mit dem Titel True Tales of American Life enthält eine Geschichte ('Mathematical Aphrodisiaca' von Alex Galt), in der einvernehmliche Zahlen eine wichtige Rolle spielen.
Einvernehmliche Nummern werden kurz in dem Roman The Stranger House von Reginald Hill vorgestellt .
Einvernehmliche Zahlen werden in dem französischen Roman The Parrot's Theorem von Denis Guedj erwähnt .
Einvernehmliche Nummern werden in der JRPG Persona 4 Golden erwähnt .
Einvernehmliche Nummern werden in der Visual Novel Rewrite vorgestellt .
Einvernehmliche Nummern (220, 284) werden in Episode 13 des koreanischen Dramas Andante von 2017 erwähnt .
Einvernehmliche Nummern sind im griechischen Film The Other Me (Film 2016) zu sehen .
Einvernehmliche Zahlen werden in Brian Cleggs Buch Are Numbers Real?
Einvernehmliche Nummern werden in dem Roman Apeirogon von Colum McCann aus dem Jahr 2020 erwähnt .

Verallgemeinerungen

Einvernehmliche Tupel

Einvernehmliche Zahlen erfüllen und die zusammen geschrieben werden können als . Dies kann auf größere Tupel verallgemeinert werden, sagen wir , wo wir benötigen $(m,n)$ $\sigma (m)-m=n$ $\sigma(n)-n=m$ $\sigma (m)=\sigma (n)=m+n$ $(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k})$

\sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}

Zum Beispiel ist (1980, 2016, 2556) ein freundschaftliches Triple (Sequenz A125490 im OEIS ) und (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) ist ein freundschaftliches Quadrupel (Sequenz A036471 im OEIS ).

Amicable Multisets werden analog definiert und verallgemeinert dies etwas weiter (Sequenz A259307 im OEIS ).

Gesellige Zahlen

Soziale Zahlen sind die Zahlen in zyklischen Zahlenlisten (mit einer Länge von mehr als 2), wobei jede Zahl die Summe der richtigen Teiler der vorhergehenden Zahl ist. Zum Beispiel sind gesellige Zahlen der Ordnung 4. $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$

Auf der Suche nach geselligen Zahlen

Die aliquote Sequenz kann als gerichteter Graph dargestellt werden , , für eine gegebene ganze Zahl , wobei die Summe der richtigen Teiler von bezeichnet . Zyklen in repräsentieren gesellige Zahlen innerhalb des Intervalls . Zwei Sonderfälle sind Schleifen, die perfekte Zahlen darstellen, und Zyklen der Länge zwei, die einvernehmliche Paare darstellen . $G_{n,s}$ $n$ $s(k)$ $k$ $G_{n,s}$ $[1,n]$

Siehe auch

Verlobte Nummern (quasi-freundschaftliche Nummern)

Anmerkungen

Verweise

Dieser Artikel enthält Text aus einer Veröffentlichung, die jetzt gemeinfrei ist : Chisholm, Hugh, ed. (1911). " Freundliche Zahlen ". Encyclopædia Britannica (11. Aufl.). Cambridge University Press.
Sandor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbuch der Zahlentheorie II . Dordrecht: Kluwer Akademiker. S. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001 .
Wells, D. (1987). Das Pinguin-Wörterbuch der merkwürdigen und interessanten Zahlen . London: Pinguingruppe . S. 145–147.
Weisstein, Eric W. "Freundliches Paar" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Rule" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Eulers Regel" . MathWorld .

Externe Links

M. Garcia; JM Pedersen; HJJ te Riele (2003-07-31). "Freundliche Paare, eine Umfrage" (PDF) . Report MAS-R0307 .
Grim, James. "220 und 284 (Einvernehmliche Zahlen)" . Zahlenphil . Brady Haran . Archiviert vom Original am 2017-07-16 . Abgerufen 2013-04-02 .
Grim, James. "MegaFavNumbers - Die gerade einvernehmliche Zahlenvermutung" . YouTube . Abgerufen 2020-06-09 .

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