Apollonius von Perge - Apollonius of Perga

Die Kegelschnitte oder zweidimensionalen Figuren, die durch den Schnitt einer Ebene mit einem Kegel unter verschiedenen Winkeln gebildet werden. Die Theorie dieser Figuren wurde von den antiken griechischen Mathematikern umfassend entwickelt und ist insbesondere in Werken wie denen des Apollonius von Perge überliefert. Die Kegelschnitte durchdringen die moderne Mathematik.

Apollonius von Perga ( griechisch : Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ; lateinisch : Apollonius Pergaeus ; ca.  240 v . Chr.  – ca.  190 v . Chr. ) war ein altgriechischer Geometer und Astronom, der für seine Arbeiten an Kegelschnitten bekannt war . Ausgehend von den Beiträgen von Euklid und Archimedes zu diesem Thema brachte er sie auf den Stand vor der Erfindung der analytischen Geometrie . Seine Definitionen der Begriffe Ellipse , Parabel und Hyperbel sind die heute gebräuchlichen. Gottfried Wilhelm Leibniz sagte: „Wer Archimedes und Apollonius versteht, wird die Leistungen der führenden Männer der späteren Zeit weniger bewundern.“

Apollonius arbeitete an zahlreichen anderen Themen, einschließlich der Astronomie. Die meisten dieser Arbeiten sind nicht erhalten geblieben, wobei Ausnahmen typischerweise Fragmente sind, auf die von anderen Autoren verwiesen wird. Seine Hypothese von exzentrischen Bahnen zur Erklärung der scheinbar abweichenden Bewegung der Planeten , die bis ins Mittelalter allgemein angenommen wurde , wurde während der Renaissance abgelöst . Der Apollonius-Krater auf dem Mond ist ihm zu Ehren benannt.

Leben

Für einen so wichtigen Beitrag zur Mathematik bleiben nur wenige biografische Informationen. Der griechische Kommentator Eutocius von Ascalon aus dem 6. Jahrhundert über Apollonius' Hauptwerk Conics sagt:

Apollonius, der Geometer, ... kam zur Zeit des Ptolemaios Euergetes aus Perge in Pamphylien, so berichtet Herakleios, der Biograph des Archimedes ....

Perga war zu dieser Zeit eine hellenisierte Stadt in Pamphylien in Anatolien . Die Ruinen der Stadt stehen noch. Es war ein Zentrum der hellenistischen Kultur. Euergetes, "Wohltäter", identifiziert Ptolemaios III. Euergetes , den dritten griechischen Dynasten Ägyptens in der Diadochen-Nachfolge. Vermutlich sind seine „Zeiten“ sein Regnum, 246-222/221 v. Die Zeiten werden immer vom Herrscher oder amtierenden Magistrat aufgezeichnet, so dass, wenn Apollonius vor 246 geboren wurde, es die „Zeiten“ von Euergetes' Vater gewesen wäre. Die Identität von Herakleios ist ungewiss. Die ungefähren Zeiten des Apollonius sind somit sicher, aber es können keine genauen Daten angegeben werden. Die von den verschiedenen Wissenschaftlern angegebenen Zahlen zu bestimmten Geburts- und Sterbejahren sind nur spekulativ.

Eutokius scheint Perga mit der ptolemäischen Dynastie Ägyptens zu assoziieren . Niemals unter Ägypten gehörte Perga 246 v. Chr. zum Seleukidenreich , einem unabhängigen Diadochenstaat , der von der Seleukiden-Dynastie regiert wurde. Während der letzten Hälfte des 3. Jahrhunderts v. Chr. wechselte Perga mehrmals den Besitzer, abwechselnd unter den Seleukiden und unter dem Königreich Pergamon im Norden, das von der Attaliden-Dynastie regiert wurde . Von jemandem, der als „von Perga“ bezeichnet wird, kann man durchaus erwarten, dass er dort gelebt und gearbeitet hat. Im Gegenteil, wenn Apollonius später mit Perge identifiziert wurde, dann nicht aufgrund seines Wohnsitzes. Das verbleibende autobiografische Material deutet darauf hin, dass er in Alexandria gelebt, studiert und geschrieben hat.

Ein Brief des griechischen Mathematikers und Astronomen Hypsicles war ursprünglich Teil der Ergänzung aus Euklids Buch XIV, einem Teil der dreizehn Bücher von Euklids Elemente.

Basilides von Tyrus , o Protarchos, verbrachte, als er nach Alexandria kam und meinen Vater traf, den größten Teil seines Aufenthalts bei ihm, weil sie aufgrund ihres gemeinsamen Interesses an Mathematik miteinander verbunden waren. Und bei einer Gelegenheit, als sie den Traktat von Apollonius über den Vergleich der in ein und derselben Sphäre eingeschriebenen Dodekaeder und Ikosaeder , das heißt über die Frage, in welchem ​​Verhältnis sie zueinander stehen, betrachteten, kamen sie zu dem Ergebnis: dass Apollonius' Behandlung davon in diesem Buch nicht richtig war; Dementsprechend, wie ich von meinem Vater erfahren habe, gingen sie daran, es zu ändern und umzuschreiben. Aber ich selbst stieß später auf ein anderes von Apollonius herausgegebenes Buch, das eine Demonstration der fraglichen Sache enthielt, und ich war von seiner Untersuchung des Problems sehr angezogen. Jetzt ist das von Apollonius herausgegebene Buch für alle zugänglich; denn es hat eine große Verbreitung in einer Form, die das Ergebnis späterer sorgfältiger Ausarbeitung zu sein scheint. Ich für meinen Teil habe beschlossen, Ihnen das, was ich für notwendig halte, als Kommentar zu widmen, auch weil Sie aufgrund Ihrer Kenntnisse in allen Mathematik und insbesondere in der Geometrie in der Lage sein werden, ein sachkundiges Urteil darüber abzugeben, was ich bin im Begriff zu schreiben, und zum Teil, weil Sie wegen Ihrer Vertrautheit mit meinem Vater und Ihrer Freundlichkeit mir gegenüber ein offenes Ohr für meine Ausführungen haben werden. Aber es ist an der Zeit, mit der Präambel fertig zu sein und meine Abhandlung selbst zu beginnen.

Die Zeiten des Apollonius

Apollonius lebte gegen Ende einer historischen Periode, die heute als hellenistische Periode bezeichnet wird , gekennzeichnet durch die Überlagerung der hellenischen Kultur über ausgedehnte nichthellenische Gebiete in verschiedenen Tiefen, an manchen Stellen radikal, an anderen kaum. Die Änderung wurde von initiiert Philip II von Macedon und seinem Sohn, Alexander der Großen , der ganz Griechenland in einer Reihe von beeindruckenden Siegen ausgesetzt wird , die erobern ging auf persisches Reich , die Gebiete von Ägypten nach Pakistan ausgeschlossen. Philipp wurde 336 v. Chr. ermordet. Alexander setzte seinen Plan fort, indem er das riesige persische Reich eroberte.

Die kurze Autobiographie des Apollonius

Das Material befindet sich in den erhaltenen falschen „Vorworten“ der Bücher seiner Conics. Dies sind Briefe an einflussreiche Freunde des Apollonius, in denen sie gebeten werden, das dem Brief beiliegende Buch zu rezensieren. Das Vorwort zu Buch I, das an einen Eudemus gerichtet ist, erinnert ihn daran, dass Conics ursprünglich von einem Hausgast in Alexandria, dem Geometer, Naukrates, angefordert wurde, der ansonsten der Geschichte unbekannt war. Naucrates hatte am Ende des Besuchs den ersten Entwurf aller acht Bücher in den Händen. Apollonius bezeichnet sie als „ohne gründliche Reinigung “ ( auf Griechisch ou diakatharantes , auf Latein ea non perpurgaremus ). Er beabsichtigte, die Bücher zu überprüfen und zu verbessern und jedes einzelne herauszugeben, sobald es fertig war.

Als Eudemus von Apollonius selbst bei einem späteren Besuch in Pergamon von diesem Plan hörte, hatte er darauf bestanden, dass Apollonius ihm jedes Buch vor der Veröffentlichung schickte. Die Umstände deuten darauf hin, dass Apollonius zu diesem Zeitpunkt ein junger Geometer war, der die Gesellschaft und den Rat etablierter Fachleute suchte. Pappus sagt, er sei bei den Schülern Euklids in Alexandria gewesen. Euklid war schon lange weg. Dieser Aufenthalt war vielleicht die letzte Etappe von Apollonius' Erziehung gewesen. Eudemus war vielleicht eine leitende Persönlichkeit in seiner früheren Ausbildung in Pergamon; auf jeden Fall gibt es Grund zu der Annahme, dass er der Leiter des Bibliotheks- und Forschungszentrums ( Museum ) von Pergamon war oder wurde . Apollonius führt weiter aus, dass sich die ersten vier Bücher mit der Entwicklung von Elementen befassten, während sich die letzten vier mit speziellen Themen befassten.

Zwischen den Vorworten I und II klafft eine gewisse Kluft. Apollonius hat seinen Sohn, ebenfalls Apollonius, geschickt, um II zu befreien. Er spricht selbstbewusster und schlägt vor, dass Eudemus das Buch in speziellen Studiengruppen verwendet, was bedeutet, dass Eudemus eine leitende Person, wenn nicht sogar der Schulleiter, im Forschungszentrum war. Die Forschung in solchen Einrichtungen, die aufgrund der Residenz Alexanders des Großen und seiner Gefährten in seinem nördlichen Zweig dem Vorbild des Lykaeums des Aristoteles in Athen folgten , war Teil der Bildungsarbeit, der Bibliothek und Museum angegliedert waren. Im Bundesland gab es nur eine solche Schule. Es war im Besitz des Königs und stand unter königlicher Schirmherrschaft, die typischerweise eifersüchtig, enthusiastisch und partizipativ war. Die Könige kauften, bettelten, liehen und stahlen die kostbaren Bücher, wann immer und wo immer sie konnten. Bücher waren von höchstem Wert und nur für wohlhabende Kunden erschwinglich. Sie zu sammeln war eine königliche Verpflichtung. Pergamon war bekannt für seine Pergamentindustrie, woher „ Pergament “ von „Pergamon“ abgeleitet wird.

Apollonius erinnert an Philonides von Laodizea , einen Geometer, den er Eudemus in Ephesus vorstellte . Philonides wurde Eudemus' Schüler. Er lebte in der 1. Hälfte des 2. Jahrhunderts v. Chr. hauptsächlich in Syrien. Ob das Treffen darauf hindeutet, dass Apollonius jetzt in Ephesus lebte, ist ungeklärt. Die intellektuelle Gemeinschaft des Mittelmeerraums war kulturell international. Die Gelehrten waren bei der Arbeitssuche mobil. Sie alle kommunizierten über eine Art Postdienst, öffentlich oder privat. Überlebende Briefe sind reichlich vorhanden. Sie besuchten sich gegenseitig, lasen ihre Werke, machten einander Vorschläge, empfahlen Studenten und sammelten eine Tradition, die von manchen als „das goldene Zeitalter der Mathematik“ bezeichnet wird.

Vorwort III fehlt. In der Zwischenzeit verstarb Eudemus, sagt Apollonius in IV und unterstützt erneut die Ansicht, dass Eudemus Apollonius übergeordnet war. Die Vorworte IV–VII sind formeller, lassen persönliche Informationen weg und konzentrieren sich auf die Zusammenfassung der Bücher. Sie alle sind an einen mysteriösen Attalus gerichtet, eine Wahl, die getroffen wurde, „weil“, wie Apollonius an Attalus schreibt, „Ihres ernsthaften Verlangens, meine Werke zu besitzen“, getroffen wurde. Zu dieser Zeit hatten viele Pergamoner einen solchen Wunsch. Vermutlich war dieser Attalus jemand Besonderes, der Kopien von Apollonius' Meisterwerk frisch aus der Hand des Autors erhielt. Eine starke Theorie ist , dass Attalos ist Attalos II Philadelphus , 220-138 BC, General und Verteidiger seines Bruders Reich ( Eumenes II ), Mitregent auf die Krankheit des letzteren in 160 vor Christus und Erben zu seinem Thron und seine Witwe in 158 BC . Er und sein Bruder waren große Mäzene der Künste und erweiterten die Bibliothek zu internationaler Pracht. Die Daten stimmen mit denen von Philonides überein, während das Motiv von Apollonius mit der Initiative zum Sammeln von Büchern von Attalus übereinstimmt.

Apollonius schickte Attalus Vorworte V–VII. Im Vorwort VII beschreibt er Buch VIII als „einen Anhang“ ... „den ich schnellstmöglich zusenden werde.“ Es gibt keine Aufzeichnung, dass es jemals gesendet oder jemals abgeschlossen wurde. Es mag in der Geschichte fehlen, weil es nie in der Geschichte war, da Apollonius vor seiner Vollendung gestorben war. Pappus von Alexandria lieferte jedoch Lemmata dafür, so dass zumindest eine Ausgabe davon einmal im Umlauf gewesen sein muss.

Dokumentierte Werke von Apollonius

Apollonius war ein produktiver Geometer, der eine große Anzahl von Werken hervorbrachte. Nur eines überlebt, Conics Von seinen acht Büchern haben nur die ersten vier einen glaubwürdigen Anspruch, von den Originaltexten des Apollonius abzustammen . Die Bücher 5-7 sind nur in einer arabischen Übersetzung von Thābit ibn Qurra im Auftrag der Banū Mūsā erhältlich . Das ursprüngliche Griechisch ist verloren. Der Status von Buch VIII ist unbekannt. Ein erster Entwurf lag vor. Ob der endgültige Entwurf jemals produziert wurde, ist nicht bekannt. Eine "Rekonstruktion" davon von Edmond Halley existiert in lateinischer Sprache. Es gibt keine Möglichkeit zu wissen, wie viel davon, wenn überhaupt, Apollonius wirklich ähnlich ist. Halley rekonstruierte auch De Rationis Sectione und De Spatii Sectione . Abgesehen von diesen Werken endet bis auf eine Handvoll Fragmente eine Dokumentation, die in irgendeiner Weise als von Apollonius stammend interpretiert werden könnte.

Viele der verlorenen Werke werden von Kommentatoren beschrieben oder erwähnt. Dazu kommen Ideen, die Apollonius von anderen Autoren ohne Dokumentation zugeschrieben werden. Glaubwürdig oder nicht, sie sind vom Hörensagen. Einige Autoren identifizieren Apollonius als Autor bestimmter Ideen, die folglich nach ihm benannt wurden. Andere versuchen, Apollonius in moderner Notation oder Phraseologie mit unbestimmter Genauigkeit auszudrücken.

Kegelschnitte

Der griechische Text von Conics verwendet die euklidische Anordnung von Definitionen, Figuren und ihren Teilen; dh das „Gegebene“, gefolgt von den „zu beweisenden“ Sätzen. Die Bücher I-VII präsentieren 387 Vorschläge. Diese Art der Anordnung kann in jedem modernen Geometrielehrbuch des traditionellen Faches gesehen werden. Wie in jedem mathematischen Studiengang ist der Stoff sehr dicht und die Betrachtung notwendigerweise langsam. Apollonius hatte für jedes Buch einen Plan, der teilweise in den Vorworten beschrieben ist . Die Überschriften oder Hinweise auf den Plan sind etwas defizitär, Apollonius war mehr auf den logischen Ablauf der Themen angewiesen.

So wird für die Kommentatoren der Epochen eine intellektuelle Nische geschaffen. Jeder muss Apollonius für seine Zeit auf die klarste und relevanteste Weise darstellen. Dabei kommen verschiedene Methoden zum Einsatz: Annotation, umfangreiches Vormaterial, unterschiedliche Formate, zusätzliche Zeichnungen, oberflächliche Reorganisation durch Zusatz von Kopf und so weiter. Es gibt subtile Variationen in der Interpretation. Der moderne Englischsprecher stößt auf einen Mangel an Material in Englisch aufgrund der Vorliebe für Neulatein durch Englischwissenschaftler. Solche intellektuellen englischen Riesen wie Edmund Halley und Isaac Newton, die eigentlichen Nachkommen der hellenistischen Tradition der Mathematik und Astronomie, können in der Übersetzung nur von englischsprachigen Bevölkerungsgruppen gelesen und interpretiert werden, die mit den klassischen Sprachen nicht vertraut sind; das heißt, die meisten von ihnen.

Präsentationen, die vollständig in englischer Muttersprache verfasst wurden, beginnen im späten 19. Jahrhundert. Besonders hervorzuheben ist die Abhandlung von Heath über konische Abschnitte . Sein umfangreicher einleitender Kommentar enthält solche Elemente wie ein Lexikon der apollinischen geometrischen Begriffe, die das Griechische, die Bedeutungen und den Gebrauch angeben. „Der scheinbar bedeutungsvolle Umfang der Abhandlung hat viele davon abgehalten, ihre Bekanntschaft zu machen“, verspricht er, Überschriften hinzuzufügen, die Gliederung oberflächlich zu ändern und den Text mit moderner Notation zu verdeutlichen. Seine Arbeit bezieht sich somit auf zwei Organisationssysteme, das eigene und das des Apollonius, zu denen Konkordanzen in Klammern angegeben sind.

Heides Arbeit ist unverzichtbar. Er lehrte während des gesamten frühen 20. Jahrhunderts und verstarb 1940, aber inzwischen entwickelte sich eine andere Sichtweise. Das St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , das seit der Kolonialzeit eine Militärschule war, vor der United States Naval Academy in Annapolis, Maryland , an die es angrenzt, verlor 1936 seine Akkreditierung und stand am Rande des Bankrotts . In seiner Verzweiflung rief der Vorstand Stringfellow Barr und Scott Buchanan von der University of Chicago zu sich , wo sie ein neues theoretisches Programm für den Unterricht der Klassiker entwickelt hatten. Als sie die Gelegenheit nutzten, führten sie 1937 das „neue Programm“ in St. John's ein, das später als das Great Books- Programm bezeichnet wurde, ein fester Lehrplan, der die Werke ausgewählter Schlüsselpersonen der Kultur der westlichen Zivilisation unterrichten sollte. In St. John's wurde Apollonius als er selbst gelehrt, nicht als Ergänzung zur analytischen Geometrie .

Der „Tutor“ von Apollonius war R. Catesby Taliaferro , ein neuer Doktortitel im Jahr 1937 an der University of Virginia . Er unterrichtete bis 1942 und später für ein Jahr im Jahr 1948 und lieferte selbst die englischen Übersetzungen, übersetzte Ptolemaios Almagest und Apollonius' Conics . Diese Übersetzungen wurden Teil der Reihe „ Große Bücher der westlichen Welt“ der Encyclopædia Britannica . Es sind nur die Bücher I-III enthalten, mit einem Anhang für spezielle Themen. Im Gegensatz zu Heath versuchte Taliaferro nicht, Apollonius auch nur oberflächlich zu reorganisieren oder ihn neu zu schreiben. Seine Übersetzung ins moderne Englisch folgt ziemlich genau dem Griechischen. Er verwendet bis zu einem gewissen Grad die moderne geometrische Notation.

Gleichzeitig mit Taliaferros Arbeit interessierte sich Ivor Thomas, ein Oxford-Student der Zeit des Zweiten Weltkriegs, intensiv für die griechische Mathematik. Er plante ein Kompendium von Selektionen, das während seines Militärdienstes als Offizier im Royal Norfolk Regiment zum Tragen kam . Nach dem Krieg fand es in der Loeb Classical Library ein Zuhause , wo es zwei Bände umfasst, die alle von Thomas übersetzt wurden, mit dem Griechischen auf der einen Seite und dem Englischen auf der anderen Seite, wie es für die Loeb-Reihe üblich ist. Thomas' Arbeit hat als Handbuch für das goldene Zeitalter der griechischen Mathematik gedient. Für Apollonius enthält er hauptsächlich nur die Teile von Buch I, die die Abschnitte definieren.

Heath, Taliaferro und Thomas erfüllten die öffentliche Nachfrage nach Apollonius in Übersetzung für den größten Teil des 20. Jahrhunderts. Das Thema geht weiter. Neuere Übersetzungen und Studien beziehen neue Informationen und Sichtweisen ein und untersuchen alte.

Buch I

Buch I präsentiert 58 Vorschläge. Sein hervorstechendster Inhalt sind alle grundlegenden Definitionen zu Kegeln und Kegelschnitten. Diese Definitionen sind nicht genau die gleichen wie die modernen Definitionen der gleichen Wörter. Etymologisch leiten sich die modernen Wörter von den alten ab, aber das Etymon unterscheidet sich oft in seiner Bedeutung von seinem Reflex .

Eine konische Fläche wird durch ein um eine Winkelhalbierende gedrehtes Liniensegment erzeugt, so dass die Endpunkte Kreise ziehen , jeder in seiner eigenen Ebene . Ein Kegel , ein Zweig der Doppelkegelfläche, ist die Fläche mit dem Punkt ( Spitze oder Scheitel ), dem Kreis ( Basis ) und der Achse, einer Linie, die Scheitel und Mittelpunkt der Basis verbindet.

Ein „ Schnitt “ (lat. sectio, griech. Wälzer) ist ein imaginäres „Schneiden“ eines Kegels durch eine Ebene .

• Satz I.3: „Wenn ein Kegel von einer Ebene durch den Scheitel geschnitten wird, ist der Schnitt ein Dreieck.“ Im Fall eines Doppelkegels besteht der Schnitt aus zwei Dreiecken, so dass die Winkel am Scheitel vertikale Winkel sind .
• Satz I.4 ​​besagt, dass Abschnitte eines Kegels parallel zur Grundfläche Kreise mit Mittelpunkten auf der Achse sind.
• Satz I.13 definiert die Ellipse, die als das Schneiden eines einzelnen Kegels durch eine zur Grundebene geneigte Ebene gedacht ist, die diese in einer Linie schneidet, die senkrecht zum Durchmesser der Grundfläche außerhalb des Kegels verläuft (nicht gezeigt) . Der Winkel der schiefen Ebene muss größer als Null sein, sonst wäre der Schnitt ein Kreis. Er muss kleiner sein als der entsprechende Basiswinkel des Achsendreiecks, bei dem die Figur zur Parabel wird.
• Satz I.11 definiert eine Parabel. Seine Ebene ist parallel zu einer Seite in der Kegelfläche des Achsendreiecks.
• Satz I.12 definiert eine Hyperbel. Seine Ebene ist parallel zur Achse. Es schneidet beide Zapfen des Paares und erhält so zwei verschiedene Zweige (nur einer ist gezeigt).

Die griechischen Geometer waren daran interessiert, ausgewählte Figuren aus ihrem Inventar in verschiedenen Anwendungen des Ingenieurwesens und der Architektur zu präsentieren, wie es die großen Erfinder wie Archimedes gewohnt waren. Eine Nachfrage nach Kegelschnitten bestand damals und besteht heute. Die Entwicklung der mathematischen Charakterisierung hatte die Geometrie in Richtung der griechischen geometrischen Algebra verschoben , die solche algebraischen Grundlagen wie die Zuweisung von Werten zu Liniensegmenten als Variablen visuell zeigt. Sie verwendeten ein Koordinatensystem, das zwischen einem Messgitter und dem kartesischen Koordinatensystem lag . Die Theorien der Proportionen und der Anwendung von Flächen ermöglichten die Entwicklung visueller Gleichungen. (Siehe unten unter Methoden des Apollonius).

Die animierte Figur zeigt die Methode des "Aufbringens von Flächen", um die mathematische Beziehung auszudrücken, die eine Parabel charakterisiert. Die obere linke Ecke des sich ändernden Rechtecks ​​auf der linken Seite und die obere rechte Ecke auf der rechten Seite ist "beliebiger Punkt auf dem Abschnitt". Die Animation hat es nach dem Abschnitt. Das orangefarbene Quadrat oben ist "das Quadrat der Entfernung vom Punkt zum Durchmesser, dh ein Quadrat der Ordinate. Bei Apollonius ist die Ausrichtung horizontal und nicht vertikal, hier gezeigt. Hier ist es das Quadrat der Abszisse Unabhängig von der Ausrichtung ist die Gleichung die gleiche, die Namen geändert. Das blaue Rechteck außen ist das Rechteck auf der anderen Koordinate und dem Abstand p. In der Algebra ist x ² = py, eine Form der Gleichung für eine Parabel. Wenn das äußere Rechteck die Fläche von py überschreitet, muss der Schnitt eine Hyperbel sein, wenn er kleiner ist, eine Ellipse.

Die „Anwendung von Flächen“ fragt implizit, ob bei einer Fläche und einem Linienabschnitt diese Fläche zutrifft; das heißt, ist es gleich dem Quadrat auf dem Segment? Falls ja, wurde eine Anwendbarkeit (Parabel) festgestellt. Apollonius folgte Euklid in der Frage, ob ein Rechteck auf der Abszisse eines beliebigen Punktes des Schnitts auf das Quadrat der Ordinate zutrifft . Wenn dies der Fall ist, ist seine Wortgleichung das Äquivalent dessen, was eine moderne Form der Gleichung für eine Parabel ist . Das Rechteck hat Seiten und . Er war es, der die Figur Parabel entsprechend „Anwendung“ nannte. ${\textstyle y^{2}{=}kx}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$

Der Fall „keine Anwendbarkeit“ wird weiter in zwei Möglichkeiten unterteilt. Gegeben eine Funktion , so dass im Anwendbarkeitsfall , im Nichtanwendbarkeitsfall entweder oder . Im ersteren unterschreitet durch eine die Auslassungs bezeichnet, „Defizit.“ Bei letzterem Überschwinger um eine Größe, die als Hyperbel bezeichnet wird, "surfeit". ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y^{2}{=}g(x)}$${\textstyle y^{2}>g(x)}$${\textstyle y^{2}<g(x)}$${\textstyle g(x)}$${\textstyle y^{2}}$${\textstyle g(x)}$

Die Anwendbarkeit könnte durch Addieren des Defizits oder Subtrahieren des Überschusses erreicht werden . Die ein Defizit ausgleichende Figur wurde als Ellipse bezeichnet; für ein Übermaß, eine Hyperbel. Die Terme der modernen Gleichung hängen von der Translation und Rotation der Figur vom Ursprung ab, aber die allgemeine Gleichung für eine Ellipse, ${\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}$${\textstyle g(x)-s}$

Ax ² + By ² = C

kann in das Formular eingefügt werden

${\displaystyle y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

wobei C/B das d ist, während eine Gleichung für die Hyperbel,

Ax ² - Um ² = C

wird

${\displaystyle y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

wobei C/B das s ist.

Buch II

Buch II enthält 53 Vorschläge. Apollonius sagt, dass er beabsichtigte, "die Eigenschaften, die mit den Durchmessern und Achsen zu tun haben, und auch die Asymptoten und andere Dinge ... für Grenzen des Möglichen abzudecken" . Seine Definition von "Durchmesser" unterscheidet sich von der traditionellen, da er es für notwendig hält, den beabsichtigten Empfänger des Briefes für eine Definition auf seine Arbeit zu verweisen. Die genannten Elemente sind diejenigen, die die Form und Erzeugung der Figuren vorgeben. Tangenten werden am Ende des Buches behandelt.

Buch III

Buch III enthält 56 Vorschläge. Apollonius behauptet die ursprüngliche Entdeckung für Theoreme "zur Verwendung für die Konstruktion von festen Ortskurven ... die Dreilinien- und Vierlinienkurve ...". Die Ortskurve eines Kegelschnitts ist der Schnitt. Das Dreilinien-Ortskurvenproblem (wie in Taliaferos Anhang zu Buch III angegeben) findet "den Ort der Punkte, deren Abstände von drei gegebenen festen Geraden ... so sind, dass das Quadrat einer der Abstände immer in einem konstanten Verhältnis zu das Rechteck, das von den anderen beiden Abständen enthalten ist." Dies ist der Beweis für die Anwendung von Flächen, die zur Parabel führen. Das Vier-Linien-Problem führt zu Ellipse und Hyperbel. Die analytische Geometrie leitet die gleichen Loci von einfacheren Kriterien ab, die von der Algebra unterstützt werden, und nicht von der Geometrie, für die Descartes hoch gelobt wurde. Er ersetzt Apollonius in seinen Methoden.

Buch IV

Buch IV enthält 57 Vorschläge. Der erste, der eher an Attalus als an Eudemus geschickt wurde, repräsentiert somit sein reiferes geometrisches Denken. Das Thema ist eher spezialisiert: "die größte Anzahl von Punkten, an denen sich Kegelabschnitte oder einen Kreisumfang treffen können, ...." Trotzdem spricht er mit Begeisterung und bezeichnet sie als "von erheblichem Nutzen". bei der Lösung von Problemen (Vorwort 4).

Buch V

Buch V, das nur durch Übersetzungen aus dem Arabischen bekannt ist, enthält 77 Sätze, die meisten aller Bücher. Sie umfassen die Ellipse (50 Sätze), die Parabel (22) und die Hyperbel (28). Diese sind nicht explizit das Thema, das Apollonius in den Vorworten I und V als Maximum- und Minimumlinien angibt. Diese Begriffe werden nicht erklärt. Im Gegensatz zu Buch I enthält Buch V keine Definitionen und keine Erklärung.

Die Mehrdeutigkeit hat die Exegeten des Apollonius angezogen, die ohne sichere Kenntnis der Bedeutung der wichtigsten Begriffe des Buches interpretieren müssen. Bis vor kurzem hat sich Heaths Ansicht durchgesetzt: Die Leitungen sind als Normale zu den Abschnitten zu behandeln. Eine Normale ist in diesem Fall die Senkrechte zu einer Kurve an einem Tangentenpunkt, der manchmal als Fuß bezeichnet wird. Wird ein Schnitt nach dem Apollonius-Koordinatensystem (siehe unten unter Methoden des Apollonius) mit dem Durchmesser (von Heath als Achse übersetzt) ​​auf der x-Achse und dem Scheitelpunkt im Ursprung links aufgetragen, so ist die Phraseologie des Propositionen gibt an, dass die Minima/Maxima zwischen dem Schnitt und der Achse zu finden sind. Heath wird durch die Betrachtung eines Fixpunktes p auf der Strecke, die sowohl als Tangentialpunkt als auch als ein Ende der Linie dient, in seine Ansicht geführt. Der Mindestabstand zwischen p und einem Punkt g auf der Achse muss dann die Normale von p sein.

In der modernen Mathematik sind Kurvennormalen dafür bekannt, dass sie der Ort des Krümmungsmittelpunkts des kleinen Teils der Kurve sind, der sich um den Fuß herum befindet. Der Abstand vom Fuß zum Zentrum ist der Krümmungsradius . Letzteres ist der Radius eines Kreises, aber für andere Kurven als Kreiskurven kann der kleine Bogen durch einen Kreisbogen angenähert werden. Die Krümmung von nicht kreisförmigen Kurven; B. die Kegelschnitte, müssen den Schnitt wechseln. Eine Karte des Krümmungsmittelpunkts; dh sein Ort, wenn sich der Fuß über den Abschnitt bewegt, wird als Evolute des Abschnitts bezeichnet. Eine solche Figur, der Rand der aufeinanderfolgenden Positionen einer Linie, wird heute als Hüllkurve bezeichnet . Heath glaubte, dass wir in Buch V sehen, wie Apollonius die logische Grundlage einer Theorie der Normalen, Evoluten und Hüllen bildet.

Heaths wurde als maßgebliche Interpretation von Buch V für das gesamte 20. Jahrhundert akzeptiert, aber der Jahrhundertwechsel brachte eine Änderung der Sichtweise mit sich. Im Jahr 2001 sträubten sich die Apollonius-Gelehrten Fried & Unguru, die anderen Heath-Kapiteln allen gebührenden Respekt zollten, gegen die Historizität von Heaths Analyse von Buch V und behaupteten, dass er „das Original überarbeitet, um es für einen modernen Mathematiker angenehmer zu machen ... das ist die Art von Dingen, die Heaths Werk von zweifelhaftem Wert für den Historiker macht und mehr von Heaths Gedanken enthüllt als die von Apollonius.“ Einige seiner Argumente lassen sich wie folgt zusammenfassen. Weder in den Vorworten noch in den Büchern wird erwähnt, dass Maxima/Minima per se Normale sind. Von Heaths Auswahl von 50 Sätzen, die Normalen abdecken sollen, geben nur 7, Buch V: 27-33 an oder implizieren, dass maximale/minimale Linien senkrecht zu den Tangenten sind. Diese 7 Fried klassifiziert als isoliert, ohne Bezug zu den Hauptsätzen des Buches. Sie implizieren in keiner Weise, dass Maxima/Minima im Allgemeinen Normale sind. In seiner ausführlichen Untersuchung der anderen 43 Thesen beweist Fried, dass viele nicht sein können.

Fried und Unguru kontern, indem sie Apollonius als Fortsetzung der Vergangenheit darstellen und nicht als Vorahnung der Zukunft. Die erste ist eine vollständige philologische Untersuchung aller Verweise auf Minimal- und Maximalzeilen, die eine Standardphraseologie aufdeckt. Es gibt drei Gruppen von jeweils 20-25 Vorschlägen. Die erste Gruppe enthält den Ausdruck „von einem Punkt auf der Achse zum Schnitt“, der genau das Gegenteil von einem hypothetischen „von einem Punkt auf dem Schnitt zur Achse“ ist. Ersteres muss für nichts normal sein, obwohl es sein könnte. Bei einem festen Punkt auf der Achse ist von allen Linien, die ihn mit allen Punkten des Abschnitts verbinden, eine der längste (Maximum) und eine kürzeste (Minimum). Andere Ausdrücke sind „in einem Abschnitt“, „aus einem Abschnitt gezogen“, „zwischen dem Abschnitt und seiner Achse abgeschnitten“, von der Achse abgeschnitten“, alle beziehen sich auf dasselbe Bild.

Nach Ansicht von Fried und Unguru ist das Thema von Buch V genau das, was Apollonius sagt, maximale und minimale Linien. Dies sind keine Codewörter für zukünftige Konzepte, sondern beziehen sich auf alte Konzepte, die damals verwendet wurden. Die Autoren zitieren Euklid, Elemente, Buch III, das sich mit Kreisen und maximalen und minimalen Abständen von inneren Punkten zum Umfang beschäftigt. Ohne eine spezifische Allgemeingültigkeit zuzugeben, verwenden sie Begriffe wie „wie“ oder „das Analoge von“. Sie sind dafür bekannt, den Begriff „neusis-like“ zu erneuern. Eine Neusis-Konstruktion war ein Verfahren zum Anpassen eines gegebenen Segments zwischen zwei gegebene Kurven. Gegeben sei ein Punkt P und ein Lineal, auf dem das Segment markiert ist. man dreht das Lineal um P und schneidet die beiden Kurven, bis das Segment dazwischen passt. In Buch V ist P der Punkt auf der Achse. Dreht man ein Lineal darum herum, entdeckt man die Abstände zu dem Abschnitt, aus dem das Minimum und das Maximum zu erkennen sind. Die Technik wird nicht auf die Situation angewendet, ist also keine Neusis. Die Autoren verwenden Neusis-like und sehen eine archetypische Ähnlichkeit mit der antiken Methode.

Buch VI

Buch VI, das nur durch Übersetzung aus dem Arabischen bekannt ist, enthält 33 Sätze, die wenigsten aller Bücher. Es weist auch große Lücken oder Lücken im Text auf, die auf Beschädigungen oder Korruption in den vorherigen Texten zurückzuführen sind.

Das Thema ist relativ klar und unumstritten. Vorwort 1 besagt, dass es sich um „gleiche und ähnliche Kegelabschnitte“ handelt. Apollonius erweitert die von Euklid vorgestellten Konzepte von Kongruenz und Ähnlichkeit für elementarere Figuren, wie Dreiecke, Vierecke, auf Kegelschnitte. Vorwort 6 erwähnt „Abschnitte und Segmente“, die „gleich und ungleich“ sowie „ähnlich und unähnlich“ sind, und fügt einige konstruktive Informationen hinzu.

Buch VI bietet eine Rückkehr zu den grundlegenden Definitionen am Anfang des Buches. „ Gleichheit “ wird durch eine Anwendung von Bereichen bestimmt. Wenn eine Figur; das heißt, ein Abschnitt oder ein Segment wird auf einen anderen „angewendet“ (Halleys si applicari possit altera super alteram ), sie sind „gleich“ (Halleys aequales ), wenn sie zusammenfallen und keine Linie der einen eine Linie der anderen kreuzt. Dies ist offensichtlich ein Kongruenzstandard gemäß Euklid, Buch I, Common Notions, 4: „und Dinge, die miteinander zusammenfallen ( epharmazanta ) sind gleich ( isa ).“ Zufall und Gleichheit überschneiden sich, sind aber nicht dasselbe: Die Anwendung der Flächen, die zur Definition der Abschnitte verwendet werden, hängt von der quantitativen Gleichheit der Flächen ab, sie können jedoch zu unterschiedlichen Zahlen gehören.

Zwischen Instanzen, die gleich sind (homos), die einander gleich sind, und solchen, die unterschiedlich oder ungleich sind , befinden sich Figuren, die „gleich“ (hom-oios) oder ähnlich sind . Sie sind weder ganz gleich noch verschieden, sondern teilen gleiche Aspekte und keine unterschiedlichen Aspekte. Intuitiv dachten die Geometer an Maßstab ; zB ist eine Karte einer topographischen Region ähnlich. So können Figuren größere oder kleinere Versionen ihrer selbst haben.

Welche Aspekte in ähnlichen Figuren gleich sind, hängt von der Figur ab. Buch 6 von Euklids Elementen präsentiert ähnliche Dreiecke wie diejenigen, die die gleichen entsprechenden Winkel haben. Ein Dreieck kann also beliebig kleine Miniaturen oder riesige Versionen haben und trotzdem „das gleiche“ Dreieck wie das Original sein.

In den Definitionen von Apollonius am Anfang von Buch VI haben ähnliche rechte Kegel ähnliche axiale Dreiecke. Ähnliche Abschnitte und Abschnitte von Abschnitten befinden sich zunächst in ähnlichen Kegeln. Außerdem muss für jede Abszisse der einen eine Abszisse in der anderen im gewünschten Maßstab existieren. Schließlich müssen Abszisse und Ordinate der einen Koordinaten mit dem gleichen Verhältnis von Ordinate zu Abszisse wie die andere übereinstimmen. Der Gesamteffekt ist, als ob der Abschnitt oder das Segment auf dem Kegel auf und ab bewegt würde, um eine andere Skalierung zu erzielen.

Buch VII

Buch VII, ebenfalls eine Übersetzung aus dem Arabischen, enthält 51 Propositionen. Dies sind die letzten, die Heath in seiner Ausgabe von 1896 betrachtet. In Vorwort I erwähnt Apollonius sie nicht, was bedeutet, dass sie zum Zeitpunkt des ersten Entwurfs möglicherweise nicht in ausreichend kohärenter Form existierten, um sie zu beschreiben. Apollonius verwendet eine obskure Sprache, dass sie „peri dioristikon theorematon“ sind, was Halley mit „de theorematis ad Determinationem pertinentibus“ und Heath als „Theorems mit Bestimmung von Grenzen“ übersetzt hat. Dies ist die Sprache der Definition, aber es sind keine Definitionen in Vorbereitung. Ob der Verweis auf eine bestimmte Art von Definition sein könnte, ist eine Überlegung, aber bisher wurde nichts Glaubwürdiges vorgeschlagen. Das Thema von Buch VII, das gegen Ende von Apollonius' Leben und Karriere abgeschlossen wurde, wird im Vorwort VII als Durchmesser und "die darauf beschriebenen Figuren" angegeben, die konjugierte Durchmesser enthalten müssen , da er sich stark auf sie verlässt. In welcher Weise der Begriff „Grenzen“ oder „Bestimmungen“ gelten könnte, wird nicht erwähnt.

Durchmesser und ihre Konjugate sind in Buch I (Definitionen 4-6) definiert. Nicht jeder Durchmesser hat ein Konjugat. Die Topographie eines Durchmessers (griech. diametros) erfordert eine regelmäßig gekrümmte Figur . Unregelmäßig geformte Gebiete, die in der Neuzeit angesprochen werden, sind im alten Spielplan nicht enthalten. Apollonius denkt dabei natürlich an die Kegelschnitte, die er in oft verschlungener Sprache beschreibt: „eine Kurve in derselben Ebene“ ist ein Kreis, eine Ellipse oder eine Parabel, während „zwei Kurven in derselben Ebene“ eine Hyperbel ist. Ein Akkord ist eine gerade Linie, deren zwei Endpunkte auf der Figur liegen; dh es schneidet die Figur an zwei Stellen. Wenn der Figur ein Gitter aus parallelen Sehnen auferlegt wird, wird der Durchmesser als die Linie definiert, die alle Sehnen halbiert und die Kurve selbst an einem Punkt erreicht, der als Scheitelpunkt bezeichnet wird. Eine geschlossene Figur ist nicht erforderlich; zB hat eine Parabel einen Durchmesser.

Eine Parabel hat Symmetrie in einer Dimension. Wenn Sie sich vorstellen, dass es auf einem Durchmesser gefaltet ist, sind die beiden Hälften deckungsgleich oder passen übereinander. Das gleiche kann von einem Zweig einer Hyperbel gesagt werden. Konjugierte Durchmesser (griechisch suzugeis diametroi, wobei suzugeis „zusammengespannt“ ist) sind jedoch in zwei Dimensionen symmetrisch. Die Figuren, für die sie gelten, erfordern auch ein Flächenzentrum (griech. Kentron), heute Zentroid genannt , das als Symmetriezentrum in zwei Richtungen dient. Diese Figuren sind der Kreis, die Ellipse und die zweiverzweigte Hyperbel. Es gibt nur einen Schwerpunkt, der nicht mit den Brennpunkten verwechselt werden darf . Ein Durchmesser ist eine Sehne, die durch den Schwerpunkt verläuft und ihn immer halbiert.

Für den Kreis und die Ellipse sei ein Gitter von parallelen Sehnen über die Figur gelegt, so dass die längste ein Durchmesser ist und die anderen sukzessive kürzer werden, bis die letzte keine Sehne, sondern ein Tangentenpunkt ist. Die Tangente muss parallel zum Durchmesser sein. Ein konjugierter Durchmesser halbiert die Sehnen und wird zwischen dem Schwerpunkt und dem Tangentenpunkt platziert. Darüber hinaus sind beide Durchmesser zueinander konjugiert und werden als konjugiertes Paar bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass jedes konjugierte Kreispaar senkrecht zueinander steht, aber in einer Ellipse sind es nur die Haupt- und Nebenachsen, wobei die Dehnung in allen anderen Fällen die Rechtwinkligkeit zerstört.

Konjugate werden für die beiden Äste einer Hyperbel definiert, die sich aus dem Schneiden eines Doppelkegels durch eine einzelne Ebene ergeben. Sie werden konjugierte Zweige genannt. Sie haben den gleichen Durchmesser. Sein Schwerpunkt halbiert das Segment zwischen den Scheitelpunkten. Es ist Platz für eine weitere durchmesserartige Linie: Lassen Sie ein Gitter von Linien parallel zum Durchmesser beide Zweige der Hyperbel schneiden. Diese Linien sind akkordähnlich, außer dass sie nicht auf derselben durchgehenden Kurve enden. Ein konjugierter Durchmesser kann vom Schwerpunkt gezogen werden, um die sehnenartigen Linien zu halbieren.

Diese Konzepte, hauptsächlich aus Buch I, führen uns zu den 51 Vorschlägen von Buch VII, die im Detail die Beziehungen zwischen Abschnitten, Durchmessern und konjugierten Durchmessern definieren. Wie bei einigen anderen spezialisierten Themen von Apollonius bleibt ihr heutiger Nutzen im Vergleich zur Analytischen Geometrie abzuwarten, obwohl er in Vorwort VII bekräftigt, dass sie sowohl nützlich als auch innovativ sind; dh er nimmt den Kredit für sie.

Verlorene und rekonstruierte Werke beschrieben von Pappus

Pappus erwähnt andere Abhandlungen des Apollonius:

1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione ("Schneiden eines Verhältnisses")
2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione (" Abschneiden einer Fläche")
3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata ("Bestimmter Abschnitt")
4. αφαί, De Tactionibus ("Tangenzen")
5. Νεύσεις, De Inclinationibus ("Neigungen")
6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis ("Plane Loci").

Jedes von ihnen war in zwei Bücher unterteilt und nach Pappus mit den Daten , den Porismen und Oberflächenorten von Euklid und den Kegelschnitten von Apollonius in den Körper der antiken Analyse aufgenommen worden. Es folgen Beschreibungen der sechs oben genannten Werke.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione versuchte, ein einfaches Problem zu lösen: Gegeben zwei Geraden und jeweils ein Punkt, durch einen dritten gegebenen Punkt eine Gerade ziehen, die die beiden festen Geraden so schneidet, dass die Teile zwischen den gegebenen Punkten in ihnen und den Schnittpunkten geschnitten werden mit dieser dritten Zeile kann ein gegebenes Verhältnis haben.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione diskutierte ein ähnliches Problem, das erforderte, dass das von den beiden Achsenabschnitten enthaltene Rechteck gleich einem gegebenen Rechteck sein muss.

Ende des 17. Jahrhunderts entdeckte Edward Bernard in der Bodleian Library eine Version von De Rationis Sectione . Obwohl er mit einer Übersetzung begann, war es Halley, der sie fertigstellte und 1706 mit seiner Restaurierung von De Spatii Sectione in einen Band einfügte .

De Sectione Determinata

De Sectione Determinata behandelt Probleme in einer Weise, die als analytische Geometrie einer Dimension bezeichnet werden kann; mit der Frage, Punkte auf einer Linie zu finden, die in einem Verhältnis zu den anderen standen. Die spezifischen Probleme sind: Gegeben zwei, drei oder vier Punkte auf einer Geraden, finde einen anderen Punkt auf dieser, so dass seine Abstände von den gegebenen Punkten die Bedingung erfüllen, dass das Quadrat auf einer oder das durch zwei enthaltene Rechteck entweder ein gegebenes Verhältnis hat ( 1) auf das Quadrat auf der verbleibenden oder das Rechteck, das von den verbleibenden zwei eingeschlossen ist oder (2) auf das Rechteck, das von der verbleibenden und einer anderen gegebenen Geraden enthalten ist. Mehrere haben versucht, den Text zu restaurieren, um die Lösung von Apollonius zu entdecken, darunter Snellius ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson von Aberdeen , in der Ergänzung zu seinem Apollonius Redivivus (Paris, 1612); und Robert Simson in seiner Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776), dem bei weitem besten Versuch.

De Tactionibus

De Tactionibus stellte sich folgendes allgemeines Problem: Beschreibe einen Kreis, der durch die gegebenen Punkte geht und die gegebenen Geraden oder Kreise berührt, wenn man drei Dinge (Punkte, Geraden oder Kreise) in Position hat. Der schwierigste und historisch interessanteste Fall ergibt sich, wenn die drei gegebenen Dinge Kreise sind. Im 16. Jahrhundert stellte Vieta Adrianus Romanus dieses Problem (manchmal bekannt als das Apollon-Problem) , der es mit einer Hyperbel löste . Vieta schlug daraufhin eine einfachere Lösung vor, die ihn schließlich dazu brachte, die gesamte Abhandlung des Apollonius in dem kleinen Werk Apollonius Gallus (Paris, 1600) wiederherzustellen . Die Geschichte des Problems wird im Vorwort zu JW Camerers kurzem Brief Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Gothae, 1795, 8vo) faszinierend detailliert untersucht .

De Neigungibus

Das Ziel von De Inclinationibus war zu zeigen, wie eine gerade Linie einer bestimmten Länge, die auf einen bestimmten Punkt zustrebt, zwischen zwei bestimmte (gerade oder kreisförmige) Linien eingefügt werden kann. Obwohl Marin Getaldić und Hugo d'Omerique ( Geometrische Analyse , Cadiz, 1698) Restaurierungsversuche unternommen haben , stammt die beste von Samuel Horsley (1770).

De Locis Planis

De Locis Planis ist eine Sammlung von Sätzen, die sich auf Orte beziehen, die entweder gerade Linien oder Kreise sind. Da Pappus seine Vorschläge einigermaßen ausführlich darlegt, gab es auch in diesem Text Bemühungen, ihn zu restaurieren, nicht nur von P. Fermat ( Oeuvres , i., 1891, S. 3-51) und F. Schooten (Leiden, 1656), sondern auch am erfolgreichsten von R. Simson (Glasgow, 1749).

Verlorene Werke, die von anderen antiken Schriftstellern erwähnt wurden

Antike Schriftsteller verweisen auf andere Werke des Apollonius, die nicht mehr erhalten sind:

1. Περὶ τοῦ πυρίου, On the Burning-Glass , eine Abhandlung, die wahrscheinlich die Brennpunkteigenschaften der Parabel untersucht
2. Περὶ τοῦ κοχλίου, Auf der zylindrischen Helix (erwähnt von Proclus)
3. Ein Vergleich des Dodekaeders und des Ikosaeders, die in dieselbe Sphäre eingeschrieben sind
4. Ἡ καθόλου πραγματεία, ein Werk über die allgemeinen Prinzipien der Mathematik, das vielleicht Apollonius' Kritiken und Vorschläge zur Verbesserung von Euklids Elementen beinhaltete
5. Ὠκυτόκιον ("Quick Bringing-to-Geburt"), in dem Apollonius nach Eutocius demonstrierte, wie man engere Grenzen für den Wert von π finden kann als die von Archimedes , der 3 . berechnete +1 ⁄ 7 als Obergrenze und 3+10 ⁄ 71 als untere Grenze
6. eine arithmetische Arbeit (siehe Pappus ) über ein System sowohl zum Ausdrücken großer Zahlen in einer alltäglicheren Sprache als das von Archimedes' The Sand Reckoner und zum Multiplizieren dieser großen Zahlen
7. eine große Erweiterung der Theorie der irrationalen Zahlen in Euclid dargelegt, x Buch., von binomischen zu multinomial und von geordneten zu ungeordneten irrationalen (siehe Auszüge aus Pappus' Komm. auf Euklid. x., in Arabisch erhalten und veröffentlicht von Woepke , 1856) .

Frühe gedruckte Ausgaben

Seiten aus der arabischen Übersetzung der Kegelschnitte aus dem 9. Jahrhundert

1654 Ausgabe von Conica von Apollonius herausgegeben von Francesco Maurolico

Die frühen Druckausgaben begannen größtenteils im 16. Jahrhundert. Damals wurde von wissenschaftlichen Büchern erwartet, dass sie in Latein, dem heutigen Neulatein, verfasst sind . Da fast keine Handschriften in lateinischer Sprache verfasst waren, übersetzten die Herausgeber der frühen gedruckten Werke aus dem Griechischen oder Arabischen ins Lateinische. Das Griechische und das Lateinische wurden normalerweise nebeneinander gestellt, aber nur das Griechische ist original oder wurde vom Herausgeber zu dem, was er für original hielt, wiederhergestellt. Kritische Apparate waren in Latein. Die antiken Kommentare waren jedoch in alt- oder mittelalterlichem Griechisch. Erst im 18. und 19. Jahrhundert tauchten moderne Sprachen auf. Nachfolgend finden Sie eine repräsentative Liste der frühen gedruckten Ausgaben. Die Originale dieser Drucke sind selten und teuer. Für moderne Ausgaben in modernen Sprachen siehe die Referenzen.

1. Pergaeus, Apollonius (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (in Altgriechisch und Latein). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.Eine Präsentation der ersten vier Bücher von Conics in griechischer Sprache von Fredericus Commandinus mit seiner eigenen Übersetzung ins Lateinische und den Kommentaren von Pappus von Alexandria , Eutocius von Ascalon und Serenus von Antinouplis .
2. Apollonius; Barrow, ich (1675). Apollonii conica: methodo nova illustrata und succinctè demonstrata (in Latein). London: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, in vico Little Britain.Übersetzung von Barrow aus dem Altgriechischen ins Neulatein der ersten vier Bücher von Conics . Die hier verlinkte Kopie, die sich in der Boston Public Library befindet , gehörte einst John Adams .
3. Apollonius; Pappus ; Halley, E. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabico ms. Lateinische Vers. Accedunt ejusdem de sectione spaii libri duo restituti (in Latein). Oxonii.Eine Präsentation von zwei verlorenen, aber rekonstruierten Werken des Apollonius. De Sectione Rationis stammt aus einem unveröffentlichten Manuskript auf Arabisch in der Bodleian Library in Oxford, das ursprünglich teilweise von Edward Bernard übersetzt, aber von seinem Tod unterbrochen wurde. Es wurde Edmond Halley , Professor, Astronom, Mathematiker und Entdecker, gegeben, nach dem später der Halleysche Komet benannt wurde. Da er den beschädigten Text nicht entziffern konnte, gab er ihn auf. Anschließend stellte David Gregory (Mathematiker) das Arabisch für Henry Aldrich wieder her , der es wiederum Halley übergab. Als er Arabisch lernte, schuf Halley De Sectione Rationis und als zusätzliche Vergütung für den Leser eine neulateinische Übersetzung einer Version von De Sectione Spatii, die aus dem Pappus-Kommentar dazu rekonstruiert wurde. Die beiden neulateinischen Werke und Pappus' altgriechischer Kommentar wurden in dem einzigen Band von 1706 zusammengebunden. Der Autor der arabischen Handschrift ist nicht bekannt. Basierend auf einer Aussage, dass es unter der "Schirmherrschaft" von Al-Ma'mun , dem lateinischen Almamon, Astronom und Kalif von Bagdad im Jahr 825 geschrieben wurde, datiert Halley es in seiner "Praefatio ad Lectorem" auf das Jahr 820.
4. Apollonius; Alexandrinus Pappus ; Halley, Edmond ; Eutozius ; Serenus (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri Duo (PDF) (in Latein und Altgriechisch). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Ermutigt durch den Erfolg seiner Übersetzung von David Gregorys verbessertem arabischen Text von de Sectione rationis , der 1706 veröffentlicht wurde, fuhr Halley fort, die gesamte elementa conica des Apollonius zu restaurieren und ins Lateinische zu übersetzen . Bücher I-IV waren nie verloren gegangen. Sie erscheinen mit dem Griechischen in einer Spalte und dem Lateinischen von Halley in einer parallelen Spalte. Die Bücher V-VI stammten aus dem Zufallsfund einer bisher unbeachteten Übersetzung aus dem Griechischen ins Arabische, die der Antiquariat Jacobus Golius 1626 in Aleppo erworben hatte Bibliothek (ursprünglich als MS Marsh 607, datiert 1070). Die viel früher datierte Übersetzung stammt aus dem Zweig von Almamons Schule mit dem Titel Banū Mūsā , „Söhne von Musa“, einer Gruppe von drei Brüdern, die im 9. Jahrhundert lebten. Die Übersetzung wurde von Schriftstellern durchgeführt, die für sie arbeiteten. In Halleys Werk wird nur die lateinische Übersetzung der Bücher V-VII angegeben. Dies ist seine erste gedruckte Veröffentlichung. Buch VIII war verloren, bevor die Gelehrten von Almamon etwas an der Erhaltung mitarbeiten konnten. Halleys Gebräu, das auf den in Buch VII entwickelten Erwartungen und den Lemmata von Pappus basiert, wird in lateinischer Sprache gegeben. Der Kommentar von Eutocius, die Lemmata von Pappus und zwei verwandte Abhandlungen von Serenus sind als Leitfaden für die Interpretation der Kegelschnitte enthalten .

Ideen, die Apollonius von anderen Autoren zugeschrieben werden

Apollonius' Beitrag zur Astronomie

Ihm wird die Äquivalenz zweier Beschreibungen von Planetenbewegungen zugeschrieben, eine mit Exzentrischen und eine andere mit Deferenten und Epizykeln . Ptolemäus beschreibt diese Äquivalenz als Satz des Apollonius im Almagest XII.1.

Methoden des Apollonius

Laut Heath gehörten „Die Methoden des Apollonius“ nicht ihm und waren nicht persönlich. Welchen Einfluss er auch auf spätere Theoretiker hatte, war der der Geometrie, nicht seine eigene technische Neuerung. Heide sagt,

Vor der eingehenden Betrachtung der in den Kegelschnitten angewandten Methoden kann allgemein gesagt werden, daß sie stets den anerkannten Prinzipien der geometrischen Untersuchung folgen, die ihren endgültigen Ausdruck in den Elementen des Euklid gefunden haben.

In Bezug auf moderne Geometer des Goldenen Zeitalters bedeutet der Begriff "Methode" speziell die visuelle, rekonstruktive Art und Weise, in der das Geometer unwissentlich dasselbe Ergebnis liefert wie eine heute verwendete algebraische Methode. Als einfaches Beispiel findet die Algebra den Flächeninhalt eines Quadrats durch Quadrieren seiner Seite. Die geometrische Methode, um das gleiche Ergebnis zu erzielen, besteht darin, ein visuelles Quadrat zu konstruieren. Geometrische Methoden im goldenen Zeitalter konnten die meisten Ergebnisse der elementaren Algebra liefern.

Geometrische Algebra

Visuelle Form des Satzes des Pythagoras, wie ihn die alten Griechen sahen. Die Fläche des blauen Quadrats ist die Summe der Flächen der anderen beiden Quadrate.

Heath verwendet den Begriff der geometrischen Algebra für die Methoden des gesamten goldenen Zeitalters. Der Begriff sei "nicht unpassend" so genannt, sagt er. Heute ist der Begriff für andere Bedeutungen wiederbelebt (siehe unter geometrische Algebra ). Heath benutzte es so, wie es 1890 oder früher von Henry Burchard Fine definiert worden war . Fine wendet es auf La Géométrie von René Descartes an , das erste vollständige Werk der analytischen Geometrie . Fine stellt als Voraussetzung fest, dass „zwei Algebren formal identisch sind, deren grundlegende Operationen formal gleich sind“, sagt Fine, dass Descartes' Arbeit „nicht ... Liniensegmente. Ihre Symbolik ist dieselbe wie die der numerischen Algebra; ...”

Zum Beispiel ist in Apollonius ein Liniensegment AB (die Linie zwischen Punkt A und Punkt B) auch die numerische Länge des Segments. Es kann eine beliebige Länge haben. AB wird daher mit einer algebraischen Variablen wie x (das Unbekannte) identisch , der ein beliebiger Wert zugewiesen werden kann; zB x = 3.

Variablen werden in Apollonius durch Wortaussagen wie „seien AB die Entfernung von einem beliebigen Punkt auf dem Schnitt zum Durchmesser“ definiert, eine Praxis, die sich in der Algebra bis heute fortsetzt. Jeder Schüler der grundlegenden Algebra muss lernen, „Wortaufgaben“ in algebraische Variablen und Gleichungen umzuwandeln, für die die Regeln der Algebra beim Lösen nach x gelten . Apollonius hatte keine solchen Regeln. Seine Lösungen sind geometrisch.

Beziehungen, die bildlichen Lösungen nicht ohne weiteres zugänglich waren, lagen außerhalb seiner Reichweite; sein Repertoire an Bildlösungen stammte jedoch aus einem Pool komplexer geometrischer Lösungen, die heute allgemein nicht bekannt (oder benötigt) sind. Eine bekannte Ausnahme ist der unverzichtbare Satz des Pythagoras , der auch jetzt noch durch ein rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten an seinen Seiten dargestellt wird, das einen Ausdruck wie a ² + b ² = c ² veranschaulicht . Die griechischen Geometer nannten diese Begriffe „das Quadrat auf AB“ usw. In ähnlicher Weise war die Fläche eines aus AB und CD gebildeten Rechtecks ​​„das Rechteck auf AB und CD“.

Diese Konzepte gaben den griechischen Geometern algebraischen Zugang zu linearen Funktionen und quadratischen Funktionen , wobei letztere die Kegelschnitte sind. Sie enthalten Potenzen von 1 bzw. 2. Apollonius hatte nicht viel Verwendung für Würfel (die in der Volumenkörpergeometrie enthalten sind ), obwohl ein Kegel ein Volumenkörper ist. Sein Interesse galt Kegelschnitten, also ebenen Figuren. Potenzen von 4 und höher waren jenseits der Visualisierung und erforderten einen Abstraktionsgrad, der in der Geometrie nicht verfügbar ist, aber in der Algebra zur Hand ist.

Das Koordinatensystem von Apollonius

Kartesisches Koordinatensystem, Standard in der analytischen Geometrie

Alle gewöhnlichen Längenmessungen in öffentlichen Einheiten, wie beispielsweise Zoll, unter Verwendung von öffentlichen Standardgeräten, wie einem Lineal, implizieren die öffentliche Anerkennung eines kartesischen Rasters ; das heißt, eine Fläche, die in Einheitsquadrate unterteilt ist, wie beispielsweise ein Quadratzoll, und ein Raum, der in Einheitswürfel unterteilt ist, wie beispielsweise ein Kubikzoll. Die antiken griechischen Maßeinheiten boten den griechischen Mathematikern seit der Bronzezeit ein solches Raster. Vor Apollonius hatten Menaechmus und Archimedes bereits damit begonnen, ihre Figuren auf einem angedeuteten Fenster des gemeinsamen Rasters zu platzieren, indem sie sich auf Entfernungen bezogen, die von einer linken vertikalen Linie, die ein niedriges Maß markierte, und einer unteren horizontalen Linie, die ein niedriges Maß markierte, gemessen werden sollten. die Richtungen sind geradlinig oder senkrecht zueinander. Diese Fensterkanten werden im kartesischen Koordinatensystem zu den Achsen. Als Koordinaten gibt man die geradlinigen Abstände eines beliebigen Punktes von den Achsen an . Die alten Griechen hatten diese Konvention nicht. Sie bezogen sich einfach auf Entfernungen.

Apollonius hat ein Standardfenster, in das er seine Figuren stellt. Die vertikale Messung erfolgt von einer horizontalen Linie, die er "Durchmesser" nennt. Das Wort ist im Griechischen dasselbe wie im Englischen, aber das Griechische ist in seinem Verständnis etwas breiter. Wenn die Figur des Kegelschnitts durch ein Gitter paralleler Linien geschnitten wird, halbiert der Durchmesser alle Liniensegmente, die zwischen den Zweigen der Figur enthalten sind. Es muss durch den Scheitelpunkt (koruphe, "Krone") gehen. Ein Durchmesser umfasst somit sowohl offene Figuren wie eine Parabel als auch geschlossene wie beispielsweise ein Kreis. Es gibt keine Spezifikation, dass der Durchmesser senkrecht zu den parallelen Linien sein muss, aber Apollonius verwendet nur geradlinige.

Der geradlinige Abstand von einem Punkt auf dem Schnitt zum Durchmesser wird im Griechischen als Tetagmenos bezeichnet, etymologisch einfach „erweitert“. Da es immer nur „unten“ (kata-) oder „oben“ (ana-) verlängert wird, interpretieren die Übersetzer es als Ordinate . In diesem Fall wird der Durchmesser zur x-Achse und der Scheitelpunkt zum Ursprung. Die y-Achse wird dann eine Tangente an die Kurve am Scheitelpunkt. Die Abszisse wird dann als Segment des Durchmessers zwischen Ordinate und Scheitelpunkt definiert.

Mit seiner Version eines Koordinatensystems gelingt es Apollonius, die geometrischen Äquivalente der Gleichungen für die Kegelschnitte in bildlicher Form zu entwickeln, was die Frage aufwirft, ob sein Koordinatensystem als kartesisch angesehen werden kann. Es gibt einige Unterschiede. Das kartesische System ist als universell anzusehen, das alle Zahlen im gesamten Raum abdeckt, bevor eine Berechnung durchgeführt wird. Es hat vier Quadranten, die durch die beiden gekreuzten Achsen geteilt werden. Drei der Quadranten enthalten negative Koordinaten, was Richtungen gegenüber den Bezugsachsen von Null bedeutet.

Apollonius hat keine negativen Zahlen, hat keine explizite Zahl für Null und entwickelt das Koordinatensystem nicht unabhängig von den Kegelschnitten. Er arbeitet im Wesentlichen nur in Quadrant 1, alle positiven Koordinaten. Carl Boyer, ein moderner Mathematikhistoriker, sagt daher:

Die griechische geometrische Algebra sah jedoch keine negativen Größen vor; außerdem wurde das Koordinatensystem in jedem Fall einer gegebenen Kurve a posteriori überlagert , um ihre Eigenschaften zu studieren .... Apollonius, der größte Geometer der Antike, hat es versäumt, die analytische Geometrie zu entwickeln ....

Niemand bestreitet jedoch, dass Apollonius eine Art Zwischennische zwischen dem Gittersystem der konventionellen Messung und dem voll entwickelten kartesischen Koordinatensystem der analytischen Geometrie einnimmt. Wenn man Apollonius liest, muss man aufpassen, dass man seinen Begriffen keine modernen Bedeutungen annimmt.

Die Theorie der Proportionen

Apollonius verwendet die „Theorie der Proportionen“ , wie er in ausgedrückt Euklid ‚s Elemente , Bücher 5 und 6 Erdacht von Eudoxos von Knidos, ist die Theorie , die zwischen rein graphischen Methoden und modernen Zahlentheorie. Ein Standard-Dezimalzahlensystem fehlt ebenso wie eine Standardbehandlung von Brüchen. Die Sätze drücken jedoch in Worten Regeln aus, um Brüche in der Arithmetik zu manipulieren. Heath schlägt vor, dass sie anstelle von Multiplikation und Division stehen.

Mit dem Begriff „Größe“ hoffte Eudoxus, über Zahlen hinaus zu einem allgemeinen Größengefühl zu gelangen, eine Bedeutung, die es immer noch behält. In Bezug auf die Figuren von Euklid bedeutet es am häufigsten Zahlen, was der pythagoräische Ansatz war. Pythagoras glaubte, dass das Universum durch Quantitäten charakterisiert werden könnte, was zum aktuellen wissenschaftlichen Dogma geworden ist. Buch V von Euklid beginnt damit, dass eine Größe (megethos, „Größe“) gleichmäßig in Einheiten (meros, „Teil“) teilbar sein muss. Ein Betrag ist also ein Vielfaches von Einheiten. Sie müssen keine Standardmaßeinheiten wie Meter oder Fuß sein. Eine Einheit kann ein beliebiges bestimmtes Liniensegment sein.

Es folgt die vielleicht nützlichste grundlegende Definition, die jemals in der Wissenschaft entwickelt wurde: Das Verhältnis (griechisch logos , was ungefähr „Erklärung“ bedeutet) ist eine Aussage von relativer Größe. Gegeben zwei Größen, sagen wir der Segmente AB und CD. das Verhältnis von AB zu CD, wobei CD als Einheit gilt, ist die Anzahl der CDs in AB; zum Beispiel 3 Teile von 4 oder 60 Teile pro Million, wobei ppm noch die Terminologie „Teile“ verwendet. Das Verhältnis ist die Grundlage des modernen Bruchs, der auch immer noch „Teil“ oder „Fragment“ bedeutet, von derselben lateinischen Wurzel wie Bruch. Das Verhältnis ist die Grundlage der mathematischen Vorhersage in der logischen Struktur, die als „Proportion“ (griechisch analogos) bezeichnet wird. Das Verhältnis besagt, dass, wenn zwei Segmente, AB und CD, das gleiche Verhältnis haben wie zwei andere, EF und GH, AB und CD proportional zu EF und GH sind, oder, wie bei Euklid gesagt, AB zu CD als EF ist zu GH.

Algebra reduziert dieses allgemeine Konzept auf den Ausdruck AB/CD = EF/GH. Bei drei beliebigen Termen kann man den vierten als Unbekannten berechnen. Durch Umstellen der obigen Gleichung erhält man AB = (CD/GH)·EF, wobei, ausgedrückt als y = kx, CD/GH als „Proportionalitätskonstante“ bekannt ist. Die Griechen hatten wenig Schwierigkeiten mit der Einnahme von Vielfachen (griech. pollaplasiein), wahrscheinlich durch sukzessive Addition.

Apollonius verwendet fast ausschließlich Verhältnisse von Liniensegmenten und Flächen, die durch Quadrate und Rechtecke bezeichnet werden. Die Übersetzer haben sich verpflichtet, die von Leibniz in Acta Eruditorum , 1684 eingeführte Doppelpunktnotation zu verwenden. Hier ist ein Beispiel aus Conics , Buch I, zu Proposition 11:

Wörtliche Übersetzung des Griechischen: Lassen Sie es sich ausdenken, dass das (Quadrat) von BC dem (Rechteck) von BAC entspricht, wie FH für FA

Taliaferros Übersetzung: „Lassen Sie es sich ausdenken, dass Quadrat BC: rect. BA.AC :: FH : FA”

Algebraisches Äquivalent: BC ² /BA•BC = FH/FA

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

Viele der unten verlinkten populären Seiten in der Geschichte der Mathematik verweisen oder analysieren Konzepte, die Apollonius in modernen Notationen und Konzepten zugeschrieben werden. Da ein Großteil von Apollonius Interpretationen unterliegt und er nicht per se modernes Vokabular oder Konzepte verwendet, sind die folgenden Analysen möglicherweise nicht optimal oder genau. Sie repräsentieren die historischen Theorien ihrer Autoren.

• Die Herausgeber der Encyclopædia Britannica (2006). "Apollonius von Perge" . Encyclopaedia Britannica.
• Kunkel, Paul (2016). "Koniken des Apollonius" . Whistler Alley Mathematik . whistleralley.com . Abgerufen am 15. Februar 2017 .
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Apollonius of Perga" , MacTutor History of Mathematics Archiv , University of St Andrews
• "Mathematik und mathematische Astronomie" . Universität Brown.
• "Apollonii Pergaei Conicorum" . Linda Hall Bibliothek Digitale Sammlung.
• David Dennis; Susan Addington (2009). "Apollonius und Kegelschnitte" (PDF) . Mathematische Absichten . quadrivium.info.
• Stoudt, Gary S. "Können Sie wirklich konische Formeln von einem Kegel ableiten ?" . Mathematische Vereinigung von Amerika . Abgerufen am 28. März 2017 .
• McKinney, Colin Bryan Powell (2010). Konjugierte Durchmesser: Apollonius von Perge und Eutocius von Ascalon (Ph.D.). Universität von Iowa.