Appells Bewegungsgleichung - Appell's equation of motion

In der klassischen Mechanik ist Appells Bewegungsgleichung (auch bekannt als Gibbs-Appell-Bewegungsgleichung ) eine alternative allgemeine Formulierung der klassischen Mechanik, die 1879 von Josiah Willard Gibbs und 1900 von Paul Émile Appell beschrieben wurde.

Aussage

Die Gibbs-Appell-Gleichung lautet

{\ displaystyle Q_ {r} = {\ frac {\ partielles S} {\ partielles \ alpha _ {r}}},}

Dabei handelt es sich um eine beliebige verallgemeinerte Beschleunigung oder die zweite Ableitung der verallgemeinerten Koordinaten und um die entsprechende verallgemeinerte Kraft . Die verallgemeinerte Kraft gibt die geleistete Arbeit ${\ displaystyle \ alpha _ {r} = {\ ddot {q_ {r}}}}$ ${\ displaystyle q_ {r}}$ ${\ displaystyle Q_ {r}}$

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r},}

Dabei läuft der Index über die verallgemeinerten Koordinaten , die normalerweise den Freiheitsgraden des Systems entsprechen. Die Funktion als die massengewichtete Summe der Teilchen definiert ist Beschleunigungen quadriert, ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle q_ {r}}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} ^ {2} \ ,,}

wo der Index über die Partikel läuft , und ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle K}$

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}

ist die Beschleunigung des -ten Teilchens, die zweite Ableitung seines Positionsvektors . Jedes wird als verallgemeinerte Koordinaten und als verallgemeinerte Beschleunigungen ausgedrückt. ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k}}$

Beziehungen zu anderen Formulierungen der klassischen Mechanik

Appells Formulierung führt keine neue Physik in die klassische Mechanik ein und entspricht als solche anderen Umformulierungen der klassischen Mechanik wie der Lagrange-Mechanik und der Hamilton-Mechanik . Die gesamte Physik ist in Newtons Bewegungsgesetzen enthalten. In einigen Fällen kann Appells Bewegungsgleichung bequemer sein als die üblicherweise verwendete Lagrange-Mechanik, insbesondere wenn nicht- holonome Einschränkungen beteiligt sind. Tatsächlich führt Appells Gleichung direkt zu Lagranges Bewegungsgleichungen. Darüber hinaus können damit Kanes Gleichungen abgeleitet werden, die sich besonders zur Beschreibung der Bewegung komplexer Raumfahrzeuge eignen. Die Formulierung von Appell ist eine Anwendung des Gaußschen Prinzips der geringsten Einschränkung .

Ableitung

Die Änderung der Teilchenpositionen r _k für eine infinitesimale Änderung der verallgemeinerten D- Koordinaten ist

{\ displaystyle d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} {\ frac {\ partielle \ mathbf {r} _ {k}} {\ partielle q_ {r}}}}

Wenn man zwei Ableitungen in Bezug auf die Zeit nimmt, erhält man eine äquivalente Gleichung für die Beschleunigungen

{\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ mathbf {a} _ {k}} {\ partiell \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {k}} {\ partiell q_ {r}}}}

Die Arbeit, die durch eine infinitesimale Änderung dq _r in den verallgemeinerten Koordinaten geleistet wird, ist

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k}}

wo Newtons zweites Gesetz für das k- te Teilchen

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {k} = m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}}

wurde verwendet. Das Ersetzen der Formel für d r _k und das Vertauschen der Reihenfolge der beiden Summierungen ergibt die Formeln

{\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k } \ cdot \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ left ({\ frac {\ partielle \ mathbf {r} _ {k}} {\ partielle q_ {r}}} \ rechts) = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partielle \ mathbf {r} _ {k}} {\ partielle q_ {r}}} \ rechts)}

Daher sind die verallgemeinerten Kräfte

{\ displaystyle Q_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ teilweise \ mathbf {r} _ {k}} {\ partielle q_ {r}}} \ rechts) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ teilweise \ mathbf {a} _ {k}} {\ teilweise \ alpha _ {r}}} \ rechts)}

Dies entspricht der Ableitung von S in Bezug auf die verallgemeinerten Beschleunigungen

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles S} {\ partielles \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partielles} {\ partielles \ alpha _ {r}}} {\ frac {1} {2} } \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left | \ mathbf {a} _ {k} \ right | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partielle \ mathbf {a} _ {k}} {\ partielle \ alpha _ {r}}} \ rechts)}

Appells Bewegungsgleichung ergibt

{\ displaystyle {\ frac {\ partielles S} {\ partielles \ alpha _ {r}}} = Q_ {r}.}

Beispiele

Eulers Gleichungen der Starrkörperdynamik

Eulers Gleichungen liefern eine hervorragende Illustration der Appell-Formulierung.

Stellen Sie sich einen starren Körper aus N Partikeln vor, die durch starre Stäbe verbunden sind. Die Drehung des Körpers kann durch eine beschriebene Winkelgeschwindigkeitsvektor und die entsprechenden Winkelbeschleunigungsvektor ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}}}

Die verallgemeinerte Kraft für eine Drehung ist das Drehmoment , da die für eine infinitesimale Drehung geleistete Arbeit ist . Die Geschwindigkeit des -ten Teilchens ist gegeben durch ${\ displaystyle {\ textbf {N}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle dW = \ mathbf {N} \ cdot \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {k}}

Wo ist die Position des Teilchens in kartesischen Koordinaten? seine entsprechende Beschleunigung ist ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ frac {d \ mathbf {v} _ {k}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ { k} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k}}

Daher kann die Funktion wie folgt geschrieben werden ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left \ {\ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) ^ {2} + \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) ^ {2} +2 \ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right )\Recht\}}

Das Setzen der Ableitung von S in Bezug auf gleich dem Drehmoment ergibt Eulers Gleichungen ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$

{\ displaystyle I_ {xx} \ alpha _ {x} - \ left (I_ {yy} -I_ {zz} \ right) \ omega _ {y} \ omega _ {z} = N_ {x}}

{\ displaystyle I_ {yy} \ alpha _ {y} - \ left (I_ {zz} -I_ {xx} \ right) \ omega _ {z} \ omega _ {x} = N_ {y}}

{\ displaystyle I_ {zz} \ alpha _ {z} - \ left (I_ {xx} -I_ {yy} \ right) \ omega _ {x} \ omega _ {y} = N_ {z}}

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Pars, LA (1965). Eine Abhandlung über analytische Dynamik . Woodbridge, Connecticut: Ochsenbogenpresse. S. 197–227, 631–632.
Whittaker, ET (1937). Eine Abhandlung über die analytische Dynamik von Partikeln und starren Körpern mit einer Einführung in das Problem der drei Körper (4. Aufl.). New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN.
Seeger (1930). "Appellsche Gleichungen". Zeitschrift der Washington Academy of Science . 20 : 481–484.
Brell, H. (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzips der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz . 122 : 933–944.Verbindung der Formulierung von Appell mit dem Prinzip der geringsten Wirkung .
PDF-Kopie von Appells Artikel an der Universität Göttingen
PDF-Kopie eines zweiten Artikels über Appells Gleichungen und das Gaußsche Prinzip

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