Archimedes Palimpsest - Archimedes Palimpsest

Eine typische Seite aus dem Archimedes Palimpsest. Der Text des Gebetbuches ist von oben nach unten zu sehen, das ursprüngliche Archimedes-Manuskript ist als schwächerer Text darunter von links nach rechts verlaufend zu sehen
Entdeckung in der New York Times am 16. Juli 1907

Das Archimedes Palimpsest ist ein Pergament Codex Palimpsest , ursprünglich eine byzantinische griechische Kopie einer Zusammenstellung von Archimedes und anderen Autoren. Es enthält zwei verschollen geglaubte Werke von Archimedes (das Ostomachion und die Methode der mechanischen Theoreme ) und die einzige erhaltene griechische Originalausgabe seines Werkes On Floating Bodies . Es wird angenommen, dass die erste Version der Zusammenstellung von Isidoros von Milet , dem Architekten der geometrisch komplexen Hagia Sophia in Konstantinopel , irgendwann um 530 n. Chr. Angefertigt wurde. Die im Palimpsest gefundene Kopie wurde nach diesem Original ebenfalls in Konstantinopel erstellt. während der makedonischen Renaissance (ca. 950 n. Chr.), einer Zeit, in der die Mathematik in der Hauptstadt vom ehemaligen griechisch-orthodoxen Bischof von Thessaloniki Leo dem Geometer , einem Cousin des Patriarchen , wiederbelebt wurde .

Nach der Plünderung Konstantinopels durch westliche Kreuzfahrer im Jahr 1204 wurde das Manuskript in ein isoliertes griechisches Kloster in Palästina gebracht , möglicherweise um es vor besetzenden Kreuzfahrern zu schützen, die oft griechische Schrift mit Ketzerei gegen ihre lateinische Kirche gleichsetzten und viele solcher Texte entweder verbrannten oder plünderten (einschließlich mindestens zwei weiterer Kopien von Archimedes ). Die komplexe Handschrift wurde in diesem abgelegenen Kloster nicht geschätzt und wurde bald (1229) mit einem religiösen Text überschrieben. Im Jahr 1899, 900 Jahre nachdem es geschrieben wurde, war das Manuskript immer noch im Besitz der griechischen Kirche und zurück in Istanbul, wo es von dem griechischen Gelehrten Papadopoulos-Kerameus katalogisiert wurde , was die Aufmerksamkeit von Johan Heiberg auf sich zog . Heiberg besuchte die Kirchenbibliothek und durfte 1906 Detailaufnahmen machen. Der Originaltext war größtenteils noch sichtbar und Heiberg veröffentlichte ihn 1915. 1922 verschwand das Manuskript inmitten der Räumung der griechisch-orthodoxen Bibliothek in Istanbul , in einer turbulenten Zeit nach dem Ersten Weltkrieg. Über 70 Jahre lang von einem westlichen Geschäftsmann versteckt, wurden gefälschte Bilder über einen Text gemalt, um den Wiederverkaufswert zu erhöhen. Die Tochter des Geschäftsmannes konnte das Buch nicht privat verkaufen und riskierte 1998 eine öffentliche Versteigerung in New York, die von der griechischen Kirche angefochten wurde; das US-Gericht entschied für die Auktion, und das Manuskript wurde von einem wohlhabenden Amerikaner gekauft. Die Texte unter den gefälschten Bildern und zuvor unlesbare Texte wurden durch die Analyse von Bildern aufgedeckt, die mit ultraviolettem , infrarotem , sichtbarem und Streiflicht sowie Röntgenstrahlen erzeugt wurden .

Alle Bilder und Transkriptionen sind jetzt im Archimedes Digital Palimpsest (siehe Externe Links ) unter der Creative Commons License CC BY frei im Web verfügbar .

Das Archimedes Palimpsest
Foto des Palimpsests

Geschichte

Früh

Archimedes lebte im 3. Jahrhundert v. Chr. und schrieb seine Beweise als Briefe in dorischem Griechisch an Zeitgenossen, darunter Gelehrte der Großen Bibliothek von Alexandria . Diese Briefe wurden zuerst in einen umfassenden Text zusammengestellt Isidoros von Milet , der Architekt der Hagia Sophia Patriarchalkirche, irgendwann um das Jahr 530 in der damaligen byzantinischen griechischen Hauptstadt Konstantinopel.

Eine Kopie der Archimedes-Ausgabe von Isidorus wurde um 950 n. Chr. von einem anonymen Schreiber angefertigt, wiederum im Byzantinischen Reich, in einer Zeit, in der das Studium des Archimedes in Konstantinopel in einer von dem Mathematiker, Ingenieur und ehemaligen griechisch-orthodoxen Schule gegründeten Schule florierte Erzbischof von Thessaloniki, Leo der Geometer , ein Cousin des Patriarchen .

Dieses mittelalterliche byzantinische Manuskript reiste dann von Konstantinopel nach Jerusalem , wahrscheinlich irgendwann nach der Plünderung des byzantinischen Konstantinopels durch die Kreuzfahrer im Jahr 1204. Dort wurde 1229 der Archimedes-Kodex zusammen mit mindestens sechs anderen teilweisen Pergamenthandschriften, darunter einer, abgebunden, abgekratzt und gewaschen mit Werken des Hypereides . Ihre Blätter wurden in zwei Hälften gefaltet, zurückgebunden und für einen christlichen liturgischen Text von 177 später nummerierten Blättern wiederverwendet , von denen 174 erhalten sind (jedes ältere gefaltete Blatt wurde zu zwei Blättern des liturgischen Buches). Das Palimpsest blieb mindestens im 16. Jahrhundert in der Nähe von Jerusalem im isolierten griechisch-orthodoxen Kloster Mar Saba . Irgendwann vor 1840 wurde das Palimpsest vom griechisch-orthodoxen Patriarchat von Jerusalem in seine Bibliothek (das Metochion des Heiligen Grabes) in Konstantinopel zurückgebracht.

Modern

Der Bibelwissenschaftler Constantin von Tischendorf besuchte Konstantinopel in den 1840er Jahren und entfernte, fasziniert von der griechischen Mathematik, die auf dem Palimpsest sichtbar war, das er in einer griechisch-orthodoxen Bibliothek fand, ein Blatt davon (das sich heute in der Cambridge University Library befindet). 1899 erstellte der griechische Gelehrte Papadopoulos-Kerameus einen Katalog der Handschriften der Bibliothek und fügte eine Transkription mehrerer Zeilen des teilweise sichtbaren zugrunde liegenden Textes hinzu. Als er diese Zeilen sah , erkannte Johan Heiberg , der weltweite Autor von Archimedes, dass das Werk von Archimedes stammte. Als Heiberg 1906 das Palimpsest in Konstantinopel studierte, bestätigte er, dass das Palimpsest verschollen geglaubte Werke von Archimedes enthielt. Heiberg wurde von der griechisch-orthodoxen Kirche gestattet, die Seiten des Palimpsests sorgfältig zu fotografieren, und von diesen fertigte er Transkriptionen an, die zwischen 1910 und 1915 in einem Gesamtwerk von Archimedes veröffentlicht wurden. Kurz darauf wurde der griechische Text des Archimedes von TL Heath ins Englische übersetzt . Zuvor war es unter Mathematikern, Physikern oder Historikern nicht allgemein bekannt.

Das Manuskript war noch in dem griechisch - orthodoxen Patriarchat von Jerusalem ‚s - Bibliothek (die Metochion des Heiligen Grabes) in Constantinople in 1920. Kurz danach während einer turbulenten Zeit für die griechische Gemeinde in der Türkei , das einen türkischen Sieg im sah griechisch-türkische Krieg (1919–22) zusammen mit dem griechischen Völkermord und dem erzwungenen Bevölkerungsaustausch zwischen Griechenland und der Türkei verschwand das Palimpsest aus der Bibliothek der griechischen Kirche in Istanbul.

Irgendwann zwischen 1923 und 1930 wurde das Palimpsest von Marie Louis Sirieix erworben, einem "Geschäftsmann und Reisenden in den Orient, der in Paris lebte". Obwohl Sirieix behauptete, das Manuskript von einem Mönch gekauft zu haben, der sowieso nicht befugt gewesen wäre, es zu verkaufen, hatte Sirieix keine Quittung oder Dokumentation für einen Verkauf des wertvollen Manuskripts. Von Sirieix jahrelang heimlich in seinem Keller gelagert, erlitt das Palimpsest Schäden durch Wasser und Schimmel. Darüber hinaus fügte ein Fälscher nach seinem Verschwinden aus der Bibliothek des griechisch-orthodoxen Patriarchats Kopien mittelalterlicher evangelischer Porträts in Blattgold auf vier Seiten des Buches hinzu, um den Verkaufswert zu steigern, was den Text weiter beschädigte. Diese gefälschten Blattgold-Porträts haben den Text darunter fast ausgelöscht, und später wäre eine Röntgenfluoreszenz-Bildgebung in Stanford erforderlich, um sie zu enthüllen.

Sirieix starb 1956, und 1970 begann seine Tochter, das wertvolle Manuskript in aller Stille zu verkaufen. Da sie es nicht privat verkaufen konnte, wandte sie sich 1998 schließlich an Christie's , um es in einer öffentlichen Auktion zu verkaufen, wobei sie einen Eigentumsstreit riskierte. Der Besitz des Palimpsests wurde sofort vor einem Bundesgericht in New York im Fall des Griechisch-Orthodoxen Patriarchats von Jerusalem gegen Christie's , Inc. angefochten . Die griechische Kirche behauptete, das Palimpsest sei in den 1920er Jahren während einer Zeit extremer Verfolgung aus ihrer Bibliothek in Konstantinopel gestohlen worden. Richter Kimba Wood entschied sich für Christie's Auction House auf dem Gelände von Laches , und das Palimpsest wurde von einem anonymen amerikanischen Käufer für 2 Millionen Dollar gekauft. Der Anwalt, der den anonymen Käufer vertrat, gab an, der Käufer sei "ein privater Amerikaner", der in "der High-Tech-Branche" tätig sei, aber nicht Bill Gates .

Bildgebung und Digitalisierung

Nach dem Abbilden einer Seite aus dem Palimpsest ist der ursprüngliche Archimedes-Text jetzt deutlich zu sehen

Im Walters Art Museum in Baltimore war das Palimpsest von 1999 bis 2008 Gegenstand einer umfangreichen bildgebenden Studie und Konservierung (da es in Sirieix' Keller erheblich unter Schimmel gelitten hatte). Dies wurde von Dr. Will Noel, Kurator für Manuskripte am Walters Art Museum, geleitet und von Michael B. Toth von RB Toth Associates geleitet, wobei Dr. Abigail Quandt die Konservierung des Manuskripts durchführte.

Zielgruppen für die Digitalisierung sind griechische Gelehrte, Mathematikhistoriker, People-Building-Anwendungen, Bibliotheken, Archive und an der Produktion der Bilder interessierte Wissenschaftler. [1]

Ein Team von Bildgebungswissenschaftlern, darunter Dr. Roger L. Easton, Jr. vom Rochester Institute of Technology , Dr. William A. Christens-Barry von Equipoise Imaging und Dr. Keith Knox (damals bei Boeing LTS, jetzt im Ruhestand von der USAF Research Laboratory) verwendete die Computerverarbeitung digitaler Bilder aus verschiedenen Spektralbändern, einschließlich ultravioletter, sichtbarer und infraroter Wellenlängen, um den größten Teil des zugrunde liegenden Textes, einschließlich von Archimedes, zu enthüllen. Nach der Abbildung und digitalen Verarbeitung des gesamten Palimpsests in drei Spektralbändern vor 2006 wurde 2007 das gesamte Palimpsest in 12 Spektralbändern plus Streiflicht neu abgebildet : UV: 365 Nanometer; Sichtbares Licht: 445, 470, 505, 530, 570, 617 und 625 nm; Infrarot: 700, 735 und 870 nm; und Raking Light: 910 und 470 nm. Das Team verarbeitete diese Bilder digital, um mehr von dem zugrunde liegenden Text mit Pseudofarbe zu enthüllen. Sie digitalisierten auch die originalen Heiberg-Bilder. Dr. Reviel Netz von der Stanford University und Nigel Wilson haben eine diplomatische Transkription des Textes angefertigt und mit diesen Bildern Lücken in Heibergs Bericht geschlossen.

Irgendwann nach 1938 fügte ein Fälscher vier religiöse Bilder im byzantinischen Stil in das Manuskript ein, um seinen Verkaufswert zu steigern. Es schien, dass diese den zugrunde liegenden Text für immer unleserlich gemacht hatten. Im Mai 2005 wurden jedoch hochfokussierte Röntgenstrahlen, die am Stanford Linear Accelerator Center in Menlo Park, Kalifornien, produziert wurden, von Drs. Uwe Bergman und Bob Morton beginnen mit der Entzifferung der noch nicht enthüllten Teile des 174-seitigen Textes. Die Erzeugung von Röntgenfluoreszenz wurde von Keith Hodgson , Direktor der SSRL, beschrieben: „ Synchrotronlicht entsteht, wenn Elektronen, die sich fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, eine gekrümmte Bahn um einen Speicherring nehmen und elektromagnetisches Licht in Röntgenstrahlen durch infrarote Wellenlängen emittieren. Der resultierende Lichtstrahl hat Eigenschaften, die ihn ideal machen, um die komplizierte Architektur und den Nutzen vieler Arten von Materie zu enthüllen – in diesem Fall das zuvor verborgene Werk eines der Gründerväter aller Wissenschaften."

Im April 2007 wurde bekannt, dass im Palimpsest ein neuer Text gefunden wurde, der einen Kommentar zu den Kategorien von Aristoteles mit etwa 9 000 Wörtern umfasste. Der größte Teil dieses Textes wurde Anfang 2009 durch Anwendung der Hauptkomponentenanalyse auf die drei Farbbänder (Rot, Grün und Blau) des durch ultraviolette Beleuchtung erzeugten Fluoreszenzlichts wiederhergestellt . Dr. Will Noel sagte in einem Interview: "Man beginnt zu denken, dass es Gold ist, ein Palimpsest zu schlagen, und zwei zu schlagen ist völlig erstaunlich. Aber dann geschah etwas noch Außergewöhnlicheres." Dies bezog sich auf die frühere Entdeckung eines Textes von Hypereides , einem athenischen Politiker aus dem 4. Jahrhundert v. Chr., der ebenfalls im Palimpsest gefunden wurde. Es stammt aus seiner Rede gegen Diondas und wurde 2008 in der deutschen Fachzeitschrift Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik , vol. 165 und ist damit der erste neue Text aus dem Palimpsest, der in einer wissenschaftlichen Zeitschrift veröffentlicht wurde.

Die Transkriptionen des Buches wurden nach den Richtlinien der Text Encoding Initiative digital codiert , und die Metadaten für die Bilder und Transkriptionen umfassten Identifikations- und Katalogisierungsinformationen basierend auf Dublin Core Metadata Elements. Die Metadaten und Daten wurden von Doug Emery von Emery IT verwaltet.

Am 29. Oktober 2008 (dem zehnten Jahrestag des Kaufs des Palimpsests bei einer Auktion) wurden alle Daten, einschließlich Bilder und Transkriptionen, auf der Digital Palimpsest-Webseite zur freien Verwendung unter einer Creative Commons-Lizenz gehostet und Bilder des Palimpsests verarbeitet in der ursprünglichen Seitenreihenfolge wurden als Google Book veröffentlicht. Ende 2011 war es Gegenstand der Ausstellung „Lost and Found: The Secrets of Archimedes“ im Walters Art Museum. 2015 haben Schweizer Wissenschaftler in einem Experiment zur Konservierung digitaler Daten Text aus dem Archimedes Palimpsest in DNA verschlüsselt. Einige Mathematiker vermuten, dass Archimedes dank seiner Entschlüsselung die Integration erfunden hat .

Inhalt

Aufführen

Es beinhaltet:

Die Methode der mechanischen Theoreme

Das bemerkenswerteste der oben genannten Werke ist The Method of Mechanical Theorems , von dem das Palimpsest die einzige bekannte Kopie enthält.

In seinen anderen Werken beweist Archimedes oft die Gleichheit zweier Bereiche oder Bände mit Eudoxus ' Methode der Erschöpfung, einem altgriechischen Gegenstück zur modernen Methode der Grenzen. Da sich die Griechen bewusst waren, dass einige Zahlen irrational waren, war ihr Begriff einer reellen Zahl eine Menge Q, die durch zwei Folgen angenähert wurde, von denen eine eine obere und die andere eine untere Schranke lieferte. Wenn Sie zwei Folgen U und L finden, wobei U immer größer als Q und L immer kleiner als Q ist, und wenn die beiden Folgen schließlich näher als jeder vorgegebene Betrag zusammenkamen, dann wird Q von U und L gefunden oder erschöpft .

Archimedes benutzte Erschöpfung, um seine Sätze zu beweisen. Dabei wurde die Figur, deren Fläche er berechnen wollte, in Abschnitte bekannter Fläche angenähert, die Ober- und Untergrenzen für die Fläche der Figur liefern. Dann bewies er, dass die beiden Grenzen gleich werden, wenn die Unterteilung beliebig fein wird. Diese Beweise, die immer noch als rigoros und korrekt angesehen wurden, verwendeten Geometrie mit seltener Brillanz. Spätere Autoren kritisierten Archimedes oft dafür, dass er nicht erklärt hatte, wie er überhaupt zu seinen Ergebnissen gekommen war. Diese Erklärung ist in The Method enthalten .

Die von Archimedes beschriebene Methode basierte auf seinen Untersuchungen der Physik , des Massenschwerpunktes und des Hebelgesetzes . Er verglich die Fläche oder das Volumen einer Figur, deren Gesamtmasse und Massenschwerpunkt er kannte, mit der Fläche oder dem Volumen einer anderen Figur, von der er nichts wusste. Er betrachtete ebene Figuren als aus unendlich vielen Linien wie bei der späteren Methode der Unteilbaren und balancierte jede Linie oder jeden Schnitt einer Figur gegen einen entsprechenden Schnitt der zweiten Figur auf einem Hebel. Der wesentliche Punkt ist, dass die beiden Figuren unterschiedlich ausgerichtet sind, so dass die entsprechenden Scheiben unterschiedlich weit vom Drehpunkt entfernt sind, und die Bedingung, dass die Scheiben ausgeglichen sind, nicht dieselbe ist wie die Bedingung, dass die Figuren gleich sind.

Sobald er zeigt, dass jede Scheibe einer Figur jede Scheibe der anderen Figur ausbalanciert, kommt er zu dem Schluss, dass sich die beiden Figuren gegenseitig ausbalancieren. Aber der Massenmittelpunkt einer Figur ist bekannt, und die Gesamtmasse kann auf diesen Mittelpunkt gelegt werden und es bleibt immer noch im Gleichgewicht. Die zweite Figur hat eine unbekannte Masse, aber die Lage ihres Massenmittelpunkts könnte durch ein geometrisches Argument, durch Symmetrie, auf eine bestimmte Entfernung vom Drehpunkt beschränkt sein. Die Bedingung, dass die beiden Figuren balancieren, erlaubt ihm nun, die Gesamtmasse der anderen Figur zu berechnen. Er hielt diese Methode für eine nützliche Heuristik, stellte jedoch immer sicher, dass die Ergebnisse, die er fand, mit Erschöpfung beweisen, da die Methode keine oberen und unteren Grenzen lieferte.

Mit dieser Methode konnte Archimedes mehrere Probleme lösen, die heute von der Integralrechnung behandelt werden , die im 17. Jahrhundert von Isaac Newton und Gottfried Leibniz ihre moderne Form erhielt . Zu diesen Problemen gehörten die Berechnung des Schwerpunkts einer festen Halbkugel , des Schwerpunkts eines Kegelstumpfes eines kreisförmigen Paraboloids und der Fläche einer Region, die von einer Parabel und einer ihrer Sekanten begrenzt wird . (Für explizite Details siehe Archimedes' Verwendung von Infinitesimalen .)

Beim rigorosen Beweis von Theoremen verwendete Archimedes oft die sogenannten Riemannschen Summen . In On the Sphere and Cylinder gibt er Ober- und Untergrenzen für die Oberfläche einer Kugel an, indem er die Kugel in gleich breite Abschnitte schneidet. Er begrenzt dann die Fläche jedes Abschnitts durch die Fläche eines einbeschriebenen und umschriebenen Kegels, von dem er nachweist, dass er eine entsprechend größere und kleinere Fläche hat. Er fügt die Flächen der Kegel hinzu, eine Art Riemann-Summe für die Fläche der Kugel, die als Rotationsfläche betrachtet wird.

Es gibt jedoch zwei wesentliche Unterschiede zwischen der Methode von Archimedes und den Methoden des 19. Jahrhunderts:

  1. Archimedes kannte Differenzierung nicht und konnte daher keine anderen Integrale als die aus Massenschwerpunktbetrachtungen nach Symmetrie berechnen. Obwohl er eine Vorstellung von Linearität hatte, musste er zwei Figuren gleichzeitig ausbalancieren, um das Volumen einer Kugel zu finden; er hat nie herausgefunden, wie man Variablen ändert oder nach Teilen integriert.
  2. Bei der Berechnung von Näherungssummen stellte er die weitere Einschränkung auf, dass die Summen strenge Ober- und Untergrenzen darstellen. Dies war erforderlich, weil den Griechen algebraische Methoden fehlten, die feststellen konnten, dass Fehlerterme in einer Näherung klein sind.

Ein Problem gelöst ausschließlich in dem Verfahren ist die Berechnung des Volumens eines zylindrischen Keils, ein Ergebnis , dass erscheint wieder als Satz XVII (Schema XIX) von Kepler ‚s Stereometria .

Einige Seiten der Methode blieben vom Autor des Palimpsests ungenutzt und sind daher immer noch verloren. Zwischen ihnen betraf ein angekündigtes Ergebnis das Volumen der Kreuzung zweier Zylinder, eine Figur, die Apostol und Mnatsakanian in n = 4 archimedischer Globus (und die Hälfte davon, n  = 4 archimedische Kuppel) umbenannt haben, deren Volumen sich auf die n bezieht - polygonale Pyramide.

Magen

Ostomachion ist ein Sezierpuzzle im Archimedes Palimpsest (gezeigt nach Suter aus einer anderen Quelle; diese Version muss auf die doppelte Breite gestreckt werden, um dem Palimpsest zu entsprechen)

Zu Heibergs Zeit wurde Archimedes' brillanter Verwendung von Unteilbaren viel Aufmerksamkeit geschenkt, um Probleme über Flächen, Volumen und Schwerpunkte zu lösen. Weniger Aufmerksamkeit wurde dem Ostomachion geschenkt , einem Problem, das im Palimpsest behandelt wird und sich mit einem Kinderrätsel zu befassen scheint. Reviel Netz von der Stanford University hat argumentiert, dass Archimedes die Anzahl der Möglichkeiten diskutiert hat, das Puzzle zu lösen, dh die Teile zurück in ihre Schachtel zu legen. Es wurden keine Stücke als solche identifiziert; die Regeln für die Platzierung, etwa ob Figuren umgedreht werden dürfen, sind nicht bekannt; und es gibt Zweifel an der Tafel.

Die hier dargestellte Tafel, wie auch von Netz, ist eine von Heinrich Suter vorgeschlagene, einen punktlosen arabischen Text zu übersetzen, in dem doppelt und gleich leicht verwechselt werden können; Suter macht zumindest an der entscheidenden Stelle einen Schreibfehler, indem er Seitenlänge und Diagonale gleichsetzt, dann kann die Tafel kein Rechteck sein. Da sich jedoch die Diagonalen eines Quadrats rechtwinklig schneiden, macht das Vorhandensein rechtwinkliger Dreiecke den ersten Satz von Archimedes' Ostomachion unmittelbar. Vielmehr stellt der erste Satz ein Brett auf, das aus zwei nebeneinander liegenden Feldern besteht (wie in Tangram ). Eine Versöhnung des Suter-Boards mit diesem Codex-Board wurde von Richard Dixon Oldham , FRS, im März 1926 in Nature veröffentlicht, was in diesem Jahr einen Ostomachion- Wahn auslöste .

Die moderne Kombinatorik zeigt, dass die Anzahl der Möglichkeiten, die Teile des Suter-Bretts zu platzieren, um ihr Quadrat zu reformieren und sie umzudrehen, 17.152 beträgt; die Zahl ist deutlich kleiner – 64 – wenn die Teile nicht umgedreht werden dürfen. Die Schärfe einiger Winkel des Suter-Bretts erschwert die Herstellung, während das Spiel umständlich sein kann, wenn Stücke mit scharfen Spitzen umgedreht werden. Für das Codex-Spielbrett (wieder wie bei Tangram) gibt es drei Möglichkeiten, die Teile zu packen: als zwei Einheitsquadrate nebeneinander; als zwei Einheitsquadrate übereinander; und als einzelnes Quadrat der Seite die Quadratwurzel aus zwei. Aber der Schlüssel zu dieser Packungen ist gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke bilden, so wie Sokrates den Sklavenjungen wird in betrachten Plato ‚s Meno - Sokrates wurde von Erinnerung für Wissen streiten, und hier Mustererkennung und Erinnerung scheinen relevant als eine Anzahl von Lösungen. Das Codex-Brett kann als Erweiterung des Sokrates-Arguments in einem sieben-mal-sieben-Quadrat-Gitter gefunden werden, das eine iterative Konstruktion der Seitendurchmesser-Zahlen vorschlägt, die rationale Annäherungen an die Quadratwurzel von zwei liefern.

Der fragmentarische Zustand des Palimpsests lässt viel Zweifel. Aber es würde sicherlich zum Rätsel beitragen, wenn Archimedes das Suter-Board dem Codex-Board vorgezogen hätte. Wenn Netz jedoch recht hat, dürfte dies das anspruchsvollste Werk auf dem Gebiet der Kombinatorik der griechischen Antike gewesen sein. Entweder hat Archimedes das Suter-Brett verwendet, dessen Figuren umgedreht werden durften, oder die Statistik des Suter-Bretts ist irrelevant.

Siehe auch

Anmerkungen

Zusätzliche Quellen

Externe Links