Biot-Savart-Gesetz - Biot–Savart law

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Wissenschaftler Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heavyside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sänger Tesla Volta Weber Poisson
v T e

In der Physik , insbesondere Elektromagnetismus , das Gesetz von Biot-Savart ( / b í oʊ s ə v ɑːr / oder / b j oʊ s ə v ɑːr / ) ist eine Gleichung , die die Beschreibung Magnetfeldes durch einen konstanten erzeugten elektrischen Strom . Es bezieht das Magnetfeld auf die Größe, Richtung, Länge und Nähe des elektrischen Stroms. Das Biot-Savart-Gesetz ist grundlegend für die Magnetostatik und spielt eine ähnliche Rolle wie das Coulomb-Gesetz in der Elektrostatik . Wenn die Magnetostatik nicht anwendbar ist, sollte das Biot-Savart-Gesetz durch die Gleichungen von Jefimenko ersetzt werden . Das Gesetz ist in der magnetostatischen Näherung gültig und stimmt sowohl mit Ampères Schaltungsgesetz als auch mit dem Gaußschen Gesetz für Magnetismus überein . Es ist nach Jean-Baptiste Biot und Félix Savart benannt , die diese Beziehung 1820 entdeckten.

Gleichung

Elektrische Ströme (entlang einer geschlossenen Kurve/Draht)

Gezeigt sind die Richtungen von , , und der Wert von${\displaystyle-ID{\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$${\displaystyle |\mathbf {r'} |}$

Das Biot-Savart-Gesetz wird verwendet, um das resultierende Magnetfeld B an der Position r im 3D-Raum zu berechnen, das durch einen flexiblen Strom I (zB durch einen Draht) erzeugt wird. Ein unveränderlicher (oder stationärer) Strom ist ein kontinuierlicher Fluss von Ladungen , die sie mit der Zeit nicht ändern , und die Ladung ansammelt weder noch verarmt an jedem Punkt. Das Gesetz ist ein physikalisches Beispiel für ein Linienintegral , das über den Pfad C ausgewertet wird, in dem die elektrischen Ströme fließen (zB der Draht). Die Gleichung in SI- Einheiten lautet

wobei ein Vektor entlang des Pfades ist, dessen Größe die Länge des Differentialelements des Drahtes in Richtung des konventionellen Stroms ist . ist ein Punkt auf dem Weg . der volle Verschiebungsvektor vom Drahtelement ( ) am Punkt zu dem Punkt, an dem das Feld berechnet wird ( ), und μ ₀ ist die magnetische Konstante . Alternative: ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf{r'} =\mathbf{r} -{\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell}}}$${\displaystyle\mathbf{r}}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell}}\times \mathbf {{\hat{r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}}$

wo ist der Einheitsvektor von . Die fettgedruckten Symbole bezeichnen Vektorgrößen . ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$${\displaystyle \mathbf{r'}}$

Das Integral liegt normalerweise um eine geschlossene Kurve herum , da stationäre elektrische Ströme nur um geschlossene Pfade fließen können, wenn sie begrenzt sind. Das Gesetz gilt jedoch auch für unendlich lange Drähte (dieser Begriff wurde bis zum 20. Mai 2019 in der Definition der SI-Einheit des elektrischen Stroms – Ampere – verwendet.

Um die Gleichung anzuwenden, wird der Punkt im Raum, an dem das Magnetfeld berechnet werden soll, willkürlich gewählt ( ). Halten Sie diesen Punkt fest, wird das Linienintegral über den Weg des elektrischen Stroms berechnet, um das gesamte Magnetfeld an diesem Punkt zu finden. Die Anwendung dieses Gesetzes beruht implizit auf dem Superpositionsprinzip für Magnetfelder, dh der Tatsache, dass das Magnetfeld eine Vektorsumme des Feldes ist, das von jedem infinitesimalen Abschnitt des Drahtes einzeln erzeugt wird. ${\displaystyle\mathbf{r}}$

Es gibt auch eine 2D-Version der Biot-Savart-Gleichung, die verwendet wird, wenn die Quellen in einer Richtung invariant sind. Im Allgemeinen muss der Strom nicht nur in einer Ebene senkrecht zur invarianten Richtung fließen und ist gegeben durch ( Stromdichte ). Die resultierende Formel lautet: ${\displaystyle\mathbf{J}}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{2\pi}}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J}) \,d\ell)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|}}={\frac {\mu_{0}}{2\pi}}\int _{C} \(\mathbf{J}\,d\ell)\times \mathbf{{\hat{r}}'}}$

Elektrische Stromdichte (durch das gesamte Leitervolumen)

Die oben angegebenen Formulierungen funktionieren gut, wenn der Strom angenähert werden kann, als würde er durch einen unendlich schmalen Draht laufen. Wenn der Leiter eine gewisse Dicke hat, lautet die richtige Formulierung des Biot-Savart-Gesetzes (wieder in SI- Einheiten):

Dabei ist der Vektor von dV zum Beobachtungspunkt , das Volumenelement und der aktuelle Dichtevektor in diesem Volumen (in SI in Einheiten von A/m ² ). ${\displaystyle \mathbf{r'}}$${\displaystyle\mathbf{r}}$${\displaystyle dV}$${\displaystyle\mathbf{J}}$

In Bezug auf den Einheitsvektor ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\iiiint_{V}\dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat{r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$

Konstanter gleichmäßiger Strom

Im speziellen Fall einer einheitlichen konstanten Strom I , das Magnetfeld ist ${\displaystyle\mathbf{B}}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}I\int_{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ ell}}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}$

dh der Strom kann aus dem Integral entnommen werden.

Punktladung bei konstanter Geschwindigkeit

Im Fall eines punktförmigen geladenen Teilchens q, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt , geben die Maxwell-Gleichungen den folgenden Ausdruck für das elektrische Feld und das magnetische Feld:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}} {c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin^{2}\theta \right)^{\frac {3 }{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat{r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned} }}$

wobei der Einheitsvektor von der aktuellen (nicht verzögerten) Position des Teilchens zu dem Punkt ist, an dem das Feld gemessen wird, und θ der Winkel zwischen und ist . ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}$${\displaystyle\mathbf{v}}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Wenn v ² ≪ c ^{2 ist} , können das elektrische Feld und das magnetische Feld angenähert werden als

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon_{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf { r} '|^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu_{0}q}{4\pi}}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf{r} '|^{2}}}}$

Diese Gleichungen wurden erstmals 1888 von Oliver Heaviside abgeleitet . Einige Autoren nennen die obige Gleichung wegen ihrer großen Ähnlichkeit mit dem Standardgesetz von Biot-Savart das "Biot-Savart-Gesetz für eine Punktladung". Diese Formulierung ist jedoch irreführend, da das Biot-Savart-Gesetz nur für stationäre Ströme gilt und eine sich im Raum bewegende Punktladung keinen stationären Strom darstellt. ${\displaystyle\mathbf{B}}$

Anwendungen für magnetische Reaktionen

Das Biot-Savart-Gesetz kann zur Berechnung magnetischer Reaktionen sogar auf atomarer oder molekularer Ebene verwendet werden, zB chemischer Abschirmungen oder magnetischer Suszeptibilitäten , vorausgesetzt, die Stromdichte kann aus einer quantenmechanischen Berechnung oder Theorie gewonnen werden.

Aerodynamikanwendungen

Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit ( ), die an einem Punkt P durch ein Element des Wirbelfadens ( ) der Stärke induziert wird .${\displaystyle dV}$${\displaystyle dl}$${\displaystyle \Gamma}$

Das Biot-Savart-Gesetz wird auch in der Aerodynamiktheorie verwendet, um die durch Wirbellinien induzierte Geschwindigkeit zu berechnen .

Bei der aerodynamischen Anwendung sind die Rollen von Wirbel und Strom im Vergleich zur magnetischen Anwendung umgekehrt.

In Maxwells 1861 erschienenem Aufsatz "On Physical Lines of Force" wurde die magnetische Feldstärke H direkt mit reiner Vorticity (Spin) gleichgesetzt , während B eine gewichtete Vorticity war, die für die Dichte des Wirbelmeeres gewichtet wurde. Maxwell betrachtete die magnetische Permeabilität μ als ein Maß für die Dichte des Wirbelmeeres. Daher die Beziehung,

Magnetischer Induktionsstrom

$${\displaystyle\mathbf{B} =\mu\mathbf{H}}$$

war im Wesentlichen eine Rotationsanalogie zur linearen elektrischen Strombeziehung,

Elektrischer Konvektionsstrom

$${\displaystyle\mathbf{J} =\rho\mathbf{v}}$$

wobei ρ die elektrische Ladungsdichte ist.

B wurde als eine Art magnetischer Strom von Wirbeln gesehen, die in ihren axialen Ebenen ausgerichtet sind, wobei H die Umfangsgeschwindigkeit der Wirbel ist.

Die elektrische Stromgleichung kann als konvektiver Strom elektrischer Ladung angesehen werden, der eine lineare Bewegung beinhaltet. Analog dazu ist die magnetische Gleichung ein induktiver Strom mit Spin. Es gibt keine lineare Bewegung des induktiven Stroms entlang der Richtung des B- Vektors. Der magnetische induktive Strom repräsentiert Kraftlinien. Insbesondere repräsentiert es Linien der inversen quadratischen Gesetzeskraft.

In der Aerodynamik bilden die induzierten Luftströme elektromagnetische Ringe um eine Wirbelachse. Eine Analogie kann gemacht werden, dass die Wirbelachse die Rolle spielt, die elektrischer Strom im Magnetismus spielt. Dies bringt die Luftströmungen der Aerodynamik (Fluidgeschwindigkeitsfeld) in die äquivalente Rolle des magnetischen Induktionsvektors B im Elektromagnetismus.

Beim Elektromagnetismus bilden die B- Linien Solenoidringe um den Quellenstrom, während in der Aerodynamik die Luftströme (Geschwindigkeit) Solenoidringe um die Quellenwirbelachse bilden.

Daher spielt der Wirbel im Elektromagnetismus die Rolle der "Wirkung", während der Wirbel in der Aerodynamik die Rolle der "Ursache" spielt. Wenn wir jedoch die B- Linien isoliert betrachten, sehen wir genau das aerodynamische Szenario, da B die Wirbelachse und H die Umfangsgeschwindigkeit ist, wie in Maxwells Aufsatz von 1861.

In zwei Dimensionen ist für eine Wirbellinie von unendlicher Länge die induzierte Geschwindigkeit an einem Punkt gegeben durch

${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

wobei Γ die Stärke des Wirbels und r der senkrechte Abstand zwischen dem Punkt und der Wirbellinie ist. Dies ist vergleichbar mit dem Magnetfeld, das in einer Ebene durch einen unendlich langen geraden dünnen Draht senkrecht zur Ebene erzeugt wird.

Dies ist ein Grenzfall der Formel für Wirbelsegmente endlicher Länge (ähnlich einem endlichen Draht):

${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]}$

wobei A und B die (vorzeichenbehafteten) Winkel zwischen der Linie und den beiden Enden des Segments sind.

Das Biot-Savart-Gesetz, das Ampèresche Schaltungsgesetz und das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus

In einer magnetostatischen Situation erfüllt das aus dem Biot-Savart-Gesetz berechnete Magnetfeld B immer das Gauß-Gesetz für Magnetismus und das Ampère-Gesetz :

Beweisskizze (Klicken Sie rechts auf "Zeigen".)

Beginnend mit dem Biot-Savart-Gesetz: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\iiiint_{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}}$ Ersetzen der Beziehung ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}=-\nabla \left({\frac { 1}{|\mathbf{r} -\mathbf{l} |}}\right)}$ und unter Verwendung der Produktregel für Locken sowie der Tatsache, dass J nicht von abhängt , kann diese Gleichung umgeschrieben werden als ${\displaystyle\mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\nabla \times \iiiint_{V}d^{3}l{ \frac{\mathbf{J} (\mathbf{l})}{|\mathbf{r} -\mathbf{l} |}}}$ Da die Divergenz einer Locke immer Null ist, ist damit das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus begründet . Als nächstes nehmen wir die Locken beider Seiten, verwenden die Formel für die Locken einer Locke und verwenden erneut die Tatsache, dass J nicht von abhängt , erhalten wir schließlich das Ergebnis ${\displaystyle\mathbf{r}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu_{0}}{4\pi}}\nabla \iiiint_{V}d^{3}l\mathbf {J} ( \mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)-{\frac {\mu_{0}} {4\pi}}\iiiint_{V}d^{3}l\mathbf{J} (\mathbf{l})\nabla^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf{ r} -\mathbf{l} |}}\right)}$ Zum Schluss die Relationen einstecken ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-\nabla_{l}\left ({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r } -\mathbf {l} |}}\right)&=-4\pi\delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )\end{ausgerichtet}}}$ (wobei δ die Dirac-Deltafunktion ist ), unter Verwendung der Tatsache, dass die Divergenz von J null ist (aufgrund der Annahme der Magnetostatik ), und Durchführen einer Integration nach Teilen , ergibt sich das Ergebnis als ${\displaystyle\nabla\times\mathbf{B} =\mu_{0}\mathbf{J}}$ dh das Gesetz von Ampère . (Aufgrund der Annahme der Magnetostatik , , gibt es also keinen zusätzlichen Verschiebungsstromterm im Ampèreschen Gesetz.) ${\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0} }$

In einer nicht- magnetostatischen Situation ist das Biot-Savart-Gesetz nicht mehr wahr (es wird durch die Jefimenko-Gleichungen ersetzt ), während das Gauß-Gesetz für den Magnetismus und das Maxwell-Ampère-Gesetz immer noch wahr sind.

Theoretischer Hintergrund

Zunächst wurde das Biot-Savart-Gesetz experimentell entdeckt, dann wurde dieses Gesetz auf unterschiedliche Weise theoretisch hergeleitet. In The Feynman Lectures on Physics wird zunächst die Ähnlichkeit der Ausdrücke für das elektrische Potential außerhalb der statischen Ladungsverteilung und das magnetische Vektorpotential außerhalb des Systems stetig verteilter Ströme betont und dann das Magnetfeld durch die Krümmung aus berechnet das Vektorpotential. Ein anderer Ansatz ist eine allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung für das Vektorpotential bei konstanten Strömen. Das Magnetfeld lässt sich auch als Folge der Lorentz-Transformationen für die elektromagnetische Kraft berechnen , die von einem geladenen Teilchen auf ein anderes Teilchen wirkt. Zwei andere Möglichkeiten, das Biot-Savart-Gesetz abzuleiten, sind: 1) Lorentz-Transformation der elektromagnetischen Tensorkomponenten aus einem bewegten Bezugssystem, in dem nur ein elektrisches Feld mit einer gewissen Ladungsverteilung vorhanden ist, in ein stationäres Bezugssystem, in dem diese Gebühren bewegen. 2) die Verwendung der Methode der verzögerten Potentiale .

Siehe auch

Personen

• Jean-Baptiste Biot
• Félix Savart
• André-Marie Ampère
• James Clerk Maxwell
• Pierre-Simon Laplace

Elektromagnetismus

• Maxwell-Gleichungen
• Ampères Gesetz
• Magnetismus
• Coulomb-Gesetz
• Darwin Lagrangeian
• Gleichungen von Jefimenko : zeitabhängige Verallgemeinerung des Biot-Savart-Gesetzes

Anmerkungen

Verweise

• Griffiths, David J. (1998). Einführung in die Elektrodynamik (3. Aufl.). Lehrlingssaal. ISBN 0-13-805326-X.
• Feynmann, Richard (2005). Die Feynman-Vorlesungen über Physik (2. Aufl.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9045-2.

Weiterlesen

• Elektrizität und moderne Physik (2. Auflage), GAG Bennet, Edward Arnold (UK), 1974, ISBN  0-7131-2459-8
• Essential Principles of Physics, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2. Auflage, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
• Das Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Physik für Wissenschaftler und Ingenieure - mit Modern Physics (6. Auflage), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN  0-7167-8964-7
• Encyclopaedia of Physics (2. Auflage), RG Lerner , GL Trigg, VHC-Verlage, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. Auflage), CB Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3

Externe Links

• Medien zum Biot-Savart-Gesetz bei Wikimedia Commons
• MISN-0-125 The Ampère–Laplace–[http://all-success-stories.xyz/ Biot–Savart Law ]] von Orilla McHarris und Peter Signell für das Projekt PHYSNET .