Bohr-Van-Leeuwen-Theorem - Bohr–Van Leeuwen theorem

Das Bohr-Van-Leeuwen-Theorem besagt, dass bei konsequenter Anwendung der statistischen Mechanik und der klassischen Mechanik das thermische Mittel der Magnetisierung immer Null ist. Dies macht Magnetismus in Festkörpern ausschließlich zu einem quantenmechanischen Effekt und bedeutet, dass die klassische Physik Paramagnetismus , Diamagnetismus und Ferromagnetismus nicht erklären kann . Die Unfähigkeit der klassischen Physik, die Triboelektrizität zu erklären, stammt auch aus dem Bohr-Van-Leeuwen-Theorem.

Geschichte

Was heute als Bohr-Van-Leeuwen-Theorem bekannt ist, wurde 1911 von Niels Bohr in seiner Doktorarbeit entdeckt und später von Hendrika Johanna van Leeuwen in ihrer Doktorarbeit 1919 wiederentdeckt . 1932 formalisierte und erweiterte Van Vleck Bohrs ursprüngliches Theorem in einem Buch schrieb er über elektrische und magnetische Suszeptibilitäten.

Die Bedeutung dieser Entdeckung ist, dass die klassische Physik solche Dinge wie Paramagnetismus , Diamagnetismus und Ferromagnetismus nicht zulässt und daher die Quantenphysik benötigt wird, um die magnetischen Ereignisse zu erklären. Dieses Ergebnis, "vielleicht die deflationärste Veröffentlichung aller Zeiten", könnte 1913 zu Bohrs Entwicklung einer quasi-klassischen Theorie des Wasserstoffatoms beigetragen haben .

Nachweisen

Ein intuitiver Beweis

Der Satz von Bohr-Van Leeuwen gilt für ein isoliertes System, das nicht rotieren kann. Wenn das isolierte System als Reaktion auf ein von außen angelegtes Magnetfeld rotieren darf, gilt dieses Theorem nicht. Wenn außerdem bei einer gegebenen Temperatur und einem gegebenen Feld nur ein thermischer Gleichgewichtszustand vorliegt und das System nach dem Anlegen eines Feldes Zeit hat, zum Gleichgewicht zurückzukehren, dann gibt es keine Magnetisierung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem bestimmten Bewegungszustand befindet, wird durch die Maxwell-Boltzmann-Statistik als proportional zu vorhergesagt , wobei die Energie des Systems, die Boltzmann-Konstante und die absolute Temperatur ist . Diese Energie ist gleich der Summe der kinetischen Energie ( für ein Teilchen mit Masse und Geschwindigkeit ) und der potentiellen Energie .

Das Magnetfeld trägt nicht zur potentiellen Energie bei. Die Lorentzkraft auf ein Teilchen mit Ladung und Geschwindigkeit ist

wo ist das elektrische Feld und ist die magnetische Flussdichte . Der Arbeitsaufwand ist und hängt nicht davon ab . Daher hängt die Energie nicht vom Magnetfeld ab, die Bewegungsverteilung hängt also nicht vom Magnetfeld ab.

Im Nullfeld gibt es keine Nettobewegung geladener Teilchen, da das System nicht rotieren kann. Es gibt daher ein durchschnittliches magnetisches Moment von Null. Da die Bewegungsverteilung nicht vom Magnetfeld abhängt, bleibt das Moment im thermischen Gleichgewicht in jedem Magnetfeld Null.

Ein formellerer Beweis

Um die Komplexität des Beweises zu verringern, wird ein System mit Elektronen verwendet.

Dies ist angemessen, da der größte Teil des Magnetismus in einem Festkörper von Elektronen getragen wird und der Beweis leicht auf mehr als eine Art geladener Teilchen verallgemeinert werden kann.

Jedes Elektron hat eine negative Ladung und Masse .

Wenn seine Position ist und seine Geschwindigkeit ist , erzeugt es einen Strom und ein magnetisches Moment

Die obige Gleichung zeigt, dass das magnetische Moment eine lineare Funktion der Geschwindigkeitskoordinaten ist, also muss das gesamte magnetische Moment in einer bestimmten Richtung eine lineare Funktion der Form sein

wobei der Punkt eine zeitliche Ableitung darstellt und Vektorkoeffizienten in Abhängigkeit von den Positionskoordinaten sind .

Die Maxwell-Boltzmann-Statistik gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das n-te Teilchen Impuls hat und koordiniert als

wo ist der Hamilton-Operator , die Gesamtenergie des Systems.

Das thermische Mittel einer beliebigen Funktion dieser verallgemeinerten Koordinaten ist dann

Bei Vorhandensein eines Magnetfeldes,

wo ist das magnetische Vektorpotential und das elektrische Skalarpotential . Für jedes Teilchen sind die Komponenten von Impuls und Ort durch die Gleichungen der Hamiltonschen Mechanik verbunden :

Deswegen,

das Moment ist also eine lineare Funktion der Impulse .

Das thermisch gemittelte Moment,

ist die Summe der Terme proportional zu Integralen der Form

wobei steht für eine der Momentkoordinaten.

Der Integrand ist eine ungerade Funktion von , also verschwindet er.

Daher .

Anwendungen

Das Bohr-Van-Leeuwen-Theorem ist in mehreren Anwendungen nützlich, einschließlich der Plasmaphysik : "Alle diese Referenzen basieren ihre Diskussion des Bohr-Van-Leeuwen-Theorems auf dem physikalischen Modell von Niels Bohr, in dem perfekt reflektierende Wände notwendig sind, um die Ströme bereitzustellen, die das Netz aufheben Beitrag aus dem Inneren eines Plasmaelements und führen zu einem Nettodiamagnetismus von Null für das Plasmaelement."

Diamagnetismus rein klassischer Natur tritt in Plasmen auf, ist aber eine Folge thermischer Ungleichgewichte, wie beispielsweise eines Gradienten der Plasmadichte. Auch Elektromechanik und Elektrotechnik sehen praktischen Nutzen aus dem Bohr-Van-Leeuwen-Theorem.

Siehe auch

Verweise

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