Grenzschicht - Boundary layer

Die Grenzschicht um eine menschliche Hand, Schlieren-Fotografie . Die Grenzschicht ist der hellgrüne Rand, der am besten auf dem Handrücken sichtbar ist (klicken Sie für ein hochauflösendes Bild).

In der Physik und Strömungsmechanik ist eine Grenzschicht die Flüssigkeitsschicht in unmittelbarer Nähe einer Grenzfläche, bei der die Auswirkungen der Viskosität signifikant sind. Die Flüssigkeit oder das Gas in der Grenzschicht neigt dazu, an der Oberfläche zu haften.

Die Grenzschicht um einen Menschen wird vom Menschen erwärmt, ist also wärmer als die Umgebungsluft. Eine Brise durchbricht die Grenzschicht, Haare und Kleidung schützen sie, sodass sich der Mensch kühler oder wärmer fühlt. Auf einem Flugzeugflügel , ist die Grenzschicht der Teil der Strömung in der Nähe des Flügel, wo viskose Kräfte das umgebenden nicht-viskose Fließen verzerren. In der Erdatmosphäre ist die atmosphärische Grenzschicht die Luftschicht (~ 1 km) in Bodennähe. Es wird von der Oberfläche beeinflusst; Tag-Nacht-Wärmeströme, die durch die Erwärmung des Bodens durch die Sonne, durch Feuchtigkeits- oder Impulsübertragung zur oder von der Oberfläche verursacht werden.

Arten von Grenzschichten

Grenzschichtvisualisierung, die den Übergang vom laminaren zum turbulenten Zustand zeigt

Laminare Grenzschichten können nach ihrer Struktur und den Umständen, unter denen sie entstehen, grob eingeteilt werden. Die dünne Scherschicht , die auf einem schwingenden Körper entwickelt , ist ein Beispiel für eine Stokes Grenzschicht , während die Blasius Grenzschicht bezieht sich auf die bekannten Ähnlichkeitslösung in der Nähe einer angebrachte flache Platte in einer entgegenkommenden unidirektionale Strömung gehalten und Falkner-Skan Grenzschicht , eine Verallgemeinerung des Blasius-Profils. Wenn sich eine Flüssigkeit dreht und viskose Kräfte durch den Coriolis-Effekt (anstatt durch konvektive Trägheit) ausgeglichen werden , bildet sich eine Ekman-Schicht . In der Theorie der Wärmeübertragung tritt eine thermische Grenzschicht auf. Eine Oberfläche kann gleichzeitig mehrere Arten von Grenzschichten aufweisen.

Die viskose Natur des Luftstroms verringert die lokalen Geschwindigkeiten auf einer Oberfläche und ist für die Mantelreibung verantwortlich. Die Luftschicht über der Flügeloberfläche, die durch die Viskosität verlangsamt oder gestoppt wird, ist die Grenzschicht. Es gibt zwei verschiedene Arten von Grenzschichtströmungen: laminar und turbulent.

Laminare Grenzschichtströmung

Die laminare Grenze ist eine sehr glatte Strömung, während die turbulente Grenzschicht Wirbel oder "Wirbel" enthält. Die laminare Strömung erzeugt weniger Mantelreibungswiderstand als die turbulente Strömung, ist aber weniger stabil. Die Grenzschichtströmung über einer Flügeloberfläche beginnt als glatte laminare Strömung. Wenn die Strömung von der Vorderkante zurückgeht, nimmt die Dicke der laminaren Grenzschicht zu.

Turbulente Grenzschichtströmung

In einiger Entfernung von der Vorderkante bricht die glatte laminare Strömung zusammen und geht in eine turbulente Strömung über. Vom Standpunkt des Widerstands aus ist es ratsam, den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung so weit hinten wie möglich am Flügel zu haben oder einen großen Teil der Flügeloberfläche innerhalb des laminaren Abschnitts der Grenzschicht zu haben. Die laminare Strömung niedriger Energie neigt jedoch dazu, plötzlicher zusammenzubrechen als die turbulente Schicht.

Aerodynamik

Ludwig Prandtl

Geschwindigkeitsprofil der laminaren Grenzschicht

Die aerodynamische Grenzschicht wurde erstmals von Ludwig Prandtl in einem Vortrag definiert, der am 12. August 1904 auf dem dritten Internationalen Mathematikerkongress in Heidelberg präsentiert wurde . Es vereinfacht die Gleichungen der Flüssigkeitsströmung, indem es das Strömungsfeld in zwei Bereiche unterteilt: einen innerhalb der Grenzschicht, der von der Viskosität dominiert wird und den größten Teil des Widerstands erzeugt, den der Grenzkörper erfährt; und eine außerhalb der Grenzschicht, wo die Viskosität ohne signifikante Auswirkungen auf die Lösung vernachlässigt werden kann. Dies ermöglicht eine geschlossene Lösung für die Strömung in beiden Bereichen, eine deutliche Vereinfachung der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen . Der Großteil der Wärmeübertragung zu und von einem Körper findet auch innerhalb der Grenzschicht statt, was wiederum eine Vereinfachung der Gleichungen im Strömungsfeld außerhalb der Grenzschicht ermöglicht. Die Druckverteilung in der gesamten Grenzschicht in Richtung senkrecht zur Oberfläche (wie bei einem Strömungsprofil ) bleibt in der gesamten Grenzschicht konstant und ist dieselbe wie auf der Oberfläche selbst.

Die Dicke der Geschwindigkeitsgrenzschicht wird normalerweise als der Abstand vom Festkörper bis zu dem Punkt definiert, an dem die viskose Strömungsgeschwindigkeit 99% der freien Strömungsgeschwindigkeit (der Oberflächengeschwindigkeit einer reibungsfreien Strömung) beträgt. Verdrängungsdicke ist eine alternative Definition, die besagt, dass die Grenzschicht ein Defizit im Massenfluss gegenüber einer reibungsfreien Strömung mit Schlupf an der Wand darstellt. Es ist der Weg, um den die Wand im nichtviskosen Fall verschoben werden müsste, um den gleichen Gesamtmassenstrom wie im viskosen Fall zu erhalten. Die rutschfeste Bedingung erfordert, dass die Strömungsgeschwindigkeit an der Oberfläche eines Festkörpers Null ist und die Flüssigkeitstemperatur gleich der Temperatur der Oberfläche ist. Die Strömungsgeschwindigkeit wird dann innerhalb der Grenzschicht schnell ansteigen, bestimmt durch die Grenzschichtgleichungen unten.

Die Dicke der thermischen Grenzschicht ist ebenfalls der Abstand vom Körper, bei dem die Temperatur 99% der Freistromtemperatur beträgt. Das Verhältnis der beiden Dicken richtet sich nach der Prandtl-Zahl . Wenn die Prandtl-Zahl 1 ist, sind die beiden Grenzschichten gleich dick. Wenn die Prandtl-Zahl größer als 1 ist, ist die thermische Grenzschicht dünner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht. Wenn die Prandtl-Zahl kleiner als 1 ist, was für Luft bei Standardbedingungen der Fall ist, ist die thermische Grenzschicht dicker als die Geschwindigkeitsgrenzschicht.

Bei Hochleistungskonstruktionen, wie Segelflugzeugen und Verkehrsflugzeugen, wird viel Wert darauf gelegt, das Verhalten der Grenzschicht zu kontrollieren, um den Widerstand zu minimieren. Zwei Effekte sind zu berücksichtigen. Erstens trägt die Grenzschicht durch die Verschiebungsdicke zur effektiven Dicke des Körpers bei, wodurch der Druckwiderstand erhöht wird. Zweitens erzeugen die Scherkräfte an der Oberfläche des Flügels einen Mantelreibungswiderstand .

Bei hohen Reynolds-Zahlen , die für Flugzeuge voller Größe typisch sind, ist es wünschenswert, eine laminare Grenzschicht zu haben. Dies führt zu einer geringeren Mantelreibung aufgrund des charakteristischen Geschwindigkeitsprofils der laminaren Strömung. Die Grenzschicht verdickt sich jedoch unweigerlich und wird weniger stabil, wenn sich die Strömung entlang des Körpers entwickelt, und wird schließlich turbulent , der Prozess, der als Grenzschichtübergang bekannt ist . Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, die Grenzschicht durch eine poröse Oberfläche abzusaugen (siehe Grenzschichtabsaugung ). Dies kann den Luftwiderstand verringern, ist jedoch aufgrund seiner mechanischen Komplexität und der zum Bewegen und Entsorgen der Luft erforderlichen Kraft normalerweise unpraktisch. Natural Laminar Flow (NLF)-Techniken schieben den Grenzschichtübergang nach hinten, indem sie die Tragfläche oder den Rumpf so umformen , dass ihre dickste Stelle mehr nach hinten und weniger dick ist. Dadurch werden die Geschwindigkeiten im vorderen Teil reduziert und die gleiche Reynolds-Zahl bei größerer Länge erreicht.

Bei niedrigeren Reynolds-Zahlen , wie sie bei Modellflugzeugen vorkommen, ist es relativ einfach, eine laminare Strömung aufrechtzuerhalten. Dies ergibt eine niedrige Mantelreibung, die wünschenswert ist. Das gleiche Geschwindigkeitsprofil, das der laminaren Grenzschicht ihre geringe Mantelreibung verleiht, führt jedoch auch zu einer starken Beeinflussung durch ungünstige Druckgradienten . Wenn sich der Druck über dem hinteren Teil der Flügelsehne wieder erholt, neigt eine laminare Grenzschicht dazu, sich von der Oberfläche abzulösen. Eine solche Strömungsablösung verursacht eine starke Erhöhung des Druckwiderstands , da sie die effektive Größe des Flügelabschnitts stark erhöht. In diesen Fällen kann es vorteilhaft sein, die Grenzschicht an einer Stelle vor dem Ort der laminaren Ablösung mit einem Turbulator gezielt in Turbulenzen zu bringen . Das vollere Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Grenzschicht ermöglicht es ihr, den nachteiligen Druckgradienten ohne Trennung aufrechtzuerhalten. Somit wird, obwohl die Mantelreibung erhöht wird, der Gesamtwiderstand verringert. Dies ist das Prinzip hinter dem Grübchen bei Golfbällen sowie bei Wirbelgeneratoren bei Flugzeugen. Es wurden auch spezielle Flügelabschnitte entwickelt, die die Druckrückgewinnung so anpassen, dass eine laminare Trennung reduziert oder sogar eliminiert wird. Dies stellt einen optimalen Kompromiss zwischen Druckwiderstand durch Strömungsablösung und Mantelreibung durch induzierte Turbulenz dar.

Bei der Verwendung von Halbmodellen in Windkanälen wird manchmal eine Peniche verwendet, um die Wirkung der Grenzschicht zu reduzieren oder zu eliminieren.

Grenzschichtgleichungen

Die Herleitung der Grenzschichtgleichungen war einer der wichtigsten Fortschritte in der Fluiddynamik. Mit Hilfe einer Größenordnungsanalyse können die bekannten Navier-Stokes-Gleichungen der viskosen Flüssigkeitsströmung innerhalb der Grenzschicht stark vereinfacht werden. Bemerkenswerterweise wird die Charakteristik der partiellen Differentialgleichungen (PDE) eher parabolisch als die elliptische Form der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichungen erheblich. Durch die Grenzschicht-Approximation wird die Strömung in einen nicht viskosen Anteil (der durch eine Reihe von Verfahren leicht zu lösen ist) und die Grenzschicht, die durch eine leichter zu lösende PDE bestimmt wird, unterteilt . Die Stetigkeits- und Navier-Stokes-Gleichungen für eine zweidimensionale stationäre inkompressible Strömung in kartesischen Koordinaten sind gegeben durch

${\displaystyle {\partial u\over\partial x}+{\partial\upsilon\over\partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u\over\partial x}+\upsilon {\partial u\over\partial y}=-{1 \over\rho }{\partial p\over\partial x}+{\nu }\left({\partial^{2}u\over\partialx^{2}}+{\partial^{2}u\over\partialy^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial\upsilon\over\partial x}+\upsilon {\partial\upsilon\over\partial y}=-{1\over\rho }{\partial p\over\partial y}+{ \nu}\left({\partial^{2}\upsilon\over\partial x^{2}}+{\partial^{2}\upsilon\over\partial y^{2}}\right)}$

Dabei sind und die Geschwindigkeitskomponenten, die Dichte, der Druck und die kinematische Viskosität des Fluids an einem Punkt. ${\displaystyle u}$${\displaystyle\upsilon}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu}$

Die Näherung besagt, dass bei einer ausreichend hohen Reynolds-Zahl die Strömung über eine Oberfläche unterteilt werden kann in einen äußeren, von der Viskosität unbeeinflussten, reibungsfreien Bereich (den Großteil der Strömung) und einen oberflächennahen Bereich, in dem die Viskosität wichtig ist (der Grenzschicht). Seien und strömungs- bzw. querlaufende (Wandnormale) Geschwindigkeiten innerhalb der Grenzschicht. Mittels Skalenanalyse kann gezeigt werden, dass sich die obigen Bewegungsgleichungen innerhalb der Grenzschicht zu ${\displaystyle u}$${\displaystyle\upsilon}$

${\displaystyle u{\partial u\over\partial x}+\upsilon {\partial u\over\partial y}=-{1 \over\rho }{\partial p\over\partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

und wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist (wie Flüssigkeiten unter Standardbedingungen):

${\displaystyle {\partial u\over\partial x}+{\partial\upsilon\over\partial y}=0}$

Die Größenordnungsanalyse geht davon aus, dass die Längenskala in Strömungsrichtung deutlich größer ist als die Längenskala in Querrichtung innerhalb der Grenzschicht. Daraus folgt, dass die Variationen der Eigenschaften in Strömungsrichtung im Allgemeinen viel geringer sind als diejenigen in Richtung der Wandnormalen. Wenden Sie dies auf die Kontinuitätsgleichung an, zeigt , dass die Wandnormalgeschwindigkeit klein ist im Vergleich zur Strömungsgeschwindigkeit. ${\displaystyle\upsilon}$${\displaystyle u}$

Da der statische Druck unabhängig von ist , ist der Druck am Rand der Grenzschicht der Druck in der gesamten Grenzschicht an einer gegebenen stromweisen Position. Der äußere Druck kann durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung erhalten werden . Sei die Fluidgeschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht, wobei und beide parallel sind. Dies ergibt beim Einsetzen des folgenden Ergebnisses ${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2 }u \over \partial y^{2}}}$

Für eine Strömung, bei der sich auch der statische Druck in Strömungsrichtung nicht ändert ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

so bleibt konstant. ${\displaystyle U}$

Daher vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial^{2}u \over \partial y^{2}} }$

Diese Näherungen werden in einer Vielzahl von praktischen Strömungsproblemen von wissenschaftlichem und technischem Interesse verwendet. Die obige Analyse gilt für jede momentane laminare oder turbulente Grenzschicht, wird jedoch hauptsächlich in Studien zur laminaren Strömung verwendet, da die mittlere Strömung auch die momentane Strömung ist, da keine Geschwindigkeitsschwankungen vorhanden sind. Diese vereinfachte Gleichung ist eine parabolische PDE und kann mit einer Ähnlichkeitslösung gelöst werden, die oft als Blasius-Grenzschicht bezeichnet wird .

Transpositionssatz von Prandtl

Prandtl beobachtete, dass aus jeder Lösung, die die Grenzschichtgleichungen erfüllt, eine weitere Lösung konstruiert werden kann, die auch die Grenzschichtgleichungen erfüllt, indem man schreibt ${\displaystyle u(x,y,t),\v(x,y,t)}$${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y +f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

wo ist willkürlich. Da die Lösung aus mathematischer Sicht nicht eindeutig ist, kann der Lösung eine beliebige einer unendlichen Menge von Eigenfunktionen hinzugefügt werden, wie von Stewartson und Paul A. Libby gezeigt . ${\displaystyle f(x)}$

Von Kármán-Impulsintegral

Von Kármán leitete die Integralgleichung 1921 durch Integration der Grenzschichtgleichung über die Grenzschicht her. Die Gleichung lautet

${\displaystyle {\frac {\tau_{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t }}(U\delta_{1})+{\frac {\partial\delta_{2}}{\partial x}}}+{\frac {2\delta_{2}+\delta_{1} }{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

wo

${\displaystyle \tau_{w}=\mu\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x, 0,t),\quad\delta_{1}=\int_{0}^{\infty}\left(1-{\frac{u}{U}}\right)\,dy,\quad\ Delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau_{w}}$ist die Wandschubspannung, ist die Saug-/Injektionsgeschwindigkeit an der Wand, ist die Verschiebungsdicke und ist die Impulsdicke. Aus dieser Gleichung wird die Kármán-Pohlhausen-Approximation abgeleitet.${\displaystyle v_{w}}$${\displaystyle \delta_{1}}$${\displaystyle \delta_{2}}$

Energieintegral

Das Energieintegral wurde von Wieghardt abgeleitet .

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta_{ 1}+\delta_{2})+{\frac{2\delta_{2}}{U^{2}}}{\frac{\partial U}{\partial t}}+{\frac{ 1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta_{3})+{\frac {v_{w}}{U}} }$

wo

${\displaystyle \varepsilon =\int_{0}^{\infty}\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad\delta_ {3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right )\,dy}$

${\displaystyle\varepsilon}$ist die Energiedissipationsrate aufgrund der Viskosität über die Grenzschicht und ist die Energiedicke.${\displaystyle \delta_{3}}$

Von Mises-Transformation

Für stationäre zweidimensionale Grenzschichten führte von Mises eine Transformation ein, die und ( Stromfunktion ) als unabhängige Variablen anstelle von und verwendet und eine abhängige Variable anstelle von verwendet . Die Grenzschichtgleichung wird dann ${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial\chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi}}\,{\frac {\partial^{2}\chi} {\partial\psi^{2}}}}$

Die ursprünglichen Variablen werden wiederhergestellt aus

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi}}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi}},\quad v= u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Diese Transformation wird später von Kármán und HS Tsien auf die kompressible Grenzschicht ausgedehnt .

Croccos Verwandlung

Für eine stationäre zweidimensionale kompressible Grenzschicht führte Luigi Crocco eine Transformation ein, die und als unabhängige Variablen anstelle von und verwendet und eine abhängige Variable (Scherspannung) anstelle von verwendet . Die Grenzschichtgleichung wird dann ${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \tau =\mu\partial u/\partial y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&\mu\rho u{\frac {\partial}{\partial x}}\left({\frac{1}{\tau}}\right)+{\frac { \partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\ frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\ frac {\mu\rho }{\tau^{2}}}{\frac {\partial\tau}{\partial x}}={\frac{1}{u}}{\frac {\partial^{ 2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{ausgerichtet}}}$

Die ursprüngliche Koordinate wird aus wiederhergestellt

${\displaystyle y=\mu\int {\frac {du}{\tau}}.}$

Turbulente Grenzschichten

Die Behandlung turbulenter Grenzschichten ist aufgrund der zeitabhängigen Variation der Strömungseigenschaften weitaus schwieriger. Eine der am weitesten verbreiteten Techniken zur Bekämpfung turbulenter Strömungen ist die Reynolds-Zerlegung . Hier werden die momentanen Strömungseigenschaften in einen Mittelwert und eine schwankende Komponente zerlegt, wobei angenommen wird, dass der Mittelwert der schwankenden Komponente immer Null ist. Die Anwendung dieser Technik auf die Grenzschichtgleichungen ergibt die vollständigen turbulenten Grenzschichtgleichungen, die in der Literatur nicht oft angegeben werden:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y} =-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x ^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over\partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\ overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over\partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y} =-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x ^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over\partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial}{\partial x}}({\ overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Unter Verwendung einer ähnlichen Größenordnungsanalyse können die obigen Gleichungen auf Terme führender Ordnung reduziert werden. Durch die Wahl von Längenskalen für Änderungen in Querrichtung und für Änderungen in Strömungsrichtung mit vereinfacht sich die x-Impulsgleichung zu: ${\displaystyle\delta}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over\partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y} =-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}} ).}$

Diese Gleichung erfüllt nicht die rutschfeste Bedingung an der Wand. Wie Prandtl für seine Grenzschichtgleichungen muss eine neue, kleinere Längenskala verwendet werden, damit der viskose Term in der Impulsgleichung führende Ordnung wird. Durch die Wahl der y- Skala ergibt sich die Impulsgleichung führender Ordnung für diese "innere Grenzschicht" wie folgt: ${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Im Grenzfall der unendlichen Reynolds-Zahl kann gezeigt werden, dass der Druckgradiententerm keinen Einfluss auf den inneren Bereich der turbulenten Grenzschicht hat. Die neue "innere Längenskala" ist eine viskose Längenskala und ist von der Ordnung , wobei sie die Geschwindigkeitsskala der turbulenten Fluktuationen ist, in diesem Fall eine Reibungsgeschwindigkeit . ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$${\displaystyle u_{*}}$

Im Gegensatz zu den laminaren Grenzschichtgleichungen hat das Vorhandensein von zwei Regimen, die von unterschiedlichen Sätzen von Strömungsskalen (dh der inneren und der äußeren Skalierung) bestimmt werden, das Auffinden einer universellen Ähnlichkeitslösung für die turbulente Grenzschicht schwierig und umstritten gemacht. Um eine Ähnlichkeitslösung zu finden, die beide Bereiche der Strömung umfasst, ist es notwendig, die Lösungen aus beiden Bereichen der Strömung asymptotisch abzugleichen. Eine solche Analyse ergibt entweder das sogenannte Log-Gesetz oder das Potenzgesetz .

Der zusätzliche Term in den turbulenten Grenzschichtgleichungen ist als Reynolds-Scherspannung bekannt und a priori unbekannt . Die Lösung der turbulenten Grenzschichtgleichungen erfordert daher die Verwendung eines Turbulenzmodells , das darauf abzielt, die Reynolds-Scherspannung durch bekannte Strömungsvariablen oder Ableitungen auszudrücken. Der Mangel an Genauigkeit und Allgemeingültigkeit solcher Modelle ist ein großes Hindernis bei der erfolgreichen Vorhersage turbulenter Strömungseigenschaften in der modernen Fluiddynamik. ${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

Im wandnahen Bereich existiert eine konstante Spannungsschicht. Aufgrund der Dämpfung der vertikalen Geschwindigkeitsschwankungen in der Nähe der Wand wird der Reynolds-Spannungsterm vernachlässigbar und wir stellen fest, dass ein lineares Geschwindigkeitsprofil existiert. Dies gilt nur für den sehr nahen Wandbereich .

Wärme- und Stofftransport

Der französische Ingenieur André Lévêque beobachtete 1928, dass die konvektive Wärmeübertragung in einer strömenden Flüssigkeit nur durch die Geschwindigkeitswerte sehr nahe an der Oberfläche beeinflusst wird. Bei Strömungen mit großer Prandtl-Zahl findet der Temperatur-Masse-Übergang von der Oberflächen- zur Freistromtemperatur über einen sehr dünnen oberflächennahen Bereich statt. Daher sind die wichtigsten Fluidgeschwindigkeiten diejenigen innerhalb dieses sehr dünnen Bereichs, in dem die Geschwindigkeitsänderung als linear mit dem normalen Abstand von der Oberfläche betrachtet werden kann. Auf diese Weise für

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(yh)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\ links[2-{\frac{y}{h}}\rechts]\;,}$

wann , dann ${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

wobei θ die Tangente der Poiseuille-Parabel ist, die die Wand schneidet. Obwohl Lévêques Lösung spezifisch für die Wärmeübertragung in eine Poiseuille-Strömung war, halfen seine Erkenntnisse anderen Wissenschaftlern, das Problem der thermischen Grenzschicht exakt zu lösen. Schuh beobachtete, dass in einer Grenzschicht u wieder eine lineare Funktion von y ist, dass aber in diesem Fall die Wandtangente eine Funktion von x ist . Er drückte dies mit einer modifizierten Version von Lévêques Profil aus,

${\displaystyle u(y)=\theta(x)y.}$

Dadurch ergibt sich auch für kleine Zahlen eine sehr gute Näherung, so dass nur Flüssigmetalle mit deutlich kleiner 1 so nicht behandelt werden können. Im Jahr 1962 veröffentlichten Kestin und Persen ein Papier, in dem Lösungen für die Wärmeübertragung beschrieben wurden, wenn die thermische Grenzschicht vollständig in der Impulsschicht enthalten ist, und für verschiedene Wandtemperaturverteilungen. Für das Problem einer flachen Platte mit einem Temperatursprung bei , schlagen sie eine Substitution vor, die die parabolische thermische Grenzschichtgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert. Die Lösung dieser Gleichung, die Temperatur an einem beliebigen Punkt in der Flüssigkeit, kann als unvollständige Gammafunktion ausgedrückt werden . Schlichting schlug eine äquivalente Substitution vor, die die thermische Grenzschichtgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert, deren Lösung dieselbe unvollständige Gammafunktion ist. ${\displaystyle Pr}$${\displaystyle Pr}$${\displaystyle x=x_{0}}$

Konvektive Übertragungskonstanten aus der Grenzschichtanalyse

Paul Richard Heinrich Blasius leitete eine exakte Lösung der obigen laminaren Grenzschichtgleichungen ab . Die Dicke der Grenzschicht ist eine Funktion der Reynolds-Zahl für laminare Strömung. ${\displaystyle\delta}$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x\over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle\delta}$= Dicke der Grenzschicht: der Strömungsbereich, in dem die Geschwindigkeit weniger als 99% der Fernfeldgeschwindigkeit beträgt ; ist die Position entlang der semi-unendlichen Platte und ist die Reynolds-Zahl, gegeben durch ( Dichte und dynamische Viskosität).${\displaystyle v_{\infty}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho v_{\infty}x/\mu}$${\displaystyle \rho =}$${\displaystyle \mu =}$

Die Blasius-Lösung verwendet Randbedingungen in dimensionsloser Form:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty}-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty}}={v_{y} \over v_{ \infty}}=0}$     bei     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty}-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty}}=1}$     bei und     ${\displaystyle y=\infty}$${\displaystyle x=0}$

Geschwindigkeitsgrenzschicht (oben, orange) und Temperaturgrenzschicht (unten, grün) teilen aufgrund der Ähnlichkeit in den Momentum-/Energiebilanzen und Randbedingungen eine funktionale Form.

Beachten Sie, dass in vielen Fällen die rutschfeste Randbedingung lautet, dass die Fluidgeschwindigkeit an der Oberfläche der Platte an allen Stellen gleich der Geschwindigkeit der Platte ist. Wenn sich die Platte nicht bewegt, dann . Eine viel kompliziertere Ableitung ist erforderlich, wenn Flüssigkeitsschlupf zugelassen wird. ${\displaystyle v_{S}}$${\displaystyle v_{S}=0}$

Tatsächlich kann die Blasius-Lösung für das laminare Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht über einer semi-infiniten Platte leicht erweitert werden, um thermische und Konzentrationsgrenzschichten für Wärme- bzw. Stoffübertragung zu beschreiben. Anstelle der differentiellen x-Impulsbilanz (Bewegungsgleichung) wird eine ähnlich abgeleitete Energie- und Massenbilanz verwendet:

Energie:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T\over\partial x}+v_{y}{\partial T\over\partial y}={k\over\rho C_{p}}{\partial^{2 }T \over \partial y^{2}}}$

Masse:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2} c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Für die Impulsbilanz kann die kinematische Viskosität als Impulsdiffusivität betrachtet werden . In der Energiebilanz wird dies durch die Temperaturleitfähigkeit und in der Massenbilanz durch die Massenleitfähigkeit ersetzt. Die Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes ist seine Wärmeleitfähigkeit, seine Dichte und seine Wärmekapazität. Der Index AB bezeichnet die Diffusionsfähigkeit von Spezies A, die in Spezies B diffundiert. ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle C_{P}}$

Unter der Annahme, dass diese Gleichungen äquivalent zur Impulsbilanz werden. Somit gilt für Prandtl-Nummer und Schmidt-Nummer direkt die Blasius-Lösung. ${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu}$${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

Dementsprechend verwendet diese Ableitung eine verwandte Form der Randbedingungen, die durch oder ersetzt wird (absolute Temperatur oder Konzentration der Spezies A). Das tiefgestellte S bezeichnet einen Oberflächenzustand. ${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty}-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} \over c_{A\infty}-c_{AS}}=0}$     bei     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty}-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} \over c_{A\infty}-c_{AS}}=1}$     bei und     ${\displaystyle y=\infty}$${\displaystyle x=0}$

Mit der Stromlinienfunktion hat Blasius folgende Lösung für die Schubspannung an der Plattenoberfläche erhalten.

${\displaystyle \tau_{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty} \over x}Re^{ 1/2}}$

Und über die Randbedingungen ist bekannt, dass

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty}-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} \over c_{A\infty}-c_{AS}}}$

Wir erhalten die folgenden Beziehungen für den Wärme-/Massenfluss aus der Oberfläche der Platte

${\displaystyle \left({\partial T\over\partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty}-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty}-c_{AS} \over x}Re^{1 /2}}$

So für ${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta_{T}=\delta_{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

wo sind die Strömungsbereiche, wo und weniger als 99% ihrer Fernfeldwerte sind. ${\displaystyle \delta_{T},\delta_{c}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

Da die Prandtl-Zahl einer bestimmten Flüssigkeit nicht oft eins ist, versuchte der deutsche Ingenieur E. Polhausen, der mit Ludwig Prandtl zusammenarbeitete , diese Gleichungen empirisch zu erweitern, um sie zu beantragen . Auch seine Ergebnisse sind übertragbar . Er fand, dass für eine Prandtl-Zahl größer als 0,6 die Dicke der thermischen Grenzschicht ungefähr gegeben war durch: ${\displaystyle Pr\neq 1}$${\displaystyle Sc}$

Diagramm, das die relative Dicke in der thermischen Grenzschicht gegenüber der Geschwindigkeitsgrenzschicht (in rot) für verschiedene Prandtl-Zahlen zeigt. Für sind beide gleich.${\displaystyle Pr=1}$

${\displaystyle {\delta\over\delta_{T}}=Pr^{1/3}}$          und deshalb          ${\displaystyle {\delta\over\delta_{c}}=Sc^{1/3}}$

Mit dieser Lösung ist es möglich, die konvektiven Wärme- / Stoffübergangskonstanten basierend auf dem Bereich der Grenzschichtströmung zu charakterisieren. Das Fouriersche Leitungsgesetz und das Newtonsche Abkühlungsgesetz werden mit dem oben abgeleiteten Flussterm und der Grenzschichtdicke kombiniert.

${\displaystyle {q\over A}=-k\left({\partial T\over\partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty} )}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Dies ergibt die lokale Konvektionskonstante an einem Punkt auf der semi-unendlichen Ebene. Integrieren über die Länge der Platte ergibt einen Durchschnitt ${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0,664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Nach der Herleitung mit Stoffübergangstermen ( = konvektive Stoffübergangskonstante, = Diffusivität von Spezies A in Spezies B, ) erhält man folgende Lösungen: ${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0,664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Diese Lösungen gelten für Laminar Flow mit einer Prandtl/Schmidt-Zahl größer 0,6.

Schiffsbau

Viele der Prinzipien, die für Flugzeuge gelten, gelten auch für Schiffe, U-Boote und Offshore-Plattformen.

Bei Schiffen handelt es sich im Gegensatz zu Flugzeugen um inkompressible Strömungen, bei denen die Änderung der Wasserdichte vernachlässigbar ist (ein Druckanstieg nahe 1000 kPa führt zu einer Änderung von nur 2–3 kg/m ³ ). Dieses Gebiet der Fluiddynamik wird Hydrodynamik genannt. Ein Schiffsingenieur konstruiert zuerst für Hydrodynamik und erst später für Festigkeit. Die Entwicklung, der Abbau und die Trennung der Grenzschicht werden kritisch, da die hohe Viskosität von Wasser hohe Scherspannungen erzeugt. Eine weitere Folge der hohen Viskosität ist der Slipstream-Effekt, bei dem sich das Schiff wie ein Speer bewegt, der mit hoher Geschwindigkeit durch einen Schwamm reißt.

Grenzschichtturbine

Dieser Effekt wurde in der Tesla-Turbine ausgenutzt, die 1913 von Nikola Tesla patentiert wurde . Sie wird als schaufellose Turbine bezeichnet, weil sie den Grenzschichteffekt nutzt und nicht wie bei einer herkömmlichen Turbine ein auf die Schaufeln auftreffendes Fluid. Grenzschichtturbinen werden auch als Kohäsionsturbine, schaufellose Turbine und Prandtl-Schichtturbine (nach Ludwig Prandtl ) bezeichnet.

Vorhersage der transienten Grenzschichtdicke in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse

Durch die Verwendung der Gleichungen für transiente und viskose Kräfte für eine zylindrische Strömung können Sie die Dicke der vorübergehenden Grenzschicht vorhersagen, indem Sie die Womersley-Zahl ( ) ermitteln. ${\displaystyle N_{w}}$

Transiente Kraft = ${\displaystyle \rho vw}$

Viskose Kraft = ${\displaystyle {\mu v\over\delta_{1}^{2}}}$

Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta_{1}^{2}}}$

Auflösen nach Delta ergibt:

${\displaystyle \delta_{1}={\sqrt {\mu\over\rho w}}={\sqrt {\v\over\w}}}$

In dimensionsloser Form:

${\displaystyle {L\over\delta_{1}}={L{\sqrt {w\over\v}}}=N_{w}}$

wobei = Womersley-Zahl; = Dichte; = Geschwindigkeit;  ?; = Länge der transienten Grenzschicht; = Viskosität; = charakteristische Länge. ${\displaystyle N_{w}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=}$${\displaystyle \delta_{1}}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle L}$

Vorhersage konvektiver Strömungsverhältnisse an der Grenzschicht in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse

Durch Verwendung der konvektiven und viskosen Kraftgleichungen an der Grenzschicht für eine zylindrische Strömung können Sie die konvektiven Strömungsbedingungen an der Grenzschicht vorhersagen, indem Sie die dimensionslose Reynolds-Zahl ( ) ermitteln. ${\displaystyle Re}$

Konvektionskraft: ${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Viskose Kraft: ${\displaystyle {\mu v \over \delta_{2}^{2}}}$

Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta_{2}^{2}}}$

Auflösen nach Delta ergibt:

${\displaystyle \delta_{2}={\sqrt {\mu L \over\rho v}}}$

In dimensionsloser Form:

${\displaystyle {L\over\delta_{2}}={\sqrt {\rho vL\over\mu}}={\sqrt {Re}}}$

wobei = Reynolds-Zahl; = Dichte; = Geschwindigkeit; = Länge der konvektiven Grenzschicht; = Viskosität; = charakteristische Länge. ${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \delta_{2}}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle L}$

Grenzschichtaufnahme

Grenzschicht Einnahme verspricht eine Erhöhung der Flugzeugkraftstoffeffizienz mit einer hinteren montierten propulsor die langsame Einnahme Rumpfgrenzschicht und Wieder Erregen die wake Widerstand zu reduzieren und zu verbessern Vortriebswirkungsgrade . Um bei verzerrtem Luftstrom zu arbeiten, ist der Lüfter schwerer und seine Effizienz verringert, und seine Integration ist eine Herausforderung. Es wird in Konzepten wie der Aurora D8 oder der französischen Forschungsagentur Onera 's Nova verwendet und spart 5% im Reiseflug durch die Aufnahme von 40% der Rumpfgrenzschicht .

Airbus präsentierte auf dem ICAS- Kongress im September 2018 das Nautilius-Konzept: Um die gesamte Rumpfgrenzschicht aufzunehmen und gleichzeitig die azimutale Strömungsverzerrung zu minimieren , teilt sich der Rumpf in zwei Spindeln mit Lüftern mit einem Bypassverhältnis von 13-18:1 auf . Der Antriebswirkungsgrad beträgt bis zu 90% wie bei gegenläufigen offenen Rotoren mit kleineren, leichteren, weniger komplexen und lauten Motoren. Es könnte den Kraftstoffverbrauch um mehr als 10 % im Vergleich zu einem üblichen Unterflügel-Motor mit einem Bypass-Verhältnis von 15:1 senken.

Siehe auch

• Grenzschichttrennung
• Grenzschichtdicke
• Dicke und Form der thermischen Grenzschicht
• Grenzschichtabsaugung
• Grenzschichtkontrolle
• Grenzflächenmikrofon
• Blasius-Grenzschicht
• Grenzschicht Falkner–Skan
• Ekman-Schicht
• Planetare Grenzschicht
• Störungstheorie
• Logarithmisches Gesetz der Wand
• Formfaktor (Grenzschichtfluss)
• Scherspannung
• Oberflächenschicht

Verweise

• Chanson, H. (2009). Angewandte Hydrodynamik: Eine Einführung in ideale und reale Fluidströmungen . CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Niederlande, 478 Seiten. ISBN 978-0-415-49271-3.
• AD Polyanin und VF Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – London, 2004. ISBN  1-58488-355-3
• AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin und DA Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN  0-415-27237-8
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Grenzschichttheorie" 8. Auflage Springer 2004 ISBN  3-540-66270-7
• John D. Anderson, Jr., "Ludwig Prandtl's Boundary Layer" , Physik heute , Dezember 2005
• Anderson, John (1992). Grundlagen der Aerodynamik (2. Aufl.). Toronto: SSCHAND. S. 711-714. ISBN 0-07-001679-8.
• H. Tennekes und JL Lumley , "A First Course in Turbulence", The MIT Press, (1972).
• Vorlesungen über Turbulenzen für das 21. Jahrhundert von William K. George

Externe Links

• National Science Digital Library – Grenzschicht
• Moore, Franklin K., „ Verschiebungseffekt einer dreidimensionalen Grenzschicht “. NACA-Bericht 1124, 1953.
• Benson, Tom, " Grenzschicht ". NASA Glenn Lerntechnologien.
• Grenzschichttrennung
• Grenzschichtgleichungen: Exakte Lösungen – von EqWorld
• Jones, TV GRENZSCHICHT-WÄRMEÜBERTRAGUNG