Verzweigen zufälliger Spaziergang - Branching random walk

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein verzweigter Zufallslauf ein stochastischer Prozess , der sowohl das Konzept eines zufälligen Spaziergangs als auch eines Verzweigungsprozesses verallgemeinert . Bei jeder Generation (einem Punkt diskreter Zeit ) ist der Wert eines verzweigten zufälligen Spaziergangs eine Menge von Elementen, die sich in einem linearen Raum befinden , wie z. B. der realen Linie . Jedes Element einer bestimmten Generation kann in der nächsten Generation mehrere Nachkommen haben. Der Standort eines Nachkommen ist die Summe aus dem Standort seines Elternteils und einer Zufallsvariablen .

Beispiel

Ein Beispiel für einen verzweigten Zufallslauf kann konstruiert werden, bei dem der Verzweigungsprozess genau zwei Nachkommen für jedes Element erzeugt, einen binären verzweigten Zufallslauf. Unter der Anfangsbedingung, dass X ϵ  = 0 ist, nehmen wir an, dass X 1 und X 2 die beiden Kinder von X ϵ sind . Ferner nehmen wir an, dass es sich um unabhängige N (0, 1) Zufallsvariablen handelt. Folglich sind in Generation 2 die Zufallsvariablen X 1,1 und X 1,2 jeweils die Summe von X 1 und einer N (0, 1) Zufallsvariablen. In der nächsten Generation sind die Zufallsvariablen X 1,2,1 und X 1,2,2 jeweils die Summe von X 1,2 und einer N (0, 1) Zufallsvariablen. Die gleiche Konstruktion erzeugt die Werte zu aufeinanderfolgenden Zeiten.

Jede Linie in dem unendlichen "Stammbaum", der durch diesen Prozess erzeugt wird, wie die Sequenz X ϵ , X 1 , X 1,2 , X 1,2,2 , ..., bildet einen herkömmlichen Zufallslauf.

Siehe auch