Byers-Yang-Theorem - Byers–Yang theorem

In der Quantenmechanik besagt das Byers-Yang-Theorem , dass alle physikalischen Eigenschaften eines doppelt verbundenen Systems (eines Rings), das einen magnetischen Fluss durch die Öffnung einschließt, im Fluss mit der Periode periodisch sind (das magnetische Flussquantum ). Der Satz wurde zuerst von Nina Byers und Chen-Ning Yang (1961) aufgestellt und bewiesen und von Felix Bloch (1970) weiterentwickelt. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi _ {0} = hc / e}$

Beweis

Ein eingeschlossener Fluss entspricht einem Vektorpotential innerhalb des Rings mit einem Linienintegral entlang eines Pfades , der einmal zirkuliert. Man kann versuchen , dieses Vektorpotential durch die beseitigen Eichtransformation${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle A (r)}$${\ displaystyle \ oint _ {C} A \ cdot dl = \ Phi}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ psi '(\ {r_ {n} \}) = \ exp \ left ({\ frac {ie} {\ hbar}} \ sum _ {j} \ chi (r_ {j}) \ right) \ psi (\ {r_ {n} \})}$

der Wellenfunktion von Elektronen an Positionen . Die Eichentransformierte Wellenfunktion erfüllt die gleiche Schrödinger-Gleichung wie die ursprüngliche Wellenfunktion, jedoch mit einem anderen magnetischen Vektorpotential . Es wird angenommen, dass die Elektronen an allen Punkten innerhalb des Rings ein Magnetfeld von Null erfahren , wobei das Feld nur innerhalb der Öffnung ungleich Null ist (wo keine Elektronen vorhanden sind). Es ist dann immer möglich, eine Funktion so zu finden, dass innerhalb des Rings, so dass man schließen würde, dass das System mit eingeschlossenem Fluss einem System mit null eingeschlossenem Fluss äquivalent ist. ${\ displaystyle \ psi (\ {r_ {n} \})}$${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle A '(r) = A (r) + \ nabla \ chi (r)}$${\ displaystyle B (r) = \ nabla \ times A (r) = 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ chi (r)}$${\ displaystyle A '(r) = 0}$${\ displaystyle \ Phi}$

Für jede beliebige ist die Eichentransformierte Wellenfunktion jedoch nicht mehr einwertig: Die Phase der Änderungen um ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ psi '}$

${\ displaystyle \ delta \ phi = (e / \ hbar) \ oint _ {C} \ nabla \ chi (r) \ cdot dl = - (e / \ hbar) \ oint _ {C} A (r) \ cdot dl = -2 \ pi \ Phi / \ Phi _ {0}}$

Immer wenn eine der Koordinaten entlang des Rings zu ihrem Startpunkt bewegt wird. Das Erfordernis einer einwertigen Wellenfunktion beschränkt daher die Eichentransformation auf Flüsse , die ein ganzzahliges Vielfaches von sind . Systeme, die einen Fluss einschließen, der sich um ein Vielfaches von unterscheidet, sind äquivalent. ${\ displaystyle r_ {n}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi _ {0}}$${\ displaystyle h / e}$

Anwendungen

Einen Überblick über die physikalischen Effekte des Byers-Yang-Theorems gibt Yoseph Imry . Dazu gehören der Aharonov-Bohm-Effekt , der Dauerstrom in normalen Metallen und die Flussquantisierung in Supraleitern.

Verweise