Augustin-Louis Cauchy - Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy
Augustin-Louis Cauchy 1901.jpg
Cauchy um 1840. Lithographie von Zéphirin Belliard nach einem Gemälde von Jean Roller.
Geboren ( 1789-08-21 )21. August 1789
Ist gestorben 23. Mai 1857 (1857-05-23)(67 Jahre)
Staatsangehörigkeit Französisch
Alma Mater cole Nationale des Ponts et Chaussées
Bekannt für Kontinuumsmechanik
Mathematische Analysis
Gradientenabstieg
Theorem der impliziten Funktionen
Zwischenwertsatz
Spektralsatz
Grenzwert (Mathematik)
Vollständige Liste anzeigen
Ehepartner Aloise de Bure
Kinder Marie Françoise Alicia, Marie Mathilde
Auszeichnungen Großer Preis der L'Académie Royale des Sciences
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik , Physik
Institutionen cole Centrale du Panthéon
cole Nationale des Ponts et Chaussées
École Polytechnique
Doktoranden Francesco Faà di Bruno
Viktor Bunyakovsky

Baron Augustin-Louis Cauchy FRS FRSE ( / k ʃ i / ; Französisch:  [oɡystɛ LWI koʃi] ; 21. August 1789 - 23. Mai 1857) war ein Französisch Mathematiker , Ingenieur und Physiker , die wegweisende Beiträge geleistet zu mehreren Zweigen der Mathematik , einschließlich mathematischer Analyse und Kontinuumsmechanik . Er war einer der ersten, der Theoreme der Infinitesimalrechnung aufgestellt und rigoros bewiesen hat , wobei er das heuristische Prinzip der Allgemeinheit der Algebra früherer Autoren zurückwies. Er begründete fast im Alleingang die komplexe Analysis und das Studium von Permutationsgruppen in der abstrakten Algebra .

Als profunder Mathematiker hatte Cauchy großen Einfluss auf seine Zeitgenossen und Nachfolger; Hans Freudenthal stellte fest: "Für Cauchy wurden mehr Konzepte und Theoreme benannt als für jeden anderen Mathematiker ( allein in der Elastizität gibt es sechzehn Konzepte und Theoreme für Cauchy)." Cauchy war ein produktiver Schriftsteller; Er verfasste rund 800 Forschungsartikel und fünf komplette Lehrbücher zu verschiedenen Themen der Mathematik und mathematischen Physik .

Biografie

Jugend und Bildung

Cauchy war der Sohn von Louis François Cauchy (1760–1848) und Marie-Madeleine Desestre. Cauchy hatte zwei Brüder: Alexandre Laurent Cauchy (1792–1857), der 1847 Präsident einer Kammer des Berufungsgerichts und 1849 Richter des Kassationsgerichts wurde, und Eugene François Cauchy (1802–1877), a Publizist, der auch mehrere mathematische Werke verfasste.

Cauchy heiratete 1818 Aloise de Bure. Sie war eine enge Verwandte des Verlegers, der die meisten Werke von Cauchy veröffentlichte. Sie hatten zwei Töchter, Marie Françoise Alicia (1819) und Marie Mathilde (1823).

Cauchys Vater war hoher Beamter der Pariser Polizei des Ancien Régime , verlor diese Position jedoch durch die Französische Revolution (14. Juli 1789), die einen Monat vor Augustin-Louis' Geburt ausbrach. Die Familie Cauchy überlebte die Revolution und die folgende Schreckensherrschaft (1793–94), indem sie nach Arcueil flüchtete , wo Cauchy von seinem Vater seine erste Ausbildung erhielt. Nach der Hinrichtung von Robespierre (1794) konnte die Familie sicher nach Paris zurückkehren. Dort fand Louis-François Cauchy 1800 eine neue bürokratische Stelle und stieg schnell auf. Als Napoleon Bonaparte an die Macht kam (1799), wurde Louis-François Cauchy weiter befördert und wurde Generalsekretär des Senats, der direkt unter Laplace arbeitete (der heute besser für seine Arbeiten zur mathematischen Physik bekannt ist). Der berühmte Mathematiker Lagrange war auch ein Freund der Familie Cauchy.

Auf Anraten von Lagrange wurde Augustin-Louis im Herbst 1802 an der École Centrale du Panthéon , der besten Sekundarschule von Paris, im Herbst 1802 eingeschrieben. der junge und ehrgeizige Cauchy gewann als brillanter Student viele Preise in Latein und Geisteswissenschaften. Trotz dieser Erfolge wählte Augustin-Louis eine Ingenieurlaufbahn und bereitete sich auf die Aufnahmeprüfung an der cole Polytechnique vor .

1805 belegte er bei dieser Prüfung den zweiten Platz von 293 Bewerbern und wurde zugelassen. Einer der Hauptzwecke dieser Schule war es, zukünftigen Zivil- und Militäringenieuren eine wissenschaftliche und mathematische Ausbildung auf hohem Niveau zu vermitteln. Die Schule funktionierte unter militärischer Disziplin, was dem jungen und frommen Cauchy einige Anpassungsschwierigkeiten bereitete. Trotzdem beendete er 1807 im Alter von 18 Jahren die Polytechnique und ging auf die École des Ponts et Chaussées (Schule für Brücken und Straßen). Er schloss sein Studium des Bauingenieurwesens mit der höchsten Auszeichnung ab.

Ingenieurtage

Nach dem Schulabschluss 1810 nahm Cauchy eine Stelle als Jungingenieur in Cherbourg an, wo Napoleon einen Marinestützpunkt bauen wollte. Hier blieb Augustin-Louis drei Jahre lang und wurde mit dem Projekt Ourcq Canal und Saint-Cloud Bridge beauftragt und arbeitete im Hafen von Cherbourg. Obwohl er einen sehr beschäftigten Managerjob hatte, fand er immer noch Zeit, drei mathematische Manuskripte vorzubereiten, die er bei der Première Classe (Erste Klasse) des Institut de France einreichte . Cauchys erste beiden Manuskripte (über Polyeder ) wurden akzeptiert; der dritte (über Richtungen von Kegelschnitten ) wurde abgelehnt.

Im September 1812, jetzt 23 Jahre alt, kehrte Cauchy nach Paris zurück, nachdem er an Überarbeitung erkrankt war. Ein weiterer Grund für seine Rückkehr in die Hauptstadt war, dass er das Interesse an seinem Ingenieurberuf verlor und sich immer mehr von der abstrakten Schönheit der Mathematik angezogen fühlte; in Paris hätte er viel bessere Chancen, eine Stelle im Bereich Mathematik zu finden. Als sich sein Gesundheitszustand im Jahr 1813 verbesserte, beschloss Cauchy, nicht nach Cherbourg zurückzukehren. Obwohl er formell seine Position als Ingenieur behielt, wurde er von der Gehaltsliste des Marineministeriums in das Innenministerium versetzt. Die nächsten drei Jahre war Augustin-Louis hauptsächlich unbezahlt krankgeschrieben und verbrachte seine Zeit sehr fruchtbar mit Mathematik (zu den verwandten Themen symmetrische Funktionen , die symmetrische Gruppe und die Theorie der algebraischen Gleichungen höherer Ordnung). Er versuchte, in die First Class des Institut de France aufgenommen zu werden, scheiterte jedoch zwischen 1813 und 1815 bei drei verschiedenen Gelegenheiten. 1815 wurde Napoleon bei Waterloo besiegt, und der neu eingesetzte Bourbonenkönig Ludwig XVIII. nahm die Restaurierung in die Hand. Die Académie des Sciences wurde im März 1816 neu gegründet; Lazare Carnot und Gaspard Monge wurden aus politischen Gründen aus dieser Akademie entfernt, und der König ernannte Cauchy, um einen von ihnen zu ersetzen. Die Reaktion von Cauchys Kollegen war hart; sie empfanden die Aufnahme seiner Mitgliedschaft in der Akademie als eine Frechheit, und Cauchy schuf sich dadurch viele Feinde in wissenschaftlichen Kreisen.

Professor an der cole Polytechnique

Im November 1815 beantragte Louis Poinsot , außerordentlicher Professor an der École Polytechnique, aus gesundheitlichen Gründen von seinem Lehrauftrag freigestellt zu werden. Cauchy war zu diesem Zeitpunkt ein aufstrebender mathematischer Star, der eine Professur sicherlich verdiente. Einer seiner großen Erfolge zu dieser Zeit war der Beweis von Fermat ‚s Polygonalzahl Satz . Aber auch die Tatsache, dass Cauchy als sehr loyal zu den Bourbonen bekannt war, half ihm zweifellos, Nachfolger von Poinsot zu werden. Er kündigte schließlich seinen Ingenieurberuf und erhielt einen Einjahresvertrag für den Mathematikunterricht an Studenten des zweiten Studienjahres der cole Polytechnique. 1816 wurde diese bonapartistische, nichtreligiöse Schule reorganisiert und mehrere liberale Professoren entlassen; der reaktionäre Cauchy wurde zum ordentlichen Professor befördert.

Als Cauchy 28 Jahre alt war, lebte er noch bei seinen Eltern. Sein Vater hielt es für höchste Zeit, dass sein Sohn heiratete; er fand für ihn eine geeignete Braut, Aloïse de Bure, fünf Jahre jünger als er. Die Familie de Bure war Drucker und Buchhändler und veröffentlichte die meisten Werke von Cauchy. Aloïse und Augustin heirateten am 4. April 1818 mit großem römisch-katholischen Pomp in der Kirche Saint-Sulpice. 1819 wurde die erste Tochter des Paares, Marie Françoise Alicia, geboren, 1823 die zweite und letzte Tochter, Marie Mathilde.

Das konservative politische Klima, das bis 1830 anhielt, passte perfekt zu Cauchy. 1824 starb Ludwig XVIII und wurde von seinem noch reaktionäreren Bruder Karl X. abgelöst . In diesen Jahren war Cauchy sehr produktiv und veröffentlichte eine wichtige mathematische Abhandlung nach der anderen. Er erhielt Querbestellungen am Collège de France und an der Faculté des sciences de Paris  [ fr ] .

Im Exil

Im Juli 1830 kam es in Frankreich zur Julirevolution . Karl X. floh aus dem Land und wurde vom Nicht-Bourbonen-König Louis-Philippe (aus dem Hause Orléans ) abgelöst. In der Nähe von Cauchys Wohnung in Paris tobten Ausschreitungen, an denen uniformierte Studenten der École Polytechnique aktiv teilnahmen.

Diese Ereignisse markierten einen Wendepunkt in Cauchys Leben und einen Bruch in seiner mathematischen Produktivität. Cauchy, erschüttert vom Sturz der Regierung und von einem tiefen Hass auf die an die Macht kommenden Liberalen, verließ Paris, um ins Ausland zu gehen und seine Familie zurückzulassen. Er verbrachte eine kurze Zeit in Freiburg in der Schweiz, wo er sich entscheiden musste, ob er dem neuen Regime den erforderlichen Treueid leisten würde. Er weigerte sich, dies zu tun, und verlor infolgedessen alle seine Positionen in Paris, mit Ausnahme seiner Mitgliedschaft in der Akademie, für die kein Eid erforderlich war. 1831 ging Cauchy in die italienische Stadt Turin und nahm dort nach einiger Zeit ein Angebot des Königs von Sardinien (der Turin und die umliegende Region Piemont regierte) auf einen eigens für ihn geschaffenen Lehrstuhl für theoretische Physik an. Von 1832 bis 1833 lehrte er in Turin. 1831 wurde er zum ausländischen Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften und im folgenden Jahr zum ausländischen Ehrenmitglied der Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften gewählt .

Im August 1833 verließ Cauchy Turin und ging nach Prag , um wissenschaftlicher Lehrer des dreizehnjährigen Herzogs Henri d'Artois (1820–1883) von Bordeaux , des im Exil lebenden Kronprinzen und Enkel von Karl X. zu werden. Als Professor der École Als Polytechniker war Cauchy ein notorisch schlechter Dozent gewesen, der ein Verständnisniveau annahm, das nur wenige seiner besten Studenten erreichen konnten, und seine ihm zugeteilte Zeit mit zu viel Material vollgestopft hatte. Der junge Herzog hatte weder Geschmack noch Talent für Mathematik oder Naturwissenschaften, also passten Schüler und Lehrer perfekt zusammen. Obwohl Cauchy seine Mission sehr ernst nahm, tat er dies mit großer Ungeschicklichkeit und mit überraschendem Mangel an Autorität gegenüber dem Herzog.

Cauchy war während seiner Bauingenieurzeit einmal kurz für die Reparatur einiger Pariser Abwasserkanäle verantwortlich gewesen, und er machte den Fehler, dies seinem Schüler gegenüber zu erwähnen; mit großer Bosheit ging der junge Herzog herum und sagte, Herr Cauchy habe seine Karriere in der Pariser Kanalisation begonnen. Seine Rolle als Tutor dauerte an, bis der Herzog im September 1838 achtzehn Jahre alt wurde. Cauchy forschte während dieser fünf Jahre kaum, während der Herzog eine lebenslange Abneigung gegen Mathematik entwickelte. Das einzig Gute, das aus dieser Episode herauskam, war Cauchys Beförderung zum Baron , ein Titel, auf den Cauchy großen Wert legte. 1834 zogen seine Frau und seine beiden Töchter nach Prag, und Cauchy war nach vier Jahren im Exil endlich wieder mit seiner Familie vereint.

Letzten Jahren

Cauchy kehrte Ende 1838 nach Paris und seine Stelle an der Akademie der Wissenschaften zurück. Er konnte seine Lehrtätigkeit nicht wiedererlangen, da er sich immer noch weigerte, einen Treueid zu leisten.

Cauchy im späteren Leben

Im August 1839 wurde im Bureau des Longitudes eine Stelle frei . Dieses Büro hatte eine gewisse Ähnlichkeit mit der Akademie; zum Beispiel hatte sie das Recht, ihre Mitglieder zu kooptieren. Außerdem glaubte man, dass die Mitglieder des Präsidiums den Treueeid „vergessen“ könnten, obwohl sie formell im Gegensatz zu den Akademikern verpflichtet waren, ihn abzulegen. Das Bureau des Longitudes wurde 1795 gegründet, um das Problem der Positionsbestimmung auf See zu lösen – hauptsächlich die Längskoordinate , da der Breitengrad leicht aus dem Sonnenstand bestimmt wird. Da man glaubte, die Position auf See könne am besten durch astronomische Beobachtungen bestimmt werden, hatte sich das Bureau zu einer Organisation entwickelt, die einer Akademie für astronomische Wissenschaften ähnelte.

Im November 1839 wurde Cauchy ins Präsidium gewählt und stellte sofort fest, dass die Sache mit dem Eid nicht so leicht zu entbehren war. Ohne seinen Eid weigerte sich der König, seine Wahl zu genehmigen. Cauchy war vier Jahre lang in der Position, gewählt, aber nicht bestätigt zu werden; dementsprechend war er kein formelles Mitglied des Präsidiums, erhielt keine Vergütung, konnte nicht an Sitzungen teilnehmen und keine Papiere einreichen. Trotzdem weigerte sich Cauchy, einen Eid zu leisten; Er fühlte sich jedoch loyal genug, um seine Forschungen auf die Himmelsmechanik auszurichten . 1840 legte er der Akademie ein Dutzend Papiere zu diesem Thema vor. Er beschrieb und illustrierte auch die vorzeichenbehaftete Zifferndarstellung von Zahlen, eine Innovation, die 1727 in England von John Colson vorgestellt wurde . Die verworrene Mitgliedschaft im Bureau dauerte bis Ende 1843, als Cauchy schließlich durch Poinsot ersetzt wurde.

Während des gesamten 19. Jahrhunderts kämpfte das französische Bildungssystem mit der Trennung von Kirche und Staat. Nachdem die katholische Kirche die Kontrolle über das öffentliche Bildungssystem verloren hatte, suchte sie einen eigenen Bildungszweig und fand in Cauchy einen treuen und illustren Verbündeten. Er verlieh sein Prestige und Wissen an die École Normale Écclésiastique , eine von Jesuiten betriebene Schule in Paris, um Lehrer für ihre Colleges auszubilden. Er war auch an der Gründung des Institut Catholique beteiligt . Der Zweck dieses Instituts war es, den Auswirkungen des Fehlens einer katholischen Hochschulausbildung in Frankreich entgegenzuwirken. Diese Aktivitäten machten Cauchy bei seinen Kollegen nicht beliebt, die im Großen und Ganzen die aufklärerischen Ideale der Französischen Revolution unterstützten. Als 1843 ein Lehrstuhl für Mathematik am Collège de France frei wurde, bewarb sich Cauchy um diesen, erhielt aber nur drei von 45 Stimmen.

Das Jahr 1848 war das Jahr der Revolution in ganz Europa; Revolutionen brachen in zahlreichen Ländern aus, beginnend in Frankreich. König Louis-Philippe, der befürchtete, das Schicksal Ludwigs XVI. zu teilen, floh nach England. Der Treueeid wurde abgeschafft, und der Weg zu einer akademischen Anstellung war für Cauchy endlich frei. Am 1. März 1849 wurde er als Professor für mathematische Astronomie wieder an die Faculté de Sciences berufen. Nach politischen Unruhen während des ganzen Jahres 1848 entschied sich Frankreich, eine Republik zu werden, unter der Präsidentschaft von Louis Napoleon Bonaparte , dem Neffen von Napoleon Bonaparte und Sohn von Napoleons Bruder, der als erster König von Holland eingesetzt worden war. Bald (Anfang 1852) machte sich der Präsident zum Kaiser von Frankreich und nahm den Namen Napoleon III an .

Nicht unerwartet kam in bürokratischen Kreisen die Idee auf, dass es sinnvoll wäre, von allen Staatsfunktionären, auch von Universitätsprofessoren, wieder einen Treueeid zu verlangen. Diesmal konnte ein Kabinettsminister den Kaiser überzeugen, Cauchy vom Eid zu befreien. Cauchy blieb bis zu seinem Tod im Alter von 67 Jahren Professor an der Universität. Er erhielt die Letzten Riten und starb am 23. Mai 1857 um 4 Uhr morgens an einer Bronchialerkrankung.

Sein Name ist einer der 72 Namen, die auf dem Eiffelturm eingraviert sind .

Arbeit

Frühe Arbeit

Das Genie von Cauchy wurde in seiner einfachen Lösung des Apollonius-Problems – der Beschreibung eines Kreises , der drei gegebene Kreise berührt –, das er 1805 entdeckte, seiner Verallgemeinerung der Eulerschen Formel auf Polyeder im Jahr 1811 und in mehreren anderen eleganten Problemen veranschaulicht . Wichtiger ist seine Abhandlung über Wellenausbreitung, die im Jahr 1816 Cauchy Schriften bedeckt bemerkenswerte Themen , darunter den Grand Prix der Französisch Akademie der Wissenschaften erhalten: die Theorie der Serie, wo er den Begriff der entwickelte Konvergenz und viele der grundlegenden Formeln entdeckte für q-Reihe . In der Theorie der Zahlen und komplexen Größen definierte er als erster komplexe Zahlen als Paare reeller Zahlen. Er schrieb auch über Gruppen- und Substitutionstheorie, Funktionentheorie, Differentialgleichungen und Determinanten.

Wellentheorie, Mechanik, Elastizität

In der Lichttheorie arbeitete er an der Fresnelschen Wellentheorie und an der Dispersion und Polarisation des Lichts. Er trug auch zur Forschung in der Mechanik bei , indem er den Begriff der Kontinuität geometrischer Verschiebungen für das Prinzip der Kontinuität der Materie einsetzte. Er schrieb über das Gleichgewicht von Stäben und elastischen Membranen und über Wellen in elastischen Medien. Er führte eine 3 × 3 - symmetrische Matrix von Zahlen , die nun als bekannt ist Cauchy Spannungstensors . In Bezug auf die Elastizität hat er die Spannungstheorie begründet , und seine Ergebnisse sind fast so wertvoll wie die von Siméon Poisson .

Zahlentheorie

Andere bedeutende Beiträge umfassen den ersten Beweis des Polygonalzahlensatzes von Fermat .

Komplexe Funktionen

Cauchy ist vor allem für seine einhändige Entwicklung der komplexen Funktionentheorie bekannt . Der erste von Cauchy bewiesene zentrale Satz, der heute als Cauchys Integralsatz bekannt ist , war der folgende:

wobei f ( z ) eine komplexwertige Funktion ist, die auf und innerhalb der sich nicht selbst schneidenden geschlossenen Kurve C (Kontur) holomorph ist, die in der komplexen Ebene liegt . Das Konturintegral wird entlang der Kontur C genommen . Die Rudimente dieses Satzes finden sich bereits in einem Papier, das der 24-jährige Cauchy am 11. August 1814 der Académie des Sciences (damals noch "Erste Klasse des Instituts" genannt) vorlegte 1825 veröffentlicht. Das Papier von 1825 wird von vielen als Cauchys wichtigster Beitrag zur Mathematik angesehen.

Im Jahr 1826 gab Cauchy eine formale Definition eines Rückstands einer Funktion. Dieses Konzept betrifft Funktionen, die Pole haben – isolierte Singularitäten, dh Punkte, an denen eine Funktion ins positive oder negative Unendliche geht. Wenn die komplexwertige Funktion f ( z ) in der Umgebung einer Singularität a entwickelt werden kann, as

wobei φ( z ) analytisch ist (dh wohlerzogen ohne Singularitäten), dann hat f einen Pol der Ordnung n im Punkt a . Wenn n = 1 ist, heißt der Pol einfach. Den Koeffizienten B 1 nennt Cauchy den Rest der Funktion f bei a . Wenn f bei nicht-singulär ist ein dann der Rest von f ist Null a . Offensichtlich ist der Rest im Fall eines einfachen Pols gleich

wobei wir B 1 durch die moderne Notation des Residuums ersetzt haben.

Im Jahr 1831 reichte Cauchy in Turin zwei Arbeiten bei der Akademie der Wissenschaften von Turin ein. Im ersten schlug er die Formel vor, die heute als Cauchysche Integralformel bekannt ist.

wobei f ( z ) analytisch auf C und innerhalb des durch die Kontur C begrenzten Bereichs ist und die komplexe Zahl a irgendwo in diesem Bereich liegt. Das Konturintegral wird gegen den Uhrzeigersinn genommen. Offensichtlich hat der Integrand bei z = a einen einfachen Pol . In der zweiten Arbeit stellte er den Residuensatz vor ,

wobei die Summe über alle n Pole von f ( z ) auf und innerhalb der Kontur C ist . Diese Ergebnisse von Cauchy bilden noch heute den Kern der komplexen Funktionstheorie, wie sie heute Physiker und Elektroingenieure lehrt. Zeitgenossen Cauchys ignorierten seine Theorie lange Zeit, da sie sie für zu kompliziert hielten. Erst in den 1840er Jahren begann die Theorie auf Resonanz zu stoßen, wobei Pierre Alphonse Laurent neben Cauchy der erste Mathematiker war, der einen wesentlichen Beitrag leistete (seine Laurent-Reihe wurde 1843 veröffentlicht).

Cours d'Analyse

Die Titelseite eines Lehrbuchs von Cauchy.

In seinem Buch Cours d'Analyse betonte Cauchy die Bedeutung der Strenge in der Analyse. Strenge bedeutete in diesem Fall die Ablehnung des Prinzips der Allgemeinheit der Algebra (von früheren Autoren wie Euler und Lagrange) und seine Ersetzung durch Geometrie und Infinitesimale . Judith Grabiner schrieb, Cauchy sei „der Mann, der ganz Europa die rigorose Analyse lehrte“. Das Buch wird häufig als der erste Ort bezeichnet, an dem Ungleichungen und Argumente in die Infinitesimalrechnung eingeführt wurden. Cauchy definierte hier die Stetigkeit wie folgt: Die Funktion f(x) ist zwischen den gegebenen Grenzen stetig bezüglich x, wenn zwischen diesen Grenzen ein unendlich kleines Inkrement in der Variablen immer ein unendlich kleines Inkrement in der Funktion selbst erzeugt.

M. Barany behauptet, dass die École gegen Cauchys besseres Wissen die Aufnahme infinitesimaler Methoden vorgeschrieben habe. Gilain merkt an, dass Cauchy , als der Teil des Lehrplans, der der Analyse von Algébrique gewidmet war, 1825 reduziert wurde, darauf bestand, das Thema der stetigen Funktionen (und damit auch der infinitesimalen Zahlen) an den Anfang der Differentialrechnung zu setzen. Laugwitz (1989) und Benis-Sinaceur (1973) weisen darauf hin, dass Cauchy noch 1853 in seinen eigenen Forschungen Infinitesimals verwendet.

Cauchy gab eine explizite Definition einer infinitesimalen Zahl im Sinne einer gegen Null strebenden Folge. Über Cauchys Begriff der „unendlich kleinen Mengen“ wurde eine Vielzahl von Literatur geschrieben, die argumentiert, dass sie von den üblichen „epsilontischen“ Definitionen bis hin zu den Begriffen der Nicht-Standard-Analyse führen . Der Konsens ist, dass Cauchy die wichtigen Ideen weggelassen oder implizit belassen hat, um die genaue Bedeutung der von ihm verwendeten unendlich kleinen Mengen zu verdeutlichen.

Taylors Theorem

Er war der erste, der den Satz von Taylor rigoros bewies und seine bekannte Form des Rests festlegte. Für seine Studenten der École Polytechnique verfasste er ein Lehrbuch (siehe Abbildung), in dem er die grundlegenden Theoreme der mathematischen Analysis so rigoros wie möglich entwickelte. In diesem Buch hat er die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Grenze in der noch gelehrten Form gegeben. Auch der bekannte Cauchy-Test für absolute Konvergenz stammt aus diesem Buch: Cauchy-Kondensationstest . 1829 definierte er erstmals in einem anderen Lehrbuch eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen. Trotzdem verwendeten Cauchys eigene Forschungsarbeiten oft intuitive, nicht rigorose Methoden; so wurde einer seiner Sätze von Abel einem "Gegenbeispiel" ausgesetzt , das später durch die Einführung des Begriffs der einheitlichen Stetigkeit fixiert wurde .

Argumentprinzip, Stabilität

In einem 1855, zwei Jahre vor Cauchys Tod, veröffentlichten Aufsatz diskutierte er einige Theoreme, von denen einer dem „ Argument-Prinzip “ in vielen modernen Lehrbüchern zur komplexen Analysis ähnelt . In modernen Lehrbüchern zur Regelungstheorie wird das Cauchy-Argumentprinzip recht häufig verwendet, um das Nyquist-Stabilitätskriterium abzuleiten , mit dem die Stabilität von Gegenkopplungsverstärkern und Gegenkopplungsregelsystemen vorhergesagt werden kann. Daher hat Cauchys Arbeit einen starken Einfluss sowohl auf die reine Mathematik als auch auf die praktische Technik.

Veröffentlichte Werke

Leçons sur le calcul différentiel , 1829

Cauchy war sehr produktiv, in der Anzahl der Veröffentlichungen nur nach Leonhard Euler . Es dauerte fast ein Jahrhundert, um alle seine Schriften in 27 großen Bänden zu sammeln:

  • Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy publiées sous la Direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique (27 Bände) an der Wayback Machine (archiviert am 24. Juli 2007)(Paris: Gauthier -Villars et fils, 1882–1974)
  • uvres complètes d'Augustin Cauchy . Académie des sciences (Frankreich). 1882–1938 – über das Ministère de l'éducation nationale.

Seine größten Beiträge zur mathematischen Wissenschaft sind in den strengen Methoden enthalten, die er einführte; diese sind hauptsächlich in seinen drei großen Abhandlungen enthalten:

Zu seinen weiteren Werken zählen:

Politik und religiöse Überzeugungen

Augustin-Louis Cauchy wuchs im Haus eines überzeugten Royalisten auf. Dies führte dazu, dass sein Vater während der Französischen Revolution mit der Familie nach Arcueil floh . Ihr Leben dort während dieser Zeit war anscheinend hart; Augustin-Louis' Vater, Louis François, sprach davon, während dieser Zeit von Reis, Brot und Crackern zu leben. Ein Absatz aus einem undatierten Brief von Louis François an seine Mutter in Rouen lautet:

Wir hatten nie mehr als ein halbes Pfund (230 g) Brot – und manchmal nicht einmal das. Dies ergänzen wir mit einem kleinen Vorrat an harten Crackern und Reis, der uns zugeteilt wird. Ansonsten verstehen wir uns ganz gut, das ist das Wichtigste und zeigt, dass der Mensch mit wenig auskommt. Ich sollte Ihnen sagen, dass ich für meinen Kinderbrei noch ein bisschen feines Mehl habe, hergestellt aus Weizen, den ich auf meinem eigenen Land angebaut habe. Ich hatte drei Scheffel, und ich habe auch ein paar Pfund Kartoffelstärke . Es ist schneeweiß und auch sehr gut, besonders für ganz kleine Kinder. Auch er wurde auf meinem eigenen Land angebaut.

Auf jeden Fall erbte er den überzeugten Royalismus seines Vaters und weigerte sich daher, nach dem Sturz Karls X.

Er war ein ebenso überzeugter Katholik und Mitglied der Gesellschaft des Heiligen Vinzenz von Paul . Er hatte auch Verbindungen zur Gesellschaft Jesu und verteidigte sie an der Akademie, wenn dies politisch unklug war. Sein Eifer für seinen Glauben könnte dazu geführt haben, dass er sich während seiner Krankheit um Charles Hermite kümmerte und Hermite dazu brachte, ein treuer Katholik zu werden. Es inspirierte Cauchy auch, während der Großen Hungersnot von Irland im Namen der Iren zu plädieren .

Sein Royalismus und sein religiöser Eifer machten ihn auch umstritten, was zu Schwierigkeiten mit seinen Kollegen führte. Er fühlte sich wegen seines Glaubens schlecht behandelt, aber seine Gegner meinten, er provoziere die Menschen absichtlich, indem er sie wegen religiöser Angelegenheiten beschimpfte oder die Jesuiten verteidigte, nachdem sie unterdrückt worden waren. Niels Henrik Abel nannte ihn einen "eingebildeten Katholiken" und fügte hinzu, er sei "wahnsinnig und gegen ihn kann man nichts machen", lobte ihn aber gleichzeitig als Mathematiker. Cauchys Ansichten waren unter Mathematikern weithin unbeliebt, und als Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja vor ihm zum Lehrstuhl für Mathematik ernannt wurde, waren er und viele andere der Meinung, dass seine Ansichten die Ursache waren. Als Libri beschuldigt wurde, Bücher gestohlen zu haben, wurde er von Joseph Liouville und nicht von Cauchy ersetzt, was zu einer Kluft zwischen Liouville und Cauchy führte. Ein weiterer Streit mit politischen Untertönen betraf Jean-Marie Constant Duhamel und einen Anspruch auf unelastische Schocks. Cauchy wurde später von Jean-Victor Poncelet gezeigt , dass er falsch lag.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Zitate

Quellen

Weiterlesen

Externe Links