Cauchy-Problem - Cauchy problem

Ein Cauchy-Problem in der Mathematik fragt nach der Lösung einer partiellen Differentialgleichung , die bestimmte Bedingungen erfüllt, die auf einer Hyperfläche im Gebiet gegeben sind. Ein Cauchy-Problem kann ein Anfangswertproblem oder ein Randwertproblem sein (siehe hierzu auch Cauchy-Randbedingung ). Es ist nach Augustin-Louis Cauchy benannt .

Formale Aussage

Für eine auf R ⁿ⁺¹ definierte partielle Differentialgleichung und eine glatte Mannigfaltigkeit S ⊂ R ⁿ⁺¹ der Dimension n ( S heißt Cauchy-Fläche ), besteht das Cauchy-Problem darin, die unbekannten Funktionen der Differentialgleichung bezüglich der unabhängige Variablen , die erfüllt ${\displaystyle u_{1},\dots,u_{N}}$${\displaystyle t,x_{1},\dots,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t ,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial^{k}u_{j}}{\partial t^ {k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots\right)\\&{\text{für }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}< n_{j}\end{ausgerichtet}}}$

unter der Bedingung, für einen gewissen Wert , ${\displaystyle t=t_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi_{i}^{(k)}(x_{1},\dots , x_{n})\quad {\text{for}}k=0,1,2,\dots,n_{i}-1}$

wobei gegebene Funktionen auf der Oberfläche definiert sind (gemeinsam bekannt als die Cauchy-Daten des Problems). Die Ableitung nullter Ordnung bedeutet, dass die Funktion selbst spezifiziert ist. ${\displaystyle \phi_{i}^{(k)}(x_{1},\dots,x_{n})}$${\displaystyle S}$

Cauchy-Kowalevski-Theorem

Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja besagt , dass , wenn alle Funktionen sind analytisch in einer gewissen Umgebung des Punktes , und wenn alle die Funktionen analytisch in einer gewissen Umgebung des Punktes sind , dann ist die Cauchyproblem eine einzigartige analytische Lösung in einer gewissen Umgebung des Punktes hat${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots,\phi_{j,k_{0},k_{1},\dots, k_{n}}^{0},\dots)}$${\displaystyle \phi_{j}^{(k)}}$${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots,x_{n}^{0})}$${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots,x_{n}^{0})}$ .

Siehe auch

• Cauchy-Randbedingung
• Cauchy Horizont

Verweise

Externe Links

• Cauchy-Problem bei MathWorld .