Cauchy-Sequenz - Cauchy sequence

${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

${\displaystyle m>\left({\sqrt {n}}+d\right)^{2}}$

Der Nutzen von Cauchy-Folgen liegt in der Tatsache, dass in einem vollständigen metrischen Raum (in dem alle diese Folgen bekanntermaßen gegen einen Grenzwert konvergieren ) das Konvergenzkriterium nur von den Termen der Folge selbst abhängt, im Gegensatz zur Definition von Konvergenz, die sowohl den Grenzwert als auch die Terme verwendet. Dies wird oft in Algorithmen , sowohl theoretischen als auch angewandten, ausgenutzt , bei denen relativ einfach ein iterativer Prozess gezeigt werden kann, um eine Cauchy-Folge zu erzeugen, die aus den Iterationen besteht und somit eine logische Bedingung wie die Termination erfüllt.

Verallgemeinerungen von Cauchy-Folgen in abstrakteren gleichförmigen Räumen existieren in Form von Cauchy-Filtern und Cauchy-Netzen .

In reellen Zahlen

Eine Sequenz

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots}$$

${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

Für jede reelle Zahl r bildet die Folge abgeschnittener Dezimalentwicklungen von r eine Cauchy-Folge. Zum Beispiel, wenn diese Sequenz (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) ist. Die

${\displaystyle r=\pi,}$

${\displaystyle 10^{1-m}}$

${\displaystyle\varepsilon.}$

Modul der Cauchy-Konvergenz

Wenn eine Folge in der Menge ist, dann ist ein

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$

${\displaystyle X,}$

${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$

${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Jede Folge mit einem Cauchy-Konvergenzmodul ist eine Cauchy-Folge. Die Existenz eines Modulus für eine Cauchy-Folge folgt aus der Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen (sei die kleinstmögliche in der Definition der Cauchy-Folge, angenommen sei ). Die Existenz eines Modulus folgt auch aus dem Prinzip der

${\displaystyle\alpha(k)}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle 1/k}$

${\displaystyle\alpha(k)=k}$

${\displaystyle \alpha(k)=2^{k}}$

Die Moduli der Cauchy-Konvergenz werden von konstruktiven Mathematikern verwendet, die keine Form der Auswahl verwenden möchten. Die Verwendung eines Moduls der Cauchy-Konvergenz kann sowohl Definitionen als auch Sätze in der konstruktiven Analysis vereinfachen. Reguläre Cauchy-Sequenzen wurden von Errett Bishop in seinen Foundations of Constructive Analysis und von Douglas Bridges in einem nicht-konstruktiven Lehrbuch ( ISBN  978-0-387-98239-7 ) verwendet.

In einem metrischen Raum

Da die Definition einer Cauchy-Folge nur metrische Konzepte beinhaltet, ist es einfach, sie auf jeden metrischen Raum X zu verallgemeinern . Dazu wird der Absolutwert durch den Abstand (wobei

${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$

${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$

${\displaystyle x_{m}}$

${\displaystyle x_{n}.}$

Formal ist für einen metrischen Raum eine Folge ${\displaystyle (X,d),}$

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots}$$

${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

Grob gesagt rücken die Terme der Folge immer näher zusammen, was nahelegt, dass die Folge einen Grenzwert in X haben sollte . Nichtsdestotrotz existiert eine solche Grenze nicht immer innerhalb von X : Die Eigenschaft eines Raums, dass jede Cauchy-Folge im Raum konvergiert, wird Vollständigkeit genannt und wird weiter unten beschrieben.

Vollständigkeit

Ein metrischer Raum ( X , d ), in dem jede Cauchy-Folge gegen ein Element von X konvergiert, heißt vollständig .

Beispiele

Die reellen Zahlen sind vollständig unter der durch den üblichen Absolutwert induzierten Metrik, und eine der Standardkonstruktionen der reellen Zahlen beinhaltet Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen . In dieser Konstruktion ist jede Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen mit einem bestimmten Schwanzverhalten – also jede Klasse von Folgen, die sich beliebig nahe kommen – eine reelle Zahl.

Eine ziemlich andere Art von Beispiel bietet ein metrischer Raum X, der die diskrete Metrik hat (wo zwei beliebige Punkte im Abstand 1 voneinander sind). Jede Cauchy-Folge von Elementen von X muss über einen Fixpunkt hinaus konstant sein und konvergiert gegen den sich schließlich wiederholenden Term.

Nicht-Beispiel: rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig (für die übliche Entfernung): Es gibt Folgen von rationalen

${\displaystyle\mathbb{Q}}$

${\displaystyle \mathbb{R}}$

${\displaystyle\mathbb{Q}.}$

${\displaystyle\mathbb{R},}$

• Die durch definierte Folge besteht aus rationalen Zahlen (1, 3/2, 17/12,...), was aus der Definition klar hervorgeht; es konvergiert jedoch gegen die

${\displaystyle x\neq 0,}$

Nicht-Beispiel: offenes Intervall

Das offene Intervall in der Menge der reellen Zahlen mit einem normalen Abstand ist kein vollständiger Raum: gibt es eine Folge darin, die Cauchy (für beliebig kleine Distanz gebunden alle Bedingungen des Sitzes in dem Intervall), jedoch konvergiert nicht in — sein 'Limit', Nummer 0, gehört nicht zum Leerzeichen${\displaystyle X=(0,2)}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle x_{n}=1/n}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n>1/d}$${\displaystyle (0,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Andere Eigenschaften

• Jede konvergente Folge (mit dem Grenzwert s , sagen wir) ist eine Cauchy-Folge, da bei einer gegebenen reellen Zahl jenseits eines Fixpunktes jeder Term der Folge innerhalb des Abstands von

${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{N}}$

${\displaystyle M+1}$

${\displaystyle x_{N}}$

Diese letzten beiden Eigenschaften liefern zusammen mit dem Satz von Bozen-Weierstrass einen Standardbeweis für die Vollständigkeit der reellen Zahlen, der eng mit dem Satz von Bozen-Weierstrass und dem Satz von Heine-Borel verwandt ist . Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen ist beschränkt, hat also nach Bozen–Weierstrass eine konvergente Teilfolge, ist also selbst konvergent. Dieser Beweis der Vollständigkeit der reellen Zahlen verwendet implizit das Axiom der

Eine der üblichen Veranschaulichungen des Vorteils, mit Cauchy-Folgen arbeiten zu können und von der Vollständigkeit Gebrauch zu machen, liefert die Betrachtung der Summation einer unendlichen Reihe reeller Zahlen (oder allgemeiner von Elementen eines vollständigen normierten linearen Raums) . oder Banach-Raum ). Eine solche Reihe gilt genau dann als konvergent, wenn die Folge der

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}x_{n}}$

${\displaystyle (s_{m})}$

${\displaystyle s_{m}=\sum_{n=1}^{m}x_{n}.}$

${\displaystyle p>q,}$

$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Wenn eine

${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle (f(x_{n}))}$

${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle (y_{n})}$

${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$

${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Verallgemeinerungen

In topologischen Vektorräumen

Es gibt auch ein Konzept der Cauchy-Folge für einen topologischen Vektorraum : Wähle eine

${\displaystyle X}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle V\in B,}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$

${\displaystyle V.}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle d,}$

In topologischen Gruppen

Da die topologische Vektorraumdefinition der Cauchy-Folge nur eine kontinuierliche "Subtraktions"-Operation erfordert, kann man sie genauso gut im Kontext einer topologischen Gruppe sagen : Eine Folge in einer topologischen Gruppe ist eine Cauchy-Folge, wenn für jede offene Umgebung der

${\displaystyle (x_{k})}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle m,n>N}$

${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$

${\displaystyle G.}$

Wie bei der Konstruktion der Vervollständigung eines metrischen Raums kann man weiterhin die binäre Relation auf Cauchy-Folgen darin definieren und sind äquivalent, wenn für jede offene

${\displaystyle G}$

${\displaystyle (x_{k})}$

${\displaystyle (y_{k})}$

${\displaystyle U}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle m,n>N}$

${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$

${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$

${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U'' }$

${\displaystyle U'}$

${\displaystyle U''}$

${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

In Gruppen

Es gibt auch ein Konzept der Cauchy - Folge in einer Gruppe : Es wäre eine stetige Abnahme der seine

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H=(H_{r})}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H}$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Technisch gesehen ist dies dasselbe wie eine topologische Gruppen-Cauchy-Folge für eine bestimmte Wahl der Topologie auf derjenigen, für die eine lokale Basis ist. ${\displaystyle G,}$${\displaystyle H}$

Die Menge solcher Cauchy-Folgen bildet eine Gruppe (für das komponentenweise Produkt), und die Menge der Nullfolgen (s.th. ) ist eine normale Untergruppe von Die

${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$

${\displaystyle C.}$

${\displaystyle C/C_{0}}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H.}$

Man kann dann zeigen, dass diese Vervollständigung isomorph zum inversen Limes der Folge ist${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Ein in der Zahlentheorie und algebraischer Geometrie bekanntes Beispiel für diese Konstruktion ist die Konstruktion der

${\displaystyle p}$

${\displaystyle p.}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle H_{r}}$

${\displaystyle p_{r}.}$

Wenn eine

${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{r}}$

${\displaystyle (G/H)_{H},}$

${\displaystyle H}$

In einem hyperrealen Kontinuum

Eine reelle Folge hat eine natürliche

${\displaystyle\langle u_{n}:n\in\mathbb{N}\rangle}$

${\displaystyle u_{H}}$

${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

wobei "st" die Standardteilfunktion ist .

Cauchy Vervollständigung der Kategorien

Krause (2018) führte einen Begriff der Cauchy-Vervollständigung einer Kategorie ein . Angewandt auf (die Kategorie, deren Objekte rationale Zahlen sind, und es gibt genau dann einen Morphismus von

${\displaystyle\mathbb{Q}}$

${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle \mathbb{R}}$

Siehe auch

• Konvergenzmodi (annotierter Index)
• Dedekind-Schnitt

Verweise

Weiterlesen

• Bourbaki, Nicolas (1972). Kommutative Algebra (englische Übersetzung Hrsg.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00644-8.
• Krause, Henning (2018), Vollkommene Komplexe vervollständigen : Mit Anhängen von Tobias Barthel und Bernhard Keller , arXiv : 1805.10751 , Bibcode : 2018arXiv180510751B
• Lang, Serge (1993), Algebra (Dritte Aufl.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Spivak, Michael (1994). Kalkül (3. Aufl.). Berkeley, CA: Veröffentlichen oder zugrunde gehen. ISBN 0-914098-89-6. Archiviert vom Original am 17.05.2007 . Abgerufen am 26.05.2007 .
• Troelstra, AS ; D. van Dalen . Konstruktivismus in der Mathematik: Eine Einführung . (für Anwendungen in der konstruktiven Mathematik)

Externe Links

• "Grundlagenfolge" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]