Ladungsdichte - Charge density

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v T e

Im Elektromagnetismus ist die Ladungsdichte die Menge der elektrischen Ladung pro Längen- , Oberflächen- oder Volumeneinheit . Volumenladungsdichte (symbolisiert durch den griechischen Buchstaben ρ) ist die Ladungsmenge pro Volumeneinheit, gemessen in dem SI - System in Coulombs pro Kubik meter (C⋅m ^-3 ), an jedem Punkt in einem Volumen. Die Oberflächenladungsdichte (σ) ist die Ladungsmenge pro Flächeneinheit, gemessen in Coulomb pro Quadratmeter (C⋅m ⁻² ), an jedem Punkt einer Oberflächenladungsverteilung auf einer zweidimensionalen Oberfläche. Die lineare Ladungsdichte (λ) ist die Ladungsmenge pro Längeneinheit, gemessen in Coulomb pro Meter (C⋅m ⁻¹ ), an jedem Punkt einer Linienladungsverteilung. Die Ladungsdichte kann entweder positiv oder negativ sein, da die elektrische Ladung entweder positiv oder negativ sein kann.

Wie die Massendichte kann die Ladungsdichte mit der Position variieren. In der klassischen elektromagnetischen Theorie wird die Ladungsdichte als kontinuierliche skalare Positionsfunktion idealisiert , wie eine Flüssigkeit, und , , und werden normalerweise als kontinuierliche Ladungsverteilungen angesehen , obwohl alle realen Ladungsverteilungen aus diskreten geladenen Teilchen bestehen. Aufgrund der Erhaltung der elektrischen Ladung kann sich die Ladungsdichte in jedem Volumen nur ändern, wenn ein elektrischer Ladungsstrom in oder aus dem Volumen fließt. Dies wird durch eine Kontinuitätsgleichung ausgedrückt, die die Änderungsrate der Ladungsdichte und die Stromdichte verknüpft . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Da die gesamte Ladung von subatomaren Teilchen getragen wird , die als Punkte idealisiert werden können, ist das Konzept einer kontinuierlichen Ladungsverteilung eine Näherung, die auf kleinen Längenskalen ungenau wird. Eine Ladungsverteilung besteht letztendlich aus einzelnen geladenen Teilchen, die durch Bereiche getrennt sind, die keine Ladung enthalten. Zum Beispiel besteht die Ladung in einem elektrisch geladenen Metallobjekt aus Leitungselektronen, die sich zufällig im Kristallgitter des Metalls bewegen . Statische Elektrizität wird durch Oberflächenladungen verursacht, die aus Ionen auf der Oberfläche von Objekten bestehen, und die Raumladung in einer Vakuumröhre besteht aus einer Wolke freier Elektronen, die sich zufällig im Raum bewegen. Die Ladungsträgerdichte in einem Leiter entspricht der Anzahl beweglicher Ladungsträger ( Elektronen , Ionen usw.) pro Volumeneinheit. Die Ladungsdichte an jedem Punkt ist gleich der Ladungsträgerdichte multipliziert mit der Elementarladung auf den Partikeln. Da jedoch die Elementarladung eines Elektrons so klein ist (1.6⋅10 ⁻¹⁹ C) und es in einem makroskopischen Volumen so viele davon gibt ( ein Kubikzentimeter Kupfer enthält etwa 10 ²² Leitungselektronen), lautet die kontinuierliche Näherung sehr genau bei Anwendung auf makroskopische Volumina und sogar mikroskopische Volumina oberhalb des Nanometerbereichs.

Auf atomare Skalen aufgrund des Unbestimmtheitsprinzips der Quantenmechanik , ein geladenes Teilchen nicht hat eine genaue Position , sondern wird durch eine dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung , so dass die Ladung eines einzelnen Teilchens wird nicht in einem Punkt konzentriert , sondern ist ‚verschmiert‘ in Raum und verhält sich wie eine echte kontinuierliche Ladungsverteilung. Dies ist die Bedeutung von "Ladungsverteilung" und "Ladungsdichte", die in der Chemie und chemischen Bindung verwendet wird . Ein Elektron wird durch eine Wellenfunktion dargestellt, deren Quadrat proportional zur Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron an einem beliebigen Punkt im Raum zu finden, also proportional zur Ladungsdichte des Elektrons an jedem Punkt. In Atomen und Molekülen ist die Ladung der Elektronen in Wolken verteilt, die Orbitale genannt werden, die das Atom oder Molekül umgeben und für chemische Bindungen verantwortlich sind . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Definitionen

Kontinuierliche Gebühren

Kontinuierliche Ladungsverteilung. Die Volumenladungsdichte ρ ist die Ladungsmenge pro Volumeneinheit (dreidimensional), Oberflächenladungsdichte σ ist die Menge pro Flächeneinheit (Kreis) mit äußerer Einheitsnormale n̂ , d ist das Dipolmoment zwischen zwei Punktladungen, die Volumendichte davon ist die Polarisationsdichte P . Der Positionsvektor r ist ein Punkt zur Berechnung des elektrischen Feldes ; r′ ist ein Punkt im geladenen Objekt.

Es folgen die Definitionen für kontinuierliche Ladungsverteilungen.

Die lineare Ladungsdichte ist das Verhältnis einer infinitesimalen elektrischen Ladung d Q (SI-Einheit: C ) zu einem infinitesimalen Linienelement ,

${\displaystyle \lambda_{q}={\frac {dQ}{d\ell}}\,,\quad}$

ähnlich verwendet die Oberflächenladungsdichte ein Oberflächenelement d S

${\displaystyle \sigma_{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,\quad}$

und die Volumenladungsdichte verwendet ein Volumenelement d V

${\displaystyle \rho_{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,\quad}$

Integrieren der Definitionen ergibt die Gesamtladung Q einer Region gemäß dem Linienintegral der linearen Ladungsdichte λ _q ( r ) über eine Linie oder 1d Kurve C ,

${\displaystyle Q=\int\limits_{L}\lambda_{q}(\mathbf{r})\,d\ell}$

ähnlich ein Flächenintegral der Flächenladungsdichte σ _q ( r ) über eine Fläche S ,

${\displaystyle Q=\int\limits_{S}\sigma_{q}(\mathbf{r})\,dS}$

und ein Volumenintegral der Volumenladungsdichte ρ _q ( r ) über ein Volumen V ,

${\displaystyle Q=\int\limits_{V}\rho_{q}(\mathbf{r})\,dV}$

wobei der Index q klarstellen soll, dass die Dichte für die elektrische Ladung gilt, nicht für andere Dichten wie Massendichte , Zahlendichte , Wahrscheinlichkeitsdichte , und Konflikte mit den vielen anderen Verwendungen von λ, σ, ρ im Elektromagnetismus für Wellenlänge , spezifischen elektrischen Widerstand und . vermeiden Leitfähigkeit .

Im Kontext des Elektromagnetismus werden die Indizes der Einfachheit halber normalerweise weggelassen: λ, σ, ρ. Andere Notationen können sein: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V usw.

Die Gesamtladung geteilt durch Länge, Oberfläche oder Volumen ergibt die durchschnittliche Ladungsdichte:

${\displaystyle \langle \lambda_{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell}}\,,\quad \langle\sigma_{q}\rangle ={\frac {Q}{S} }\,,\quad\langle\rho_{q}\rangle ={\frac{Q}{V}}\,.}$

Kostenlose, gebundene und vollständige Gebühr

In dielektrischen Materialien kann die Gesamtladung eines Objekts in "freie" und "gebundene" Ladungen unterteilt werden.

Gebundene Ladungen bauen elektrische Dipole als Reaktion auf ein angelegtes elektrisches Feld E auf und polarisieren andere nahe gelegene Dipole, die dazu neigen, sie auszurichten, die Nettoladungsakkumulation aus der Orientierung der Dipole ist die gebundene Ladung. Sie werden gebunden genannt, weil sie nicht entfernt werden können: Im dielektrischen Material sind die Ladungen die an die Kerne gebundenen Elektronen .

Freie Ladungen sind die Überschussladungen, die sich in ein elektrostatisches Gleichgewicht bewegen können , dh wenn sich die Ladungen nicht bewegen und das resultierende elektrische Feld zeitunabhängig ist, oder elektrische Ströme darstellen .

Gesamtladungsdichten

Bezogen auf die Volumenladungsdichten beträgt die Gesamtladungsdichte :

${\displaystyle \rho =\rho_{f}+\rho_{b}\,.}$

zu den Oberflächenladungsdichten:

${\displaystyle \sigma =\sigma_{f}+\sigma_{b}\,.}$

wobei die tiefgestellten Indizes "f" und "b" jeweils "frei" und "gebunden" bezeichnen.

Gebundene Gebühr

Die gebundene Oberflächenladung ist die an der Oberfläche des Dielektrikums angehäufte Ladung , gegeben durch das Dipolmoment senkrecht zur Oberfläche:

${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat{n}} }{|\mathbf{s} |}}}$

wobei s der Abstand zwischen den Punktladungen , welche die Dipol ist, ist das elektrische Dipolmoment , ist der Einheitsnormalenvektor zu der Oberfläche. ${\displaystyle\mathbf{d}}$${\displaystyle\mathbf{\hat{n}}}$

Unter infinitesimals :

${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

und Division durch das differentielle Oberflächenelement dS ergibt die gebundene Oberflächenladungsdichte:

${\displaystyle \sigma_{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat{n}} ={\frac{d\mathbf{d}}{dV}}\cdot\mathbf{\hat{n}} =\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat{n} } \,.}$

wobei P die Polarisationsdichte ist , dh die Dichte der elektrischen Dipolmomente innerhalb des Materials, und dV das differentielle Volumenelement ist .

Nach dem Divergenzsatz ist die gebundene Volumenladungsdichte im Material

${\displaystyle q_{b}=\iiiint \rho_{b}dV=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat{n}}dS=-\iiiint\nabla\cdot\mathbf{P}dV}$

somit:

${\displaystyle \rho_{b}=-\nabla\cdot\mathbf{P}\,.}$

Das negative Vorzeichen entsteht durch das entgegengesetzte Vorzeichen der Ladungen in den Dipolen, ein Ende befindet sich im Volumen des Objekts, das andere an der Oberfläche.

Eine strengere Herleitung ist unten angegeben.

Ableitung gebundener Oberflächen- und Volumenladungsdichten aus internen Dipolmomenten (gebundene Ladungen)

Das elektrische Potential aufgrund eines Dipolmoments d ist: ${\displaystyle \varphi ={\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}}{\frac {(\mathbf{r} -\mathbf{r}')\cdot\mathbf{d}} {|\mathbf{r} -\mathbf{r} '|^{3}}}}$ Für eine kontinuierliche Verteilung lässt sich das Material in unendlich viele infinitesimale Dipole zerlegen ${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$ wobei dV = d 3 r′ das Volumenelement ist, also das Potential das Volumenintegral über dem Objekt: ${\displaystyle \varphi ={\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}}\iiiint {\frac {(\mathbf{r} -\mathbf{r}')\cdot\mathbf{P } }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$ Schon seit ${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{ \frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ wobei ∇′ die Steigung in den r′- Koordinaten ist, ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf { r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$ Teilweise integrieren ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\ mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$ mit dem Divergenzsatz: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1} {4\pi \epsilon _{0}}}\iiiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3 }\mathbf{r'}}$ die sich in das Potential der Oberflächenladung ( Oberflächenintegral ) und das Potential aufgrund der Volumenladung (Volumenintegral) aufteilt: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma_{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0} }}\iiiint {\frac {\rho_{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$ das ist ${\displaystyle\sigma_{b}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,,\quad\rho_{b}=-\nabla\cdot\mathbf{P}}$

Freie Ladungsdichte

Die freie Ladungsdichte dient als sinnvolle Vereinfachung im Gaußschen Gesetz für Elektrizität; das Volumenintegral davon ist die freie Ladung in einem geladenen Gegenstand umschlossen - gleich den Nettofluss der elektrischen Verschiebungsfeld D aus dem Objekt austretende:

${\displaystyle \Phi_{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle\mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat{n}} dS=\iiiint\rho_{f}dV}$

Siehe Maxwell-Gleichungen und konstitutive Beziehung für weitere Details.

Homogene Ladungsdichte

Für den Spezialfall einer homogenen Ladungsdichte ρ ₀ , ortsunabhängig, dh konstant über den gesamten Bereich des Materials, vereinfacht sich die Gleichung zu:

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{0}.}$

Der Beweis dafür ist unmittelbar. Beginnen Sie mit der Definition der Ladung eines beliebigen Volumens:

${\displaystyle Q=\int\limits_{V}\rho_{q}(\mathbf{r})\,dV.}$

Dann ist nach Definition der Homogenität ρ _q ( r ) eine Konstante, die mit ρ _{q , 0 bezeichnet wird} (um zwischen konstanter und nicht konstanter Dichte zu unterscheiden), und so können die Eigenschaften eines Integrals aus dem Integral gezogen werden, was In:

${\displaystyle Q=\rho_{q,0}\int\limits_{V}\,dV=\rho_{0}V}$

so,

${\displaystyle Q=V\cdot\rho_{q,0}.}$

Die äquivalenten Beweise für lineare Ladungsdichte und Oberflächenladungsdichte folgen den gleichen Argumenten wie oben.

Diskrete Gebühren

Für eine einzelne Punktladung q an der Position r ₀ innerhalb einer Region des 3D-Raums R , wie ein Elektron , kann die Volumenladungsdichte durch die Dirac-Deltafunktion ausgedrückt werden :

${\displaystyle \rho_{q}(\mathbf{r})=q\delta (\mathbf{r} -\mathbf{r}_{0})}$

wobei r die Position zur Berechnung der Ladung ist.

Wie immer ist das Integral der Ladungsdichte über eine Raumregion die in dieser Region enthaltene Ladung. Die Deltafunktion hat für jede Funktion f die Siebeigenschaft :

${\displaystyle \int_{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\ mathbf {r} _{0})}$

so dass die Delta - Funktion stellt sicher , dass , wenn die Ladungsdichte über integriert ist , R , die Gesamtladung in R ist Q :

${\displaystyle Q=\int_{R}d^{3}\mathbf{r}\,\rho_{q}=\int_{R}d^{3}\mathbf{r}\,q\ delta (\mathbf{r} -\mathbf{r}_{0})=q\int_{R}d^{3}\mathbf{r}\,\delta (\mathbf{r} -\mathbf{ r} _{0})=q}$

Dies kann auf N diskrete punktförmige Ladungsträger erweitert werden. Die Ladungsdichte des Systems an einem Punkt r ist eine Summe der Ladungsdichten für jede Ladung q _i am Ort r _i mit i = 1, 2, ..., N :

${\displaystyle \rho_{q}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N}\q_{i}\delta (\mathbf{r} -\mathbf{r}_{ ich})\,\!}$

Die Deltafunktion für jede Ladung q _i in der Summe, δ ( r − r _i ), stellt sicher, dass das Integral der Ladungsdichte über R die Gesamtladung in R liefert :

${\displaystyle Q=\int_{R}d^{3}\mathbf {r} \sum_{i=1}^{N}\q_{i}\delta (\mathbf{r} -\mathbf{ r}_{i})=\sum_{i=1}^{N}\q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf{r}\delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_{i})=\sum_{i=1}^{N}\q_{i}}$

Wenn alle Ladungsträger die gleiche Ladung q haben (für Elektronen q = − e , die Elektronenladung ) kann die Ladungsdichte durch die Anzahl der Ladungsträger pro Volumeneinheit, n ( r ), ausgedrückt werden durch

${\displaystyle \rho_{q}(\mathbf{r})=qn(\mathbf{r})\,.}$

Ähnliche Gleichungen werden für die lineare und die Oberflächenladungsdichte verwendet.

Ladungsdichte in der speziellen Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie hängt die Länge eines Drahtsegments aufgrund der Längenkontraktion von der Geschwindigkeit des Beobachters ab , so dass die Ladungsdichte auch von der Geschwindigkeit abhängt. Anthony French hat beschrieben, wie aus dieser relativen Ladungsdichte die magnetische Feldkraft eines stromdurchflossenen Drahtes entsteht. Er verwendete (S. 260) ein Minkowski-Diagramm, um zu zeigen, "wie ein neutraler stromtragender Draht eine Nettoladungsdichte zu tragen scheint, wie sie in einem bewegten Rahmen beobachtet wird." Wenn eine Ladungsdichte in einem beweglichen Bezugssystem gemessen wird , wird dies als richtige Ladungsdichte bezeichnet .

Es stellt sich heraus, dass die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte J zusammen als vier Stromvektoren unter Lorentz-Transformationen transformiert werden .

Ladungsdichte in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik hängt die Ladungsdichte ρ _q mit der Wellenfunktion ψ ( r ) durch die Gleichung

${\displaystyle \rho_{q}(\mathbf{r})=q|\psi(\mathbf{r})|^{2}}$

wobei q die Ladung des Teilchens ist und |ψ( r )| ² = ψ *( r ) ψ ( r ) ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, dh die Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit eines Teilchens, das sich bei r befindet .

Wenn die Wellenfunktion normiert wird - die durchschnittliche Ladung in der Region r ∈ R ist

${\displaystyle Q=\int_{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

wobei d ³ r das Integrationsmaß über dem 3D-Positionsraum ist.

Anwendung

Die Ladungsdichte erscheint in der Kontinuitätsgleichung für elektrischen Strom und auch in den Maxwell-Gleichungen . Es ist der Hauptquellterm des elektromagnetischen Feldes ; wenn sich die Ladungsverteilung bewegt, entspricht dies einer Stromdichte . Die Ladungsdichte von Molekülen beeinflusst chemische und Trennprozesse. Zum Beispiel beeinflusst die Ladungsdichte die Metall-Metall-Bindung und die Wasserstoffbindung . Bei Trennverfahren wie der Nanofiltration beeinflusst die Ladungsdichte von Ionen deren Abstoßung durch die Membran.

Siehe auch

• Kontinuitätsgleichung bezüglich Ladungsdichte und Stromdichte
• Ionenpotential
• Ladungsdichtewelle

Verweise

• A. Halpern (1988). 3000 gelöste Probleme in der Physik . Schaum-Serie, Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
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• PA Tipler, G. Mosca (2008). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure - mit Modern Physics (6. Aufl.). Freier. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). Enzyklopädie der Physik (2. Aufl.). VHC-Verlage. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. Aufl.). VHC-Verlage. ISBN 978-0-07-051400-3.

Externe Links

• [1] - Räumliche Ladungsverteilungen