Chernoffs Verteilung - Chernoff's distribution

In der Wahrscheinlichkeitstheorie , Chernoff Vertrieb , benannt nach Herman Chernoff , ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen

${\ displaystyle Z = {\ underset {s \ in \ mathbf {R}} {\ operatorname {argmax}}} \ (W (s) -s ^ {2}),}$

wobei W ein "zweiseitiger" Wiener-Prozess (oder eine zweiseitige " Brownsche Bewegung ") ist, der W (0) = 0 erfüllt

${\ displaystyle V (a, c) = {\ underset {s \ in \ mathbf {R}} {\ operatorname {argmax}}} \ (W (s) -c (sa) ^ {2}),}$

dann hat V (0,  c ) Dichte

${\ displaystyle f_ {c} (t) = {\ frac {1} {2}} g_ {c} (t) g_ {c} (- t)}$

wobei g _c eine Fourier-Transformation hat, die durch gegeben ist

${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {c} (s) = {\ frac {(2 / c) ^ {1/3}} {\ operatorname {Ai} (i (2c ^ {2}) ^ {-1/3} s)}}, \ \ \ s \ in \ mathbf {R}}$

und wo Ai die Airy-Funktion ist . Somit ist f _c um 0 symmetrisch und die Dichte  ƒ _Z  =  ƒ ₁ . Groeneboom (1989) zeigt das

${\ displaystyle f_ {Z} (z) \ sim {\ frac {1} {2}} {\ frac {4 ^ {4/3} | z |} {\ operatorname {Ai} '({\ tilde {a }} _ {1})}} \ exp \ left (- {\ frac {2} {3}} | z | ^ {3} + 2 ^ {1/3} {\ tilde {a}} _ {1 } | z | \ right) {\ text {as}} z \ rightarrow \ infty}$

wo ist die größte Null der Airy-Funktion Ai und wo . ${\ displaystyle {\ tilde {a}} _ {1} \ ca. -2.3381}$${\ displaystyle \ operatorname {Ai} '({\ tilde {a}} _ {1}) \ ca. 0,7022}$

Verweise

• Groeneboom, Piet (1989). "Brownsche Bewegung mit parabolischer Drift und Airy-Funktionen" . Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Felder . 81 : 79–109. doi : 10.1007 / BF00343738 . MR  0981568 .
• Groeneboom, Piet; Wellner, Jon A. (2001). "Berechnung von Chernoffs Verteilung". Zeitschrift für Computer- und Grafikstatistik . 10 (2): 388–400. CiteSeerX  10.1.1.369.863 . doi : 10.1198 / 10618600152627997 . MR  1939706 .
• Piet Groeneboom (1985). Schätzung einer monotonen Dichte. In: Le Cam, LE, Olshen, RA (Hrsg.), Proceedings of the Berkeley Konferenz zu Ehren von Jerzy Neyman und Jack Kiefer, vol. II, S. 539–555. Wadsworth.

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