Umschriebener Kreis - Circumscribed circle

Umkreis, C und circumcenter, O , ein zyklischer Vieleck , P

In der Geometrie ist der umschriebene Kreis oder Umkreis eines Polygons ein Kreis , der durch alle Eckpunkte des Polygons verläuft. Der Mittelpunkt dieses Kreises heißt Umkreismittelpunkt und sein Radius heißt Umkreisradius .

Nicht jedes Polygon hat einen umschriebenen Kreis. Ein Polygon, das eines hat, wird als zyklisches Polygon oder manchmal als konzyklisches Polygon bezeichnet, da seine Scheitelpunkte konzyklisch sind . Alle Dreiecke , alle regelmäßigen einfachen Polygone , alle Rechtecke , alle gleichschenkligen Trapeze und alle rechten Drachen sind zyklisch.

Ein verwandter Begriff ist der eines minimalen Begrenzungskreises , der der kleinste Kreis ist, der das Polygon vollständig enthält, wenn sich der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Polygons befindet. Jedes Polygon hat einen eindeutigen minimalen Begrenzungskreis, der durch einen linearen Zeitalgorithmus konstruiert werden kann. Auch wenn ein Polygon einen umschriebenen Kreis hat, kann dieser von seinem minimalen Begrenzungskreis abweichen. Bei einem stumpfen Dreieck beispielsweise hat der minimale Begrenzungskreis die längste Seite als Durchmesser und geht nicht durch den gegenüberliegenden Scheitelpunkt.

Dreiecke

Alle Dreiecke sind zyklisch; das heißt, jedes Dreieck hat einen umschriebenen Kreis.

Lineal- und Zirkelkonstruktion

Konstruktion des Umkreises des Dreiecks ABC ( ) und des Umkreismittelpunkts Q

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks kann durch Zeichnen von zwei beliebigen der drei Mittelsenkrechten konstruiert werden . Bei drei nicht kollinearen Punkten können diese beiden Linien nicht parallel sein, und der Umkreismittelpunkt ist der Punkt, an dem sie sich kreuzen. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat den gleichen Abstand von den beiden Punkten, die er halbiert, woraus folgt, dass dieser Punkt auf beiden Winkelhalbierenden von allen drei Dreieckseckpunkten gleich weit entfernt ist. Der Umkreisradius ist der Abstand von ihm zu einem der drei Scheitelpunkte.

Alternativer Aufbau

Alternative Konstruktion des Umkreismittelpunkts (Schnittpunkt der gestrichelten Linien)

Ein alternatives Verfahren zum Bestimmen des Umkreismittelpunkts besteht darin, zwei beliebige Linien zu zeichnen, von denen jede von einem der Scheitelpunkte in einem Winkel mit der gemeinsamen Seite abgeht, wobei der gemeinsame Abweichungswinkel 90° minus dem Winkel des gegenüberliegenden Scheitelpunkts beträgt. (Wenn der entgegengesetzte Winkel stumpf ist, bedeutet das Zeichnen einer Linie in einem negativen Winkel, das Dreieck zu verlassen.)

In der Küstennavigation wird manchmal der Umkreis eines Dreiecks verwendet, um eine Positionslinie mit einem Sextanten zu erhalten, wenn kein Kompass verfügbar ist. Der horizontale Winkel zwischen zwei Landmarken definiert den Umkreis, auf dem der Betrachter liegt.

Kreisgleichungen

Kartesischen Koordinaten

In der euklidischen Ebene ist es möglich, explizit eine Kreisgleichung in Form der kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des eingeschriebenen Dreiecks anzugeben. Nehme an, dass

sind die Koordinaten der Punkte A , B und C . Der Umkreis ist dann der Ort der Punkte v = ( v x ,  v y ) in der kartesischen Ebene, die die Gleichungen erfüllen

garantiert, dass die Punkte A , B , C und v alle den gleichen Abstand r vom gemeinsamen Mittelpunkt u des Kreises haben. Unter Verwendung der Polarisationsidentität reduzieren sich diese Gleichungen auf die Bedingung, dass die Matrix

hat einen Kernel ungleich null . Somit ist die circumcircle kann alternativ als das beschrieben Locus von Nullstellen der Determinante dieser Matrix:

Unter Verwendung der Cofaktor-Expansion lasse

wir haben dann ein | v | 2 − 2 Svb = 0 mit S = ( S x ,  S y ), und – angenommen, die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden (sonst ist der Umkreis die Gerade, die auch als verallgemeinerter Kreis mit S im Unendlichen betrachtet werden kann ) – | vS / a | 2 = b / a + | S | 2 / a 2 , was den Umkreismittelpunkt S / a und den Umkreisradius b / a + | . ergibt S | 2 / ein 2 . Ein ähnlicher Ansatz erlaubt es, die Zirkumsphärengleichung eines Tetraeders abzuleiten .

Parametrische Gleichung

Ein Einheitsvektor senkrecht zur Ebene, die den Kreis enthält, ist gegeben durch

Daher, gegeben der Radius, r , Mittelpunkt, P c , ein Punkt auf dem Kreis, P 0 und eine Einheitsnormale der Ebene, die den Kreis enthält , eine parametrische Gleichung des Kreises, die vom Punkt P 0 ausgeht und positiv verläuft orientierten (dh rechtshändigen ) Sinn ist folgendes:

Trilineare und baryzentrische Koordinaten

Eine Gleichung für den Umkreis in trilinearen Koordinaten x  : y  : z ist a / x + b / y + c / z = 0 . Eine Gleichung für den Umkreis in baryzentrischen Koordinaten x  : y  : z ist a 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 .

Die isogonal Konjugierte des Umkreises ist die Gerade im Unendlichen, gegeben in trilinearen Koordinaten durch ax + by + cz = 0 und in baryzentrischen Koordinaten durch x + y + z = 0 .

Höhere Abmessungen

Darüber hinaus kann der Umkreis eines in d- Dimensionen eingebetteten Dreiecks mit einer verallgemeinerten Methode ermittelt werden. Lassen A , B und C sein , d -dimensionalen Punkte, die die Eckpunkte eines Dreiecks bilden. Wir beginnen mit der Transponierung des Systems, um C am Ursprung zu platzieren:

Der Umkreisradius r ist dann

wobei θ der Innenwinkel zwischen a und b ist . Der Umkreismittelpunkt p 0 ist gegeben durch

Diese Formel funktioniert nur in drei Dimensionen, da das Kreuzprodukt in anderen Dimensionen nicht definiert ist, aber sie kann auf die anderen Dimensionen verallgemeinert werden, indem die Kreuzprodukte durch die folgenden Identitäten ersetzt werden:

Umkreiskoordinaten

Kartesischen Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts sind

mit

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit lässt sich dies nach Translation des Knotens A in den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems vereinfacht ausdrücken , dh wenn A ′ = AA = ( Ax , Ay ) = (0, 0) . In diesem Fall repräsentieren die Koordinaten der Ecken B ′ = BA und C ′ = CA die Vektoren von der Ecke A ′ zu diesen Ecken. Beachten Sie, dass diese triviale Übersetzung für alle Dreiecke möglich ist und der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ′ folgt als

mit

Aufgrund der Verschiebung des Knotens A in den Ursprung kann der Umkreisradius r berechnet werden als

und der tatsächliche Umkreismittelpunkt von ABC folgt als

Trilineare Koordinaten

Der Umkreismittelpunkt hat trilineare Koordinaten

cos α  : cos β  : cos γ

wobei α , β , γ die Winkel des Dreiecks sind.

Bezogen auf die Seitenlängen a, b, c sind die Trilinearen

Baryzentrische Koordinaten

Der Umkreismittelpunkt hat baryzentrische Koordinaten

wobei a , b , c die Kantenlängen ( BC , CA , AB ) des Dreiecks sind.

In Bezug auf die Winkel des Dreiecks sind die baryzentrischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts

Umkreisvektor

Da die kartesischen Koordinaten jedes Punktes ein gewichteter Durchschnitt der Scheitelpunkte sind, wobei die Gewichte die auf die Summe auf Eins normierten baryzentrischen Koordinaten des Punktes sind, kann der Umkreismittelpunktsvektor geschrieben werden als

Dabei ist U der Vektor des Umkreismittelpunkts und A, B, C die Scheitelpunktvektoren. Der Divisor ist hier gleich 16 S 2 wobei S die Fläche des Dreiecks ist. Wie bereits erwähnt

Kartesische Koordinaten aus Kreuz- und Punktprodukten

Im euklidischen Raum gibt es einen einzigartigen Kreis, der durch drei beliebige gegebene nichtkollineare Punkte P 1 , P 2 und P 3 geht . Unter Verwendung kartesischer Koordinaten zur Darstellung dieser Punkte als räumliche Vektoren ist es möglich, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt zu verwenden , um den Radius und den Mittelpunkt des Kreises zu berechnen. Lassen

Dann ist der Radius des Kreises gegeben durch

Der Kreismittelpunkt ergibt sich aus der Linearkombination

wo

Lage relativ zum Dreieck

Die Position des Umkreismittelpunkts hängt von der Art des Dreiecks ab:

  • Bei einem spitzen Dreieck (alle Winkel kleiner als ein rechter Winkel) liegt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks.
  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt immer im Mittelpunkt der Hypotenuse . Dies ist eine Form des Theorems von Thales .
  • Bei einem stumpfen Dreieck (ein Dreieck mit einem Winkel größer als ein rechter Winkel) liegt der Umkreismittelpunkt immer außerhalb des Dreiecks.
Der Umkreismittelpunkt eines spitzen Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks
Der Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt im Mittelpunkt der Hypotenuse
Der Umkreismittelpunkt eines stumpfen Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks

Diese Standortmerkmale können anhand der oben angegebenen trilinearen oder baryzentrischen Koordinaten für den Umkreismittelpunkt gesehen werden: Alle drei Koordinaten sind für jeden inneren Punkt positiv, mindestens eine Koordinate ist für jeden äußeren Punkt negativ und eine Koordinate ist Null und zwei sind positiv für ein Nicht-Scheitelpunkt auf einer Seite des Dreiecks.

Winkel

Die Winkel, die der umschriebene Kreis mit den Seiten des Dreiecks bildet, fallen mit Winkeln zusammen, bei denen die Seiten aufeinandertreffen. Der gegenüberliegende Winkel α trifft zweimal auf den Kreis: einmal an jedem Ende; jeweils im Winkel α (ähnlich für die anderen beiden Winkel). Dies ist auf das Alternate-Segment-Theorem zurückzuführen , das besagt, dass der Winkel zwischen Tangente und Sehne gleich dem Winkel im Alternate-Segment ist.

Dreieck zentriert auf dem Umkreis des Dreiecks ABC

In diesem Abschnitt werden die Scheitelwinkel mit A , B , C bezeichnet und alle Koordinaten sind trilineare Koordinaten :

  • Steiner-Punkt = bc / ( b 2c 2 ) : ca / ( c 2a 2 ) : ab / ( a 2b 2 ) = der Nicht-Schnittpunkt des Umkreises mit der Steiner-Ellipse. (Die Steiner-Ellipse mit Mittelpunkt = Schwerpunkt ( ABC ) ist die Ellipse mit der kleinsten Fläche, die durch A , B und C geht . Eine Gleichung für diese Ellipse lautet 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/( cz ) = 0 .)
  • Tarry-Punkt = sec ( A + ω) : sec ( B + ω) : sec ( C + ω) = Antipode des Steiner-Punktes
  • Schwerpunkt der Kiepert-Parabel = csc ( BC ) : csc ( CA ) : csc ( AB ).

Andere Eigenschaften

Der Durchmesser des Umkreises, genannt Umkreisdurchmesser und gleich dem doppelten Umkreisradius , kann als die Länge einer beliebigen Seite des Dreiecks geteilt durch den Sinus des entgegengesetzten Winkels berechnet werden :

Als Folge des Gesetzes von Sinus- , spielt es keine Rolle , welcher Seite und entgegengesetzte Winkel gesetzt werden: das Ergebnis wird das gleiche sein.

Der Durchmesser des Umkreises kann auch ausgedrückt werden als

wobei a , b , c die Längen der Seiten des Dreiecks sind und s = ( a + b + c )/2 der Halbumfang ist. Der obige Ausdruck ist die Fläche des Dreiecks nach der Formel von Heron . Trigonometrische Ausdrücke für den Durchmesser des Umkreises umfassen

Der Neun-Punkte-Kreis des Dreiecks hat den halben Durchmesser des Umkreises.

In jedem gegebenen Dreieck ist der Umkreismittelpunkt immer kollinear mit dem Schwerpunkt und Orthozentrum . Die Linie, die durch alle geht, wird Euler-Linie genannt .

Die isogonal Konjugierte des Umkreiszentrums ist das Orthozentrum .

Der nutzbare minimale Begrenzungskreis von drei Punkten wird entweder durch den Umkreis (drei Punkte auf dem minimalen Begrenzungskreis) oder durch die beiden Punkte der längsten Seite des Dreiecks (wo die beiden Punkte einen Kreisdurchmesser definieren) definiert. Es ist üblich, den minimalen Begrenzungskreis mit dem Umkreis zu verwechseln.

Der Umkreis von drei kollinearen Punkten ist die Linie, auf der die drei Punkte liegen, die oft als Kreis mit unendlichem Radius bezeichnet wird . Nahezu kollineare Punkte führen oft zu numerischer Instabilität bei der Berechnung des Umkreises.

Kreiskreise von Dreiecken haben eine enge Beziehung zur Delaunay-Triangulation einer Menge von Punkten.

Durch Satz von Euler in der Geometrie , der Abstand zwischen dem circumcenter O und dem incenter I ist

wobei r der Innenkreisradius und R der Umkreisradius ist; daher ist der Umkreisradius mindestens doppelt so groß wie der Inradius ( Eulersche Dreiecksungleichung ), mit Gleichheit nur im gleichseitigen Fall.

Der Abstand zwischen O und dem Orthozentrum H ist

Für Schwerpunkt G und Neun-Punkt-Mittelpunkt N gilt

Das Produkt aus Inkreisradius und Umkreisradius eines Dreiecks mit den Seiten a , b und c ist

Mit Umkreisradius R , Seiten a , b , c und Medianen m a , m b und m c gilt

Wenn der Median m , die Höhe h und die innere Winkelhalbierende t alle von derselben Ecke eines Dreiecks mit dem Umkreisradius R ausgehen , dann

Der Satz von Carnot besagt, dass die Summe der Abstände vom Umkreismittelpunkt zu den drei Seiten gleich der Summe des Umkreisradius und des Innenradius ist . Hier wird die Länge eines Segments genau dann als negativ angesehen, wenn das Segment vollständig außerhalb des Dreiecks liegt.

Wenn ein Dreieck zwei bestimmte Kreise als Umkreis und Inkreis hat , gibt es unendlich viele andere Dreiecke mit demselben Umkreis und Inkreis, mit einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis als Scheitelpunkt. (Dies ist der n  = 3 Fall von Poncelet's Porism ). Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz solcher Dreiecke ist die obige Gleichheit

Zyklische Vierecke

Vierecke, die umschrieben werden können, haben besondere Eigenschaften, einschließlich der Tatsache, dass entgegengesetzte Winkel zusätzliche Winkel sind (aufaddiert bis zu 180 ° oder π Radiant).

Zyklische n -gons

Bei einem zyklischen Polygon mit ungerader Seitenzahl sind alle Winkel genau dann gleich, wenn das Polygon regelmäßig ist. Bei einem zyklischen Polygon mit einer geraden Anzahl von Seiten sind alle Winkel genau dann gleich, wenn die alternativen Seiten gleich sind (dh die Seiten 1, 3, 5, ... sind gleich und die Seiten 2, 4, 6, ... sind gleich).

Ein zyklisches Fünfeck mit rationalen Seiten und Flächen wird als Robbins-Pentagon bezeichnet ; in allen bekannten Fällen haben auch seine Diagonalen rationale Längen.

In jedem zyklischen n- Eck mit geradem n ist die Summe eines Satzes von alternativen Winkeln (der erste, dritte, fünfte usw.) gleich der Summe des anderen Satzes von alternativen Winkeln. Dies kann durch Induktion aus dem Fall n = 4 bewiesen werden , wobei jeweils eine Seite durch drei weitere Seiten ersetzt wird und festgestellt wird, dass diese drei neuen Seiten zusammen mit der alten Seite ein Viereck bilden, das selbst diese Eigenschaft hat; die Wechselwinkel des letztgenannten Vierecks repräsentieren die Additionen zu den Wechselwinkelsummen des vorherigen n- Ecks.

Ein n- Eck sei in einen Kreis einbeschrieben, und ein weiteres n- Eck sei tangential zu diesem Kreis an den Ecken des ersten n- Ecks. Dann ist von jedem Punkt P auf dem Kreis das Produkt der senkrechten Abstände von P zu den Seiten des ersten n- Ecks gleich dem Produkt der senkrechten Abstände von P zu den Seiten des zweiten n- Ecks.

Punkt auf den Umkreis

Ein zyklisches n -Eck habe Knoten A 1 , ..., A n auf dem Einheitskreis. Dann erfüllen für jeden Punkt M auf dem kleinen Bogen A 1 A n die Abstände von M zu den Ecken


Für ein regelmäßiges n -Eck, wenn die Abstände von jedem Punkt auf dem Umkreis zu den Scheitelpunkten sind , dann

Polygon umschreibende Konstante

Eine Folge von umschriebenen Polygonen und Kreisen.

Jedes regelmäßige Polygon ist zyklisch. Betrachten Sie einen Einheitskreis und umschreiben Sie dann ein regelmäßiges Dreieck, so dass jede Seite den Kreis berührt. Umschreibe einen Kreis, dann umschreibe ein Quadrat. Umschreiben Sie wieder einen Kreis, dann ein regelmäßiges Fünfeck und so weiter. Die Radien der umschriebenen Kreise konvergieren gegen die sogenannte Polygonumschreibungskonstante

(Sequenz A051762 im OEIS ). Der Kehrwert dieser Konstanten ist die Kepler-Bouwkamp-Konstante .

Siehe auch

Verweise

Externe Links

MathWorld

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