Klassenbildung - Class formation

In der Mathematik ist eine Klassenformation eine topologische Gruppe, die auf ein Modul einwirkt , das bestimmte Bedingungen erfüllt. Klassenformationen wurden von Emil Artin und John Tate eingeführt , um die verschiedenen Galois-Gruppen und -Module zu organisieren , die in der Klassenfeldtheorie erscheinen .

Definitionen

Eine Formation ist eine topologische Gruppe G zusammen mit einem topologischen G -Modul A, auf den G stetig einwirkt.

Eine Schicht E / F einer Formation ist ein Paar offener Untergruppen E , F von G, so dass F eine Untergruppe mit endlichem Index von E ist . Sie wird als Normalschicht bezeichnet, wenn F eine normale Untergruppe von E ist , und als zyklische Schicht, wenn zusätzlich die Quotientengruppe zyklisch ist. Wenn E eine Untergruppe ist , G , dann A E ist definiert als die Elemente sind A durch feste E . Wir schreiben

H n ( E / F )

für die Tate-Kohomologiegruppe H n ( E / F , A F ), wenn E / F eine normale Schicht ist. (Einige Autoren betrachten E und F eher als feste Körper als als Untergruppe von G , schreiben Sie also F / E anstelle von E / F .) In Anwendungen ist G oft die absolute Galois-Gruppe eines Körpers und insbesondere profinit , und die offenen Untergruppen entsprechen daher den endlichen Erweiterungen des Körpers, die in einer festen trennbaren Hülle enthalten sind.

Eine Klassenformation ist eine Formation, bei der für jede normale Schicht E / F

H 1 ( E / F ) ist trivial, und
H 2 ( E / F ) ist zyklisch der Ordnung | E / F |.

In der Praxis werden diese zyklischen Gruppen mit kanonischen Generatoren u E / FH 2 ( E / F ), sogenannten Fundamentalklassen versehen , die in dem Sinne kompatibel sind, dass die Einschränkung (von Kohomologieklassen) einer Fundamentalklasse ist eine weitere grundlegende Klasse. Oft werden die Fundamentalklassen als Teil der Struktur einer Klassenformation angesehen.

Eine Formation, die nur die Bedingung H 1 ( E / F )=1 erfüllt, wird manchmal als Feldformation bezeichnet . Wenn beispielsweise G eine endliche Gruppe ist, die auf einen Körper L wirkt und A=L × , dann ist dies eine Körperbildung nach dem Satz von Hilbert 90 .

Beispiele

Die wichtigsten Beispiele für Klassenbildungen (grob nach Schwierigkeit geordnet) sind:

  • Archimedische lokale Klassenfeldtheorie : Das Modul A ist die Gruppe der komplexen Zahlen ungleich Null, und G ist entweder trivial oder ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2, die durch komplexe Konjugation erzeugt wird.
  • Endliche Körper : Der Modul A sind die ganzen Zahlen (mit trivialer G- Wirkung), und G ist die absolute Galois-Gruppe eines endlichen Körpers, der zur profiniten Vervollständigung der ganzen Zahlen isomorph ist.
  • Lokale Klassenkörpertheorie der Charakteristik p >0: Das Modul A ist die separierbare algebraische Hülle des Körpers der formalen Laurent-Reihe über einem endlichen Körper, und G ist die Galois-Gruppe.
  • Nicht-archimedische lokale Klassenkörpertheorie der Eigenschaft 0: Der Modul A ist die algebraische Abgeschlossenheit eines Körpers p -adischer Zahlen, und G ist die Galois-Gruppe.
  • Globale Klassenkörpertheorie der Charakteristik p > 0: Das Modul A ist die Vereinigung der Gruppen von idelen Klassen separierbarer endlicher Erweiterungen eines Funktionskörpers über einem endlichen Körper, und G ist die Galois-Gruppe.
  • Globale Klassenkörpertheorie der Eigenschaft 0: Der Modul A ist die Vereinigung der Gruppen von idelen Klassen algebraischer Zahlenkörper, und G ist die Galois-Gruppe der rationalen Zahlen (oder irgendein algebraischer Zahlenkörper ), die auf A wirken .

Es ist einfach, die Klassenbildungseigenschaft für den endlichen Körper und den archimedischen lokalen Körper zu verifizieren, aber die verbleibenden Fälle sind schwieriger. Der größte Teil der harten Arbeit der Klassenfeldtheorie besteht darin, zu beweisen, dass es sich tatsächlich um Klassenformationen handelt. Dies geschieht in mehreren Schritten, wie in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Die erste Ungleichung

Die erste Ungleichung der Klassenfeldtheorie besagt, dass

| H 0 ( E / F )| | E / F |

für zyklische Schichten E / F . Es wird normalerweise mit den Eigenschaften des Herbrand-Quotienten bewiesen , in der genaueren Form

| H 0 ( E / F )| = | E / F |×| H 1 ( E / F ) |.

Es ist ziemlich einfach zu beweisen, weil der Herbrand-Quotient leicht zu berechnen ist, da er auf kurzen exakten Folgen multiplikativ ist und für endliche Module 1 ist.

Vor etwa 1950 war die erste Ungleichung als zweite Ungleichung bekannt und umgekehrt.

Die zweite Ungleichung

Die zweite Ungleichung der Klassenfeldtheorie besagt, dass

| H 0 ( E / F )| | E / F |

für alle normalen Schichten E / F .

Für lokale Körper folgt diese Ungleichung leicht aus dem Satz von Hilbert 90 zusammen mit der ersten Ungleichung und einigen grundlegenden Eigenschaften der Gruppenkohomologie.

Die zweite Ungleichung wurde zuerst für globale Felder von Weber unter Verwendung von Eigenschaften der L-Reihe von Zahlenfeldern wie folgt bewiesen. Angenommen, die Schicht E / F entspricht einer Erweiterung kK von globalen Feldern. Durch das Studium der Dedekind-Zeta-Funktion von K zeigt man, dass die Primzahlen vom Grad 1 von K eine Dirichlet-Dichte haben, die durch die Ordnung des Pols bei s = 1 gegeben ist, was 1 ist (Wenn K die rationalen Zahlen ist, ist dies im Wesentlichen Eulers Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen unter Verwendung des Pols bei s = 1 der Riemannschen Zetafunktion .) Da jede Primzahl in k , die eine Norm ist, das Produkt von deg( K / k )= | E / F | verschiedene Primzahlen vom Grad 1 von K zeigt dies, dass die Menge der Primzahlen von k , die Normen sind, die Dichte 1/| . hat E / F |. Andererseits zeigt man durch das Studium der Dirichlet-L-Reihe von Charakteren der Gruppe H 0 ( E / F ), dass die Dirichlet-Dichte der Primzahlen von k, die das triviale Element dieser Gruppe darstellen, die Dichte 1/| . hat H 0 ( E / F ) |. (Dieser Teil des Beweises ist eine Verallgemeinerung von Dirichlets Beweis, dass es in arithmetischen Folgen unendlich viele Primzahlen gibt.) Aber eine Primzahl stellt ein triviales Element der Gruppe H 0 ( E / F ) dar, wenn sie gleich einer Norm modulo Hauptideale . ist , also ist diese Menge mindestens so dicht wie die Menge der Primzahlen, die Normen sind. So

1/| H 0 ( E / F )| 1/| E / F |

das ist die zweite Ungleichung.

1940 fand Chevalley einen rein algebraischen Beweis für die zweite Ungleichung, aber er ist länger und schwieriger als Webers Originalbeweis. Vor etwa 1950 war die zweite Ungleichung als erste Ungleichung bekannt; der Name wurde geändert, weil Chevalleys algebraischer Beweis dafür die erste Ungleichung verwendet.

Takagi definierte ein Klassenfeld als eines, bei dem Gleichheit in der zweiten Ungleichung gilt. Nach dem Artin-Isomorphismus unten ist H 0 ( E / F ) isomorph zur Abelianisierung von E / F , also gilt die Gleichheit in der zweiten Ungleichung genau für abelsche Erweiterungen, und Klassenkörper sind dieselben wie abelsche Erweiterungen.

Die erste und die zweite Ungleichung können wie folgt kombiniert werden. Für zyklische Schichten beweisen die beiden Ungleichungen zusammen, dass

H 1 ( E / F )| E / F | = H 0 ( E / F ) | E / F |

so

H 0 ( E / F ) = | E / F |

und

H 1 ( E / F ) = 1.

Nun zeigt ein grundlegender Satz über Kohomologiegruppen, dass wegen H 1 ( E / F ) = 1 für alle zyklischen Schichten gilt:

H 1 ( E / F ) = 1

für alle normalen Schichten (also insbesondere ist die Formation eine Feldformation). Dieser Beweis, dass H 1 ( E / F ) immer trivial ist, ist ziemlich umständlich; kein "direkter" Beweis dafür (was auch immer das bedeutet) für globale Felder ist bekannt. (Für lokale Körper ist das Verschwinden von H 1 ( E / F ) nur der Satz von Hilbert 90.)

Für eine zyklische Gruppe ist H 0 dasselbe wie H 2 , also H 2 ( E / F ) = | E / F | für alle zyklischen Schichten. Ein weiterer Satz der Gruppenkohomologie zeigt, dass H 1 ( E / F ) = 1 für alle normalen Schichten und H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | für alle zyklischen Schichten haben wir

H 2 ( E / F )≤ | E / F |

für alle normalen Schichten. (Tatsächlich gilt Gleichheit für alle normalen Ebenen, aber das erfordert mehr Arbeit; siehe den nächsten Abschnitt.)

Die Brauer-Gruppe

Die Brauer-Gruppen H 2 ( E /*) einer Klassenformation werden als direkter Grenzwert der Gruppen H 2 ( E / F ) definiert, da F über alle offenen Untergruppen von E läuft . Eine einfache Folge des Verschwindens von H 1 für alle Schichten ist, dass die Gruppen H 2 ( E / F ) alle Untergruppen der Brauer-Gruppe sind. In der lokalen Klassenkörpertheorie sind die Brauer-Gruppen die gleichen wie Brauer- Feldergruppen, aber in der globalen Klassenkörpertheorie ist die Brauer-Gruppe der Formation nicht die Brauer-Gruppe des entsprechenden globalen Körpers (obwohl sie verwandt sind).

Der nächste Schritt besteht darin zu beweisen, dass H 2 ( E / F ) zyklisch der Ordnung genau | . ist E / F |; der vorige Abschnitt zeigt, dass es höchstens diese Ordnung hat, es genügt also, ein Element der Ordnung | . zu finden E / F | in H 2 ( E / F ).

Der Beweis für beliebige Erweiterungen verwendet einen Homomorphismus aus der Gruppe G auf die profinite Vervollständigung der ganzen Zahlen mit Kern G , oder anders ausgedrückt eine kompatible Folge von Homomorphismen von G auf die zyklischen Gruppen der Ordnung n für alle n , mit Kernen G n . Diese Homomorphismen werden unter Verwendung zyklischer zyklotomischer Erweiterungen von Feldern konstruiert; für endliche Körper sind sie durch den algebraischen Abschluss gegeben, für nicht-archimedische lokale Körper werden sie durch die maximalen unverzweigten Erweiterungen angegeben, und für globale Körper sind sie etwas komplizierter. Da diese Erweiterungen explizit angegeben sind, kann man mit einem kanonischen Generator überprüfen, ob sie die Eigenschaft haben, dass H 2 ( G / G n ) zyklisch der Ordnung n ist. Daraus folgt , dass für jede Schicht E , die Gruppe H 2 ( E / EG ) zu kanonisch isomorph ist Q / Z . Diese Idee der Verwendung von Einheitswurzeln wurde von Chebotarev in seinem Beweis des Dichtesatzes von Chebotarev eingeführt und kurz darauf von Artin verwendet, um seinen Reziprozitätssatz zu beweisen.

Für allgemeine Schichten E , F gibt es eine exakte Folge

Die letzten beiden Gruppen in dieser Folge können beide mit Q / Z identifiziert werden und die Abbildung zwischen ihnen ist dann die Multiplikation mit | E / F |. Die erste Gruppe ist also kanonisch isomorph zu Z / n Z . Da H 2 ( E / F ) höchstens Ordnung hat Z / n Z muss gleich Z / n Z sein (und ist insbesondere in der mittleren Gruppe enthalten)).

Dies zeigt, dass die zweite Kohomologiegruppe H 2 ( E / F ) jeder Schicht zyklisch der Ordnung | . ist E / F |, die die Verifikation der Axiome einer Klassenbildung vervollständigt. Mit etwas mehr Sorgfalt in den Beweisen erhalten wir einen kanonischen Generator von H 2 ( E / F ), der als Fundamentalklasse bezeichnet wird .

Daraus folgt, dass die Brauer-Gruppe H 2 ( E /*) (kanonisch) isomorph zur Gruppe Q / Z ist , außer im Fall der archimedischen Lokalkörper R und C, wenn sie Ordnung 2 oder 1 hat.

Satz von Tate und die Artin-Karte

Der Satz von Tate in der Gruppenkohomologie lautet wie folgt. Angenommen, A sei ein Modul über einer endlichen Gruppe G und a sei ein Element von H 2 ( G , A ), so dass für jede Untergruppe E von G

  • H 1 ( E , A ) ist trivial und
  • H 2 ( E , A ) wird von Res(a) erzeugt, das die Ordnung E hat .

Dann ist das Cup-Produkt mit a ein Isomorphismus

  • H n ( G , Z ) → H n + 2 ( G , A ).

Wenden wir den Fall n =−2 des Satzes von Tate auf eine Klassenbildung an, dann gibt es einen Isomorphismus

  • H −2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )

für jede normale Schicht E / F . Die Gruppe H −2 ( E / F , Z ) ist nur die Abelianisierung von E / F , und die Gruppe H 0 ( E / F , A F ) ist A E modulo die Normengruppe von A F . Mit anderen Worten, wir haben eine explizite Beschreibung der Abelianisierung der Galois-Gruppe E / F in Bezug auf A E .

Die Umkehrung dieses Isomorphismus ergibt einen Homomorphismus

A E → Abelianisierung von E / F ,

und der Limes über alle offenen Untergruppen F ergibt einen Homomorphismus

A E → Abelianisierung von E ,

die Artin-Karte genannt . Die Artin-Karte ist nicht unbedingt surjektiv, hat aber ein dichtes Bild. Nach dem Existenzsatz unter seinem Kern ist die Zusammenhangskomponente von A E (für Klassenkörpertheorie), die für die Klassenkörpertheorie nicht-archimedischer lokaler Körper und für Funktionskörper trivial ist, aber nicht-trivial für archimedische lokale Körper und Zahl Felder.

Der Existenzsatz von Takagi

Der verbleibende Hauptsatz der Klassenkörpertheorie ist der Takagi-Existenzsatz , der besagt, dass jede abgeschlossene Untergruppe mit endlichem Index der Idele-Klassengruppe die Gruppe von Normen ist, die einer abelschen Erweiterung entspricht. Der klassische Weg, dies zu beweisen, besteht darin, einige Erweiterungen mit kleinen Gruppen von Normen zu konstruieren, indem man zuerst viele Einheitswurzeln hinzufügt und dann Kummer-Erweiterungen und Artin-Schreier-Erweiterungen nimmt . Diese Erweiterungen können nicht-abelsch sein (obwohl sie Erweiterungen von abelschen Gruppen durch abelsche Gruppen sind); Dies spielt jedoch keine Rolle, da die Normgruppe einer nicht-abelschen Galois-Erweiterung die gleiche ist wie die ihrer maximalen abelschen Erweiterung (dies kann mit dem, was wir bereits über Klassenkörper wissen, gezeigt werden). Dies gibt genügend (abelsche) Erweiterungen, um zu zeigen, dass es eine abelsche Erweiterung gibt, die jeder Untergruppe mit endlichem Index der idele-Klassengruppe entspricht.

Eine Folge davon ist, dass der Kern der Artin-Abbildung die verbundene Komponente der Identität der Idle-Klassengruppe ist, so dass die Abelianisierung der Galois-Gruppe von F die profinite Vervollständigung der Idle-Klassengruppe ist.

Für die lokale Klassenkörpertheorie ist es auch möglich, abelsche Erweiterungen expliziter unter Verwendung der formalen Gruppengesetze von Lubin-Tate zu konstruieren . Für globale Körper können die abelschen Erweiterungen in einigen Fällen explizit konstruiert werden: zum Beispiel können die abelschen Erweiterungen der rationalen Zahlen mithilfe von Einheitswurzeln konstruiert werden, und die abelschen Erweiterungen quadratischer imaginärer Körper können mithilfe elliptischer Funktionen konstruiert werden Analog dazu für beliebige globale Körper ist ein ungelöstes Problem.

Weil-Gruppe

Dies ist keine Weyl-Gruppe und hat keine Verbindung mit der Weil-Châtelet-Gruppe oder der Mordell-Weil-Gruppe

Die Weil-Gruppe einer Klassenbildung mit Fundamentalklassen u E / FH 2 ( E / F , A F ) ist eine Art modifizierte Galois-Gruppe, die von Weil (1951) eingeführt und in verschiedenen Formulierungen der Klassenfeldtheorie verwendet wird, und insbesondere im Langlands-Programm .

Ist E / F eine normale Schicht, dann ist die Weil-Gruppe U von E / F die Erweiterung

1 → A FUE / F → 1

entsprechend der Fundamentalklasse u E / F in H 2 ( E / F , A F ). Weil die Gruppe der gesamten Formation ist definiert als der inverse Grenzwert der Weil - Gruppen aller Schichten sein G / F , für F eine offene Untergruppe von G .

Die Reziprozitätskarte der Klassenbildung ( GA ) induziert einen Isomorphismus von A G zur Abelianisierung der Weil-Gruppe.

Siehe auch

Verweise

  • Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1952], Klassenfeldtheorie , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, HERR  0223335
  • Kawada, Yukiyosi (1971), "Klassenformationen", 1969 Number Theory Institute (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Providence, RI: American Mathematical Society , S. 96–114
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , Graduate Texts in Mathematics, 67 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, HERR  0554237, insb. Kapitel XI: Klassenbildungen
  • Tate, J. (1979), "Zahlentheoretischer Hintergrund" , Automorphe Formen, Darstellungen und L-Funktionen Teil 2 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: Amer. Mathematik. Soc., S. 3–26, ISBN 978-0-8218-1435-2
  • Weil, André (1951), "Sur la Theorie du corps de classes", Journal of the Mathematical Society of Japan , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN  0025-5645 , MR  0044569, abgedruckt in Band I seiner gesammelten Nachlässe, ISBN  0-387-90330-5