Clopen-Set - Clopen set

Nicht zu verwechseln mit Halboffenes Intervall .
Ein Graph mit mehreren Clopen-Sätzen. Jedes der drei großen Teile (d. h. Komponenten ) ist ein Clopen-Set, ebenso wie die Vereinigung von zwei oder allen dreien.

In der Topologie ist eine clopen-Menge (ein Portmanteau einer geschlossenen-offenen Menge ) in einem topologischen Raum eine Menge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist . Dass dies möglich ist, mag kontraintuitiv erscheinen, da die gemeinsamen Bedeutungen von offen und geschlossen Antonyme sind, sich ihre mathematischen Definitionen jedoch nicht gegenseitig ausschließen . Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, was die Möglichkeit einer offenen Menge lässt, deren Komplement ebenfalls offen ist, wodurch beide Mengen sowohl offen als auch geschlossen sind und daher klonen. Wie der Topologe James Munkres beschrieben hat , kann im Gegensatz zu einer Tür "ein Set offen oder geschlossen sein oder beides oder keines von beiden!" betonend, dass die Bedeutung von "offen"/"geschlossen" für Türen unabhängig von ihrer Bedeutung für Sets ist (und daher die Dichotomie offen/geschlossene Tür nicht auf offene/geschlossene Sets übertragen wird). Dieser Gegensatz zu Türen gab der Klasse der topologischen Räume, die als „ Türräume “ bekannt sind, ihren Namen.

Beispiele

In jedem topologischen Raum sind sowohl die leere Menge als auch der gesamte Raum klopen.

Betrachten Sie nun den Raum, der aus der Vereinigung der beiden offenen Intervalle und der Die Topologie auf wird als Unterraumtopologie von der gewöhnlichen Topologie auf der reellen Linie geerbt In der Menge ist clopen, wie auch die Menge Dies ist ein ganz typisches Beispiel: wenn ein Raum auf diese Weise aus einer endlichen Anzahl von disjunkten zusammenhängenden Komponenten besteht , werden die Komponenten geschlossen.

Sei nun eine unendliche Menge unter der diskreten Metrik – das heißt, zwei Punkte haben den Abstand 1, wenn sie nicht derselbe Punkt sind, andernfalls 0. Unter dem resultierenden metrischen Raum ist jede Singleton-Menge offen; daher ist jede Menge als Vereinigung einzelner Punkte offen. Da das Komplement jeder Menge also abgeschlossen ist, sind alle Mengen im metrischen Raum clopen.

Als weniger trivial Beispiel betrachten wir den Raum aller rationalen Zahlen mit ihrer gewöhnlichen Topologie, und die Menge aller positiven rationalen Zahlen , deren Quadrat größer als 2 ist die Tatsache verwenden , die nicht in ist man ganz leicht nachweisen kann , dass eine Teilmenge clopen von ( ist keine clopen Teilmenge der reellen Linie ; sie ist weder offen noch geschlossen in )

Eigenschaften

  • Ein topologischer Raum ist verbunden , wenn und nur wenn die einzige clopen Sätze die leere Menge und
  • Eine Menge ist genau dann clopen, wenn ihr Rand leer ist.
  • Jede Clopen-Menge ist eine Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) zusammenhängenden Komponenten .
  • Wenn alle angeschlossenen Komponenten von geöffnet sind (zum Beispiel, wenn nur endlich viele Komponenten, oder wenn sich lokal angeschlossen ), dann wird ein Satz clopen in , wenn und nur wenn es sich um eine Vereinigung von verbundenen Komponenten ist.
  • Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn alle seine Teilmengen clopen sind.
  • Unter Verwendung der Vereinigung und der Schnittmenge als Operationen bilden die clopen-Teilmengen eines gegebenen topologischen Raums eine Boolesche Algebra . Jede Boolesche Algebra kann auf diese Weise aus einem geeigneten topologischen Raum gewonnen werden: siehe Stones Darstellungssatz für Boolesche Algebren .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise