Geschlossene konvexe Funktion - Closed convex function
In der Mathematik wird eine Funktion als geschlossen bezeichnet, wenn für jede die Sublevel-Menge eine geschlossene Menge ist .
Entsprechend ist die Funktion geschlossen , wenn das durch definierte Epigraph geschlossen ist.
Diese Definition gilt für jede Funktion, wird jedoch am häufigsten für konvexe Funktionen verwendet . Eine ordnungsgemäße konvexe Funktion ist genau dann geschlossen, wenn sie halbkontinuierlich niedriger ist . Für eine konvexe Funktion, die nicht richtig ist, gibt es Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Definition des Schließens der Funktion.
Eigenschaften
- Wenn es sich um eine stetige Funktion handelt und geschlossen ist, ist sie geschlossen.
- Wenn es sich um eine stetige Funktion handelt und offen ist, wird es genau dann geschlossen, wenn es entlang jeder Sequenz konvergiert, die zu einem Grenzpunkt von konvergiert .
- Eine geschlossene richtige konvexe Funktion f ist das punktweise Supremum der Sammlung aller affinen Funktionen h, so dass h ≤ f (die affinen Minoranten von f genannt ).
Verweise
- Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Konvexe Analyse . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6 .