Abschluss (Mathematik) - Closure (mathematics)

In der Mathematik ist ein Satz wird geschlossen unter einem Betrieb , wenn auf Mitglieder des Satzes , dass die Operation erzeugt immer ein Mitglied dieses Satzes. Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen bei Addition abgeschlossen, aber nicht bei Subtraktion: 1 − 2 ist keine natürliche Zahl, obwohl sowohl 1 als auch 2 natürliche Zahlen sind . Ein anderes Beispiel ist die Menge, die nur Null enthält, die durch Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen ist (weil0 + 0 = 0, 0 − 0 = 0, und 0 × 0 = 0).

In ähnlicher Weise wird eine Menge unter einer Sammlung von Operationen als abgeschlossen bezeichnet, wenn sie unter jeder der Operationen einzeln abgeschlossen wird.

Grundeigenschaften

Eine Menge, die unter einer Operation oder Sammlung von Operationen geschlossen wird, soll eine Schließungseigenschaft erfüllen . Oftmals wird eine Abschlusseigenschaft als Axiom eingeführt , das dann meist als Abschlussaxiom bezeichnet wird . Moderne mengentheoretische Definitionen definieren Operationen normalerweise als Abbildungen zwischen Mengen, so dass das Hinzufügen von Abschluss zu einer Struktur als Axiom überflüssig ist; in der Praxis werden Operationen jedoch häufig anfänglich für eine Obermenge der fraglichen Menge definiert, und es ist ein Abschlussbeweis erforderlich, um festzustellen, dass die auf Paare aus dieser Menge angewendete Operation nur Mitglieder dieser Menge erzeugt. Zum Beispiel ist die Menge der geraden ganzen Zahlen durch die Addition abgeschlossen, die Menge der ungeraden ganzen Zahlen jedoch nicht.

Wenn eine Menge S unter einigen Operationen nicht abgeschlossen ist, kann man normalerweise die kleinste abgeschlossene Menge von S finden . Diese kleinste abgeschlossene Menge wird Abschluss von S (in Bezug auf diese Operationen) genannt. Zum Beispiel ist der Abschluss unter Subtraktion der Menge der natürlichen Zahlen, die als Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet wird, die Menge der ganzen Zahlen . Ein wichtiges Beispiel ist der topologische Abschluss . Der Begriff der Schließung wird durch die Galois-Verbindung verallgemeinert und weiter durch Monaden .

Die Menge S muss eine Teilmenge einer geschlossenen Menge sein, damit der Schließoperator definiert werden kann. Im vorherigen Beispiel ist es wichtig, dass die reellen Zahlen durch Subtraktion geschlossen werden; im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Subtraktion nicht immer definiert.

Die beiden Verwendungen des Wortes "Schließung" sollten nicht verwechselt werden. Die erstere Verwendung bezieht sich auf die Eigenschaft, abgeschlossen zu sein, und die letztere bezieht sich auf die kleinste abgeschlossene Menge, die eine Menge enthält, die nicht abgeschlossen werden darf. Kurz gesagt erfüllt der Abschluss einer Menge eine Abschlusseigenschaft.

Geschlossene Sätze

Eine Menge wird unter einer Operation geschlossen, wenn die Operation ein Mitglied der Menge zurückgibt, wenn sie für die Mitglieder der Menge ausgewertet wird. Manchmal wird die Anforderung, dass die Operation in einer Menge bewertet wird, explizit angegeben, in diesem Fall wird dies als Abschlussaxiom bezeichnet . Zum Beispiel kann man eine Gruppe als Menge mit einem binären Produktoperator definieren, der mehreren Axiomen gehorcht, einschließlich dem Axiom, dass das Produkt von zwei beliebigen Elementen der Gruppe wieder ein Element ist. Die moderne Definition einer Operation macht dieses Axiom jedoch überflüssig; eine n- äre Operation auf S ist nur eine Teilmenge von S n +1 . Per Definition kann ein Operator auf einer Menge keine Werte außerhalb der Menge haben.

Trotzdem hat die Abschlusseigenschaft eines Operators auf einer Menge immer noch einen gewissen Nutzen. Das Schließen einer Menge bedeutet nicht notwendigerweise das Schließen aller Teilmengen. So wird eine Untergruppe einer Gruppe ist , eine Teilmenge auf dem das binäre Produkt und die unäre Operation der Inversion den Verschluss Axiom genügen.

Eine Operation anderer Art besteht darin, die Grenzpunkte einer Teilmenge eines topologischen Raums zu finden . Eine Menge, die bei dieser Operation abgeschlossen ist, wird im Kontext der Topologie normalerweise als abgeschlossene Menge bezeichnet . Ohne weitere Qualifikation bedeutet der Ausdruck normalerweise geschlossen in diesem Sinne. Geschlossene Intervalle wie [1,2] = { x  : 1 ≤ x ≤ 2} sind in diesem Sinne abgeschlossen.

Eine Teilmenge einer teilweise geordneten Menge ist eine nach unten abgeschlossene Menge (auch untere Menge genannt ), wenn für jedes Element der Teilmenge alle kleineren Elemente auch in der Teilmenge enthalten sind. Dies gilt beispielsweise für die realen Abstände (-∞,  p ) und (-∞,  p ] und für eine Ordnungszahl p dargestellt als Intervall [0,  p ). Jede nach unten abgeschlossene Menge von Ordnungszahlen ist selbst eine Ordnungszahl. Aufwärts gerichtete geschlossene Mengen (auch obere Mengen genannt) werden ähnlich definiert.

Beispiele

Verschluss-Operator

Bei einer gegebenen Operation auf einer Menge X kann man die Abgeschlossenheit C ( S ) einer Teilmenge S von X als die kleinste abgeschlossene Teilmenge unter dieser Operation definieren, die S als Teilmenge enthält, falls solche Teilmengen existieren. Folglich ist C ( S ) der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die S enthalten . Der Abschluss einer Teilmenge einer Gruppe ist beispielsweise die von dieser Menge erzeugte Untergruppe .

Der Abschluss von Mengen in Bezug auf eine Operation definiert einen Abschlussoperator für die Teilmengen von X . Die abgeschlossenen Mengen können aus dem Abschlussoperator bestimmt werden; eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie gleich ihrem eigenen Abschluss ist. Typische strukturelle Eigenschaften aller Verschlussvorgänge sind:

  • Die Schließung ist zunehmend oder umfangreich : Die Schließung eines Objekts enthält das Objekt.
  • Der Verschluss ist idempotent : Der Verschluss des Verschlusses ist gleich dem Verschluss.
  • Der Abschluss ist monoton , dh wenn X in Y enthalten ist , dann ist auch C ( X ) in C ( Y ) enthalten.

Ein Objekt, das ein eigener Abschluss ist, wird geschlossen genannt . Durch Idempotenz ist ein Objekt genau dann geschlossen, wenn es die Schließung eines Objekts ist.

Diese drei Eigenschaften definieren einen abstrakten Abschlussoperator . Typischerweise wirkt ein abstrakter Abschluss auf die Klasse aller Teilmengen einer Menge.

Wenn X in einer durch die Operation abgeschlossenen Menge enthalten ist, dann hat jede Teilmenge von X einen Abschluss.

Binäre Relationsschließungen

Betrachten Sie zunächst homogene Beziehungen RA × A . Wenn eine Beziehung S erfüllt aSbbsa , dann ist es eine symmetrische Beziehung . Eine beliebige homogene Relation R kann nicht symmetrisch sein, aber sie ist immer in einer symmetrischen Relation enthalten: RS . Die Operation, das kleinste solche S zu finden, entspricht einem Abschlussoperator namens symmetrischer Abschluss .

Eine transitive Relation T erfüllt aTbbTcaTc . Eine beliebige homogene Relation R kann nicht transitiv sein, aber sie ist immer in einer transitiven Relation enthalten: RT . Die Operation, das kleinste solche T zu finden, entspricht einem Abschlussoperator, der als transitiver Abschluss bezeichnet wird .

Unter heterogenen Beziehungen gibt es Eigenschaften der Difunktionalität und des Kontakts, die zu einem difunktionellen Verschluss und Kontaktschluss führen . Das Vorhandensein dieser Abschlussoperatoren in binären Beziehungen führt zur Topologie, da offene Mengenaxiome durch Kuratowski-Abschlussaxiome ersetzt werden können . Somit entspricht jede Eigenschaft P , Symmetrie, Transitivität, Difunktionalität oder Kontakt einer relationalen Topologie.

In der Theorie der Umschreibungssysteme verwendet man häufig wortreichere Begriffe wie den reflexiven transitiven Verschluss R * - die kleinste Vorordnung, die R enthält , oder den reflexiven transitiven symmetrischen Verschluss R - die kleinste Äquivalenzbeziehung, die R enthält und daher auch als Äquivalenzschluss . Betrachtet man einen bestimmten Begriff der Algebra , so wird eine Äquivalenzrelation, die mit allen Operationen der Algebra kompatibel ist, als Kongruenzrelation bezeichnet . Der Kongruenzabschluss von R ist definiert als die kleinste Kongruenzrelation, die R enthält .

Für beliebiges P und R muss der P- Abschluss von R nicht existieren. In den obigen Beispielen liegen diese vor, weil Reflexivität, Transitivität und Symmetrie unter beliebigen Schnittpunkten abgeschlossen sind. In solchen Fällen kann der P- Abschluss direkt als Schnittpunkt aller Mengen mit der Eigenschaft P definiert werden, die R enthält .

Einige wichtige Einzelverschlüsse können konstruktiv wie folgt erreicht werden:

  • cl ref ( R ) = R ∪ { ⟨ x , x ⟩ : xS } ist der reflexive Abschluss von R ,
  • cl sym ( R ) = R ∪ { ⟨ y , x ⟩ : ⟨ x , y ⟩ ∈ R } ist sein symmetrischer Abschluss,
  • cl trn ( R ) = R ∪ {⟨ x 1 , x n ⟩: n > 1 ∧ ⟨ x 1 , x 2 ⟩, ..., ⟨ x n -1 , x n ⟩ ∈ R } ist die transitive Hülle ,
  • cl emb,Σ ( R ) = R ∪ { ⟨ f ( x 1 ,…, x i -1 , x i , x i +1 ,…, x n ), f ( x 1 ,…, x i -1 , y , x i +1 ,…, x n )⟩ : ⟨ x i , y ⟩ ∈ Rf ∈ Σ n -är ∧ 1 ≤ inx 1 ,..., x nS } ist sein Einbettungsabschluss in Bezug auf eine gegebene Menge Σ von Operationen auf S , jede mit einer festen Stelligkeit.

Die Relation R soll unter einigen cl xxx abgeschlossen sein , wenn R = cl xxx ( R ); zB heißt R symmetrisch, wenn R = cl sym ( R ).

Jeder dieser vier Abschlüsse bewahrt die Symmetrie, dh wenn R symmetrisch ist, ist es auch jedes cl xxx ( R ). In ähnlicher Weise bewahren alle vier die Reflexivität. Außerdem cl trn Konserven Schließung unter cl emb, Σ für beliebigen Σ. Infolgedessen kann der Äquivalenzschluss einer beliebigen binären Beziehung R als cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ))) erhalten werden, und der Kongruenzschluss in Bezug auf einige Σ kann als cl trn ( cl emb, erhalten werden). Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))). Im letzteren Fall spielt die Verschachtelungsreihenfolge eine Rolle; zB wenn S die Termmenge über Σ = { a , b , c , f } und R = { ⟨ a , b ⟩, ⟨ f ( b ), c ⟩ } ist, dann ist das Paar ⟨ f ( a ), c ⟩ ist im Kongruenzabschluss cl trn ( cl emb,Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))) von R enthalten , aber nicht in der Relation cl emb,Σ ( cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ) ))).

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise