Kohärenz (philosophische Glücksspielstrategie) - Coherence (philosophical gambling strategy)

In einem Gedankenexperiment des italienischen Wahrscheinlichkeitsforschers Bruno de Finetti , um die Bayessche Wahrscheinlichkeit zu rechtfertigen , ist eine Reihe von Wetten genau dann kohärent , wenn sie den Wettenden unabhängig von den Ergebnissen der Ereignisse, auf die sie wetten, keinen bestimmten Verlust aussetzen, selbst wenn ihr Gegner trifft die vernünftigsten Entscheidungen.

Operative subjektive Wahrscheinlichkeiten als Wettquoten

Man muss den Preis für ein Versprechen festlegen, 1 $ zu zahlen, wenn John Smith die morgige Wahl gewinnt, und sonst 0 $. Man weiß, dass der Gegner wählen kann, ob er einem ein solches Versprechen zu dem von ihm festgelegten Preis abkauft oder von ihm verlangt, ein solches Versprechen immer noch zum gleichen Preis zu kaufen. Mit anderen Worten: Spieler A legt die Quoten fest, aber Spieler B entscheidet, welche Seite der Wette er nimmt. Der Preis, den man festlegt, ist die "operative subjektive Wahrscheinlichkeit", die man dem Satz, auf den man setzt, zuweist.

Wenn man entscheidet, dass John Smith eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 12,5 % hat – eine willkürliche Bewertung – könnte man eine Quote von 7:1 dagegen setzen. Diese willkürliche Bewertung – die „operative subjektive Wahrscheinlichkeit“ – bestimmt die Auszahlung für eine erfolgreiche Wette. Bei diesen Wettquoten wird 1 $ entweder zu einem Verlust von 1 $ (wenn Smith verliert) oder zu einem Gewinn von 7 $ (wenn Smith gewinnt) führen. Wenn der $1 als Bedingung für die Wette als Pfand platziert wird, wird der $1 auch an den Wetter zurückerstattet, sollte der Wetter die Wette gewinnen.

Niederländische Bücher

Hauptartikel: Niederländisches Buch

Eine Person, die Preise für eine Reihe von Wetten so festgelegt hat, dass sie unabhängig vom Ergebnis einen Nettogewinn erzielt, soll ein niederländisches Buch gemacht haben . Wenn man ein niederländisches Buch hat, verliert der Gegner immer. Eine Person, die Preise so festlegt, dass ihr Gegner ein niederländisches Buch bekommt, verhält sich nicht rational. Die folgenden niederländischen Buchargumente zeigen also, dass rationale Agenten subjektive Wahrscheinlichkeiten haben müssen, die den allgemeinen Wahrscheinlichkeitsgesetzen folgen.

Ein sehr triviales niederländisches Buch

Die Regeln verbieten keinen festgelegten Preis von mehr als 1 $, aber ein umsichtiger Gegner kann einem ein hochpreisiges Ticket verkaufen, so dass der Gegner unabhängig vom Ausgang des Ereignisses, auf das die Wette abgeschlossen wird, die Nase vorn hat. Die Regeln verbieten auch keinen negativen Preis, aber ein Gegner kann dem Wetter ein bezahltes Versprechen entziehen, ihm oder ihr später zu zahlen, falls eine gewisse Kontingenz eintreten sollte. In beiden Fällen verliert der Preissetzer. Diese Lose-Lose-Situationen gehen mit der Tatsache einher, dass eine Wahrscheinlichkeit weder größer als 1 (Gewissheit) noch kleiner als 0 (keine Gewinnchance) sein kann.

Ein lehrreicheres niederländisches Buch

Angenommen, man legt den Preis für ein Versprechen fest, 1 $ zu zahlen, wenn die Boston Red Sox die World Series im nächsten Jahr gewinnen, und auch den Preis für ein Versprechen, 1 $ zu zahlen, wenn die New York Yankees gewinnen, und schließlich den Preis für ein Versprechen, 1 $ zu zahlen wenn entweder die Red Sox oder die Yankees gewinnen. Man kann die Preise so festlegen, dass

Legt man jedoch den Preis des dritten Tickets niedriger als die Summe der ersten beiden Tickets an, wird ein umsichtiger Gegner dieses Ticket kaufen und die anderen beiden Tickets an den Preissetzer verkaufen. Betrachtet man die drei möglichen Ergebnisse (Red Sox, Yankees, ein anderes Team), wird man feststellen, dass man unabhängig davon, welches der drei Ergebnisse eintreten wird, verlieren wird. Ein analoges Schicksal droht, wenn man den Preis des dritten Tickets höher ansetzt als die Summe der beiden anderen Preise. Dies entspricht der Tatsache, dass Wahrscheinlichkeiten sich gegenseitig ausschließender Ereignisse additiv sind (siehe Wahrscheinlichkeitsaxiome ).

Bedingte Wetten und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Stellen Sie sich nun ein komplizierteres Szenario vor. Man muss die Preise von drei Versprechen festlegen:

  • 1 $ zu zahlen, wenn die Red Sox das morgige Spiel gewinnen: Der Käufer dieses Versprechens verliert seine Wette, wenn die Red Sox nicht gewinnen, unabhängig davon, ob ihr Scheitern auf den Verlust eines abgeschlossenen Spiels oder die Absage des Spiels zurückzuführen ist, und
  • 1 $ zu zahlen, wenn die Red Sox gewinnen, und den Preis des Versprechens zurückzuerstatten, wenn das Spiel abgesagt wird, und
  • 1 $ zu zahlen, wenn das Spiel beendet ist, unabhängig davon, wer gewinnt.

Drei Ergebnisse sind möglich: Das Spiel wird abgebrochen; das Spiel wird gespielt und die Red Sox verlieren; das Spiel wird gespielt und die Red Sox gewinnen. Man kann die Preise so festlegen, dass

(wobei der zweite oben genannte Preis der der Wette ist, die die Rückerstattung im Falle einer Stornierung beinhaltet). (Anmerkung: Die Preise hier sind die dimensionslosen Zahlen, die durch Division durch 1 $ erhalten werden, was in allen drei Fällen die Auszahlung ist.) Ein umsichtiger Gegner schreibt drei lineare Ungleichungen in drei Variablen. Die Variablen sind die Beträge, die sie in jedes der drei Versprechen investieren; der Wert eines dieser Versprechen ist negativ, wenn der Preissetzer dieses Versprechen kauft, und positiv, wenn er es kauft. Jede Ungleichung entspricht einem der drei möglichen Ergebnisse. Jede Ungleichung besagt, dass der Nettogewinn Ihres Gegners mehr als null beträgt. Eine Lösung liegt vor, wenn die Determinante der Matrix nicht Null ist. Diese Determinante ist:

So kann ein umsichtiger Gegner den Preissetzer zu einem sicheren Verlierer machen, es sei denn, man setzt seine Preise auf eine Weise, die der einfachsten konventionellen Charakterisierung der bedingten Wahrscheinlichkeit entspricht .

Ein anderes Beispiel

Beim Kentucky Derby 2015 wurde der Favorit ("American Pharaoh") mit 5:2, der Zweitfavorit mit 3:1 und der Drittfavorit mit 8:1 ante-post gesetzt . Alle anderen Pferde hatten Quoten gegen 12:1 oder höher. Bei diesen Quoten würde ein Einsatz von 10 $ auf jeden der 18 Starter zu einem Nettoverlust führen, wenn entweder der Favorit oder der zweite Favorit gewinnen würde.

Wenn man jedoch davon ausgeht, dass kein Pferd mit einer Quote von 12:1 oder höher gewinnt, und man auf jeden der ersten drei $10 setzt, ist einem zumindest ein kleiner Gewinn garantiert. Der Favorit (der gewonnen hat) würde eine Auszahlung von 25 $ zuzüglich des zurückerstatteten Einsatzes von 10 $ ergeben, was ein Endguthaben von 35 $ (ein Nettozuwachs von 5 $) ergibt. Ein Sieg des zweiten Favoriten würde eine Auszahlung von 30 $ plus den ursprünglichen Einsatz von 10 $ ergeben, was eine Nettoerhöhung von 10 $ ergibt. Ein Sieg des dritten Favoriten bringt $80 plus die ursprünglichen $10, also einen Nettozuwachs von $60.

Diese Art von Strategie, soweit sie nur die ersten drei betrifft, bildet ein niederländisches Buch. Betrachtet man jedoch alle achtzehn Teilnehmer, dann existiert für dieses Rennen kein Niederländisches Buch.

Kohärenz

Es kann gezeigt werden, dass die Menge der Preise kohärent ist, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsaxiome und verwandte Ergebnisse wie das Einschluss-Ausschluss-Prinzip (aber nicht unbedingt abzählbare Additivität) erfüllen .

Siehe auch

Verweise

  • Junge, Frank (1996). Operationelle subjektive statistische Methoden: Eine mathematische, philosophische und historische Einführung . New York: Wiley . ISBN 0-471-14329-4.

Externe Links