Boltzmann-Gleichung - Boltzmann equation

Die Stellung der kinetischen Gleichung nach Boltzmann auf der Treppe der Modellreduktion von der mikroskopischen Dynamik zur makroskopischen Kontinuumsdynamik (Illustration zum Inhalt des Buches)

Die Boltzmann-Gleichung oder Boltzmann-Transportgleichung ( BTE ) beschreibt das statistische Verhalten eines nicht im Gleichgewicht befindlichen thermodynamischen Systems , das 1872 von Ludwig Boltzmann aufgestellt wurde. Das klassische Beispiel für ein solches System ist eine Flüssigkeit mit Temperaturgradienten im Raum, die Wärme zu durch den zufälligen, aber voreingenommenen Transport der Partikel , aus denen dieses Fluid besteht, von heißeren zu kälteren Regionen . In der modernen Literatur wird der Begriff Boltzmann-Gleichung oft in einem allgemeineren Sinne verwendet und bezieht sich auf jede kinetische Gleichung, die die Änderung einer makroskopischen Größe in einem thermodynamischen System wie Energie, Ladung oder Teilchenzahl beschreibt.

Die Gleichung ergibt sich nicht durch die einzelnen Analyse - Positionen und Impulse von jedem Teilchen in der Flüssigkeit , sondern durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Position und Impuls einer typischen partikel, die eine Überlegung ist, die Wahrscheinlichkeit , dass die Partikel einen gegebenen nehmen sehr kleinen Raumbereich (mathematisch das Volumenelement ), das an der Position zentriert ist und einen Impuls hat , der zu einem Zeitpunkt fast gleich einem gegebenen Impulsvektor ist (und somit einen sehr kleinen Bereich des Impulsraums einnimmt ).

Die Boltzmann-Gleichung kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie sich physikalische Größen wie Wärmeenergie und Impuls ändern , wenn ein Fluid transportiert wird. Man kann auch andere für Fluide charakteristische Eigenschaften wie Viskosität , Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit ableiten (indem die Ladungsträger in einem Material als Gas behandelt werden). Siehe auch Konvektions-Diffusions-Gleichung .

Die Gleichung ist eine nichtlineare Integro-Differentialgleichung , und die unbekannte Funktion in der Gleichung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im sechsdimensionalen Raum einer Teilchenposition und eines Impulses. Das Problem der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ist noch immer nicht vollständig gelöst, aber einige neuere Ergebnisse sind recht vielversprechend.

Überblick

Die Phasenraum- und Dichtefunktion

Die Menge aller möglichen Positionen r und Impulse p heißt Phasenraum des Systems; mit anderen Worten ein Satz von drei Koordinaten für jede Positionskoordinate x, y, z und drei weitere für jede Impulskomponente p x , p y , p z . Der gesamte Raum ist 6- dimensional : Ein Punkt in diesem Raum ist ( r , p ) = ( x, y, z, p x , p y , p z ), und jede Koordinate wird durch die Zeit t parametrisiert . Das kleine Volumen ( „differential Volumenelement “) geschrieben

Da die Wahrscheinlichkeit von N Molekülen , die alle haben , r und p innerhalb von in Frage, im Herzen der Gleichung ist eine Größe , f die diese Wahrscheinlichkeit pro Einheitsphasenraumvolumen ergibt, oder Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit in Würfel geschnitten pro Einheitsimpuls in Würfel geschnitten, um ein Zeitpunkt t . Dies ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion : f ( r , p , t ), definiert so, dass  

ist die Anzahl von Molekülen , die alle Positionen innerhalb eines Volumenelementes liegen haben etwa r und Impulse innerhalb eines liegenden Impulsraum Element über p zum Zeitpunkt t . Integrieren über eine Region von Ortsraum und Impulsraum ergibt die Gesamtzahl der Teilchen, die in dieser Region Orte und Impulse haben:

das ist ein 6-faches Integral . Während f einer Anzahl von Teilchen zugeordnet ist, gilt der Phasenraum für ein Teilchen (nicht alle, was bei deterministischen Vielteilchensystemen der Fall ist), da nur ein r und p in Frage kommen. Es ist nicht Teil der Analyse, r 1 , p 1 für Partikel 1, r 2 , p 2 für Partikel 2 usw. bis zu r N , p N für Partikel N zu verwenden .

Es wird angenommen, dass die Teilchen im System identisch sind (also jedes eine identische Masse m hat ). Bei einer Mischung aus mehr als einer chemischen Spezies wird für jede eine Verteilung benötigt, siehe unten.

Hauptaussage

Die allgemeine Gleichung kann dann geschrieben werden als

wobei der Term „Kraft“ den Kräften entspricht, die durch einen äußeren Einfluss auf die Partikel ausgeübt werden (nicht durch die Partikel selbst), der Term „diff“ die Diffusion von Partikeln und „col“ der Kollisionsterm ist – unter Berücksichtigung der Kräfte zwischen Teilchen bei Kollisionen wirken. Ausdrücke für jeden Begriff auf der rechten Seite werden unten bereitgestellt.

Beachten Sie, dass einige Autoren die Teilchengeschwindigkeit v anstelle des Impulses p verwenden ; sie hängen in der Impulsdefinition mit p = m v zusammen .

Die Kraft- und Diffusionsterme

Betrachten Sie Teilchen, die durch f beschrieben werden , von denen jedes eine äußere Kraft F erfährt , die nicht auf andere Teilchen zurückzuführen ist (siehe den Kollisionsterm für die letztere Behandlung).

Angenommen, zum Zeitpunkt t haben alle Teilchen den Ort r innerhalb des Elements und den Impuls p innerhalb von . Wenn eine Kraft F sofort auf jedes Teilchen wirkt, dann zum Zeitpunkt t + Δ t ihre Position, r + Δ R = und Impuls p + Δ p = p + F Δ t . Dann muss f in Abwesenheit von Kollisionen

Beachten Sie, dass wir die Tatsache verwendet haben, dass das Volumenelement des Phasenraums konstant ist, was mit den Hamilton-Gleichungen gezeigt werden kann (siehe die Diskussion unter dem Satz von Liouville ). Da jedoch Kollisionen auftreten, ändert sich die Teilchendichte im Phasenraumvolumen , also   

 

 

 

 

( 1 )

wobei Δ f ist die Gesamtänderung f . Dividiert man ( 1 ) durch  Δ t und nimmt die Grenzwerte Δ t → 0 und Δ f → 0, so gilt  

 

 

 

 

( 2 )

Das gesamte Differential von f ist:

 

 

 

 

( 3 )

wobei ∇ der Gradientenoperator ist , · das Skalarprodukt ist ,

ist eine Abkürzung für den Impuls analog ∇ und ê x , ê y , ê z sind kartesische Einheitsvektoren .

Abschlusserklärung

Dividieren ( 3 ) durch dt und Einsetzen in ( 2 ) ergibt:

Dabei ist F ( r , t ) das auf die Partikel im Fluid wirkende Kraftfeld und m die Masse der Partikel. Der Begriff auf der rechten Seite wird hinzugefügt, um die Auswirkung von Kollisionen zwischen Partikeln zu beschreiben; wenn es null ist, kollidieren die Teilchen nicht. Die kollisionsfreie Boltzmann-Gleichung, bei der einzelne Kollisionen durch weitreichende aggregierte Wechselwirkungen, zB Coulomb-Wechselwirkungen , ersetzt werden, wird oft als Vlasov-Gleichung bezeichnet .

Diese Gleichung ist nützlicher als die obige Hauptgleichung, aber immer noch unvollständig, da f nicht gelöst werden kann, wenn der Kollisionsterm in f nicht bekannt ist. Dieser Begriff ist nicht so leicht oder allgemein zu finden wie die anderen – es ist ein statistischer Begriff, der die Teilchenkollisionen repräsentiert und die Kenntnis der Statistiken erfordert, denen die Teilchen unterliegen, wie die Maxwell-Boltzmann- , Fermi-Dirac- oder Bose-Einstein- Verteilungen.

Der Stoßzahlansatz und das molekulare Chaos

Zwei-Körper-Kollisionsterm

Eine wichtige Erkenntnis von Boltzmann war die Bestimmung des Kollisionsterms, der sich ausschließlich aus Zweikörperkollisionen zwischen Teilchen ergibt, von denen angenommen wird, dass sie vor der Kollision unkorreliert waren. Diese Annahme wurde von Boltzmann als „ Stoßzahlansatz “ bezeichnet und ist auch als „ molekulare Chaosannahme “ bekannt . Unter dieser Annahme lässt sich der Kollisionsterm als Impulsraumintegral über das Produkt der Ein-Teilchen-Verteilungsfunktionen schreiben:

wobei p A und p B die Impulse von zwei beliebigen Teilchen (der Einfachheit halber als A und B bezeichnet ) vor einer Kollision sind, p′ A und p′ B die Impulse nach der Kollision sind,

ist die Größe der relativen Impulse (siehe Relativgeschwindigkeit für mehr über dieses Konzept), und I ( g , Ω) ist der differentielle Wirkungsquerschnitt des Stoßes, bei dem die relativen Impulse der kollidierenden Teilchen um einen Winkel θ in die Element des Raumwinkels d Ω, aufgrund der Kollision.

Vereinfachungen des Kollisionsterms

Da ein Großteil der Herausforderung bei der Lösung der Boltzmann-Gleichung vom komplexen Kollisionsterm herrührt, wurden Versuche unternommen, den Kollisionsterm zu "modellieren" und zu vereinfachen. Die bekannteste Modellgleichung stammt von Bhatnagar, Gross und Krook. Die Annahme in der BGK-Näherung ist, dass die Wirkung molekularer Kollisionen darin besteht, eine Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion an einem Punkt im physikalischen Raum zurück in eine Maxwellsche Gleichgewichtsverteilungsfunktion zu zwingen, und dass die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, proportional zur molekularen Kollisionsfrequenz ist . Die Boltzmann-Gleichung wird daher in die BGK-Form modifiziert:

wobei die molekulare Kollisionsfrequenz und die lokale Maxwellsche Verteilungsfunktion bei gegebener Gastemperatur an diesem Punkt im Raum ist.

Allgemeine Gleichung (für eine Mischung)

Für eine Mischung chemischer Spezies, die durch die Indizes i = 1, 2, 3, ..., n gekennzeichnet ist, lautet die Gleichung für Spezies i

wobei f i = f i ( r , p i , t ) und der Kollisionsterm ist

wobei f′ = f′ ( p′ i , t ), der Betrag der relativen Impulse ist

und I ij ist wie zuvor der differentielle Querschnitt zwischen den Teilchen i und j . Die Integration erfolgt über die Impulskomponenten im Integranden (die mit i und j bezeichnet sind ). Die Summe der Integrale beschreibt den Eintritt und Austritt von Teilchen der Spezies i in oder aus dem Phasenraumelement.

Anwendungen und Erweiterungen

Erhaltungsgleichungen

Die Boltzmann-Gleichung kann verwendet werden, um die fluiddynamischen Erhaltungssätze für Masse, Ladung, Impuls und Energie abzuleiten. Für eine Flüssigkeit, die nur aus einer Teilchensorte besteht, ist die Anzahldichte n gegeben durch

Der Durchschnittswert jeder Funktion A ist

Da die Erhaltungsgleichungen Tensoren beinhalten, wird die Einsteinsche Summationskonvention verwendet, wenn wiederholte Indizes in einem Produkt eine Summation über diese Indizes anzeigen. Somit und , wo ist der Teilchengeschwindigkeitsvektor. Definiere als eine Funktion nur des Impulses , die bei einer Kollision erhalten bleibt. Nehmen Sie auch an, dass die Kraft nur eine Funktion der Position ist und dass f null ist für . Die Multiplikation der Boltzmann-Gleichung mit A und die Integration über den Impuls ergibt vier Terme, die durch partielle Integration ausgedrückt werden können als

wobei der letzte Term null ist, da A bei einer Kollision erhalten bleibt. Ausgehend von der Masse des Teilchens wird die integrierte Boltzmann-Gleichung zur Massenerhaltungsgleichung:

wo ist die Massendichte und ist die durchschnittliche Fluidgeschwindigkeit.

Aus dem Impuls des Teilchens wird die integrierte Boltzmann-Gleichung zur Impulserhaltungsgleichung:

wo ist der Drucktensor (der viskose Spannungstensor plus der hydrostatische Druck ).

Aus der kinetischen Energie des Teilchens wird die integrierte Boltzmann-Gleichung zur Energieerhaltungsgleichung:

wobei die kinetische Wärmeenergiedichte und der Wärmestromvektor ist.

Hamiltonsche Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik wird die Boltzmann-Gleichung oft allgemeiner geschrieben als

wobei L der Liouville-Operator ist (es gibt eine inkonsistente Definition zwischen dem hier definierten Liouville-Operator und dem im verlinkten Artikel), der die Entwicklung eines Phasenraumvolumens beschreibt und C der Kollisionsoperator ist. Die nichtrelativistische Form von L ist

Quantentheorie und Verletzung der Teilchenzahlerhaltung

Es ist möglich, relativistische Quanten-Boltzmann-Gleichungen für relativistische Quantensysteme aufzuschreiben, in denen die Anzahl der Teilchen bei Stößen nicht erhalten bleibt. Dies hat mehrere Anwendungen in der physikalischen Kosmologie , darunter die Bildung der leichten Elemente bei der Urknall-Nukleosynthese , die Produktion dunkler Materie und die Baryogenese . Es ist nicht a priori klar, dass der Zustand eines Quantensystems durch eine klassische Phasenraumdichte f charakterisiert werden kann . Für eine breite Klasse von Anwendungen existiert jedoch eine wohldefinierte Verallgemeinerung von f , die die Lösung einer effektiven Boltzmann-Gleichung ist, die aus den ersten Prinzipien der Quantenfeldtheorie abgeleitet werden kann .

Allgemeine Relativitätstheorie und Astronomie

Die Boltzmann-Gleichung ist in der galaktischen Dynamik von Nutzen. Eine Galaxie kann unter bestimmten Annahmen als kontinuierliche Flüssigkeit angenähert werden; seine Massenverteilung wird dann durch f dargestellt ; in Galaxien sind physikalische Kollisionen zwischen den Sternen sehr selten, und die Wirkung von Gravitationskollisionen kann für Zeiten, die weit über das Alter des Universums hinausgehen , vernachlässigt werden .

Seine Verallgemeinerung in der Allgemeinen Relativitätstheorie . ist

wobei Γ α βγ das Christoffel-Symbol zweiter Art ist (dies setzt voraus, dass keine externen Kräfte vorhanden sind, sodass sich Teilchen ohne Kollisionen entlang von Geodäten bewegen), mit der wichtigen Feinheit, dass die Dichte eine Funktion in gemischter Kontravariante-Kovariante ist ( x i , p i ) Phasenraum im Gegensatz zum vollständig kontravarianten ( x i , p i ) Phasenraum.

In der physikalischen Kosmologie wurde der vollständig kovariante Ansatz verwendet, um die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung zu untersuchen. Allgemeiner ausgedrückt versucht die Untersuchung von Prozessen im frühen Universum oft, die Auswirkungen der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie zu berücksichtigen . In dem sehr dichten Medium, das das Urplasma nach dem Urknall bildet , werden kontinuierlich Teilchen erzeugt und vernichtet. In einer solchen Umgebung können Quantenkohärenz und die räumliche Ausdehnung der Wellenfunktion die Dynamik beeinflussen, sodass fraglich ist, ob die in der Boltzmann-Gleichung auftretende klassische Phasenraumverteilung f geeignet ist, das System zu beschreiben. In vielen Fällen ist es jedoch möglich, aus ersten Prinzipien der Quantenfeldtheorie eine effektive Boltzmann-Gleichung für eine verallgemeinerte Verteilungsfunktion abzuleiten . Dazu gehören die Bildung der hellen Elemente bei der Urknall-Nukleosynthese , die Produktion dunkler Materie und die Baryogenese .

Lösen der Gleichung

Exakte Lösungen der Boltzmann-Gleichungen wurden in einigen Fällen nachgewiesen; dieser analytische Ansatz bietet Einsichten, ist jedoch bei praktischen Problemen nicht allgemein anwendbar.

Stattdessen werden im Allgemeinen numerische Verfahren (einschließlich Finite-Elemente- und Gitter-Boltzmann-Verfahren ) verwendet, um Näherungslösungen für die verschiedenen Formen der Boltzmann-Gleichung zu finden. Anwendungsbeispiele reichen von Hyperschall-Aerodynamik in verdünnten Gasströmungen bis hin zu Plasmaströmungen. Eine Anwendung der Boltzmann-Gleichung in der Elektrodynamik ist die Berechnung der elektrischen Leitfähigkeit - das Ergebnis ist in führender Ordnung identisch mit dem semiklassischen Ergebnis.

Nahe dem lokalen Gleichgewicht kann die Lösung der Boltzmann-Gleichung durch eine asymptotische Entwicklung in Potenzen der Knudsen-Zahl (die Chapman-Enskog-Entwicklung ) dargestellt werden. Die ersten beiden Terme dieser Erweiterung ergeben die Euler-Gleichungen und die Navier-Stokes-Gleichungen . Die höheren Terme haben Singularitäten. Das Problem der mathematischen Entwicklung der Grenzprozesse, die aus der atomistischen Sicht (dargestellt durch die Boltzmann-Gleichung) zu den Bewegungsgesetzen der Kontinua führen, ist ein wichtiger Teil von Hilberts sechstem Problem .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Harris, Stewart (1971). Eine Einführung in die Theorie der Boltzmann-Gleichung . Dover-Bücher. P. 221. ISBN 978-0-486-43831-3.. Sehr kostengünstige Einführung in das moderne Framework (ausgehend von einer formalen Ableitung von Liouville und der Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon-Hierarchie (BBGKY), in die die Boltzmann-Gleichung eingeordnet ist). Die meisten Lehrbücher der statistischen Mechanik wie Huang behandeln das Thema immer noch mit Boltzmanns ursprünglichen Argumenten. Um die Gleichung abzuleiten, verwenden diese Bücher eine heuristische Erklärung, die den Gültigkeitsbereich und die charakteristischen Annahmen, die Boltzmanns von anderen Transportgleichungen wie Fokker-Planck- oder Landau-Gleichungen unterscheiden, nicht hervorhebt .

Externe Links