Kammfilter - Comb filter
In der Signalverarbeitung ist ein Kammfilter ein Filter, der implementiert wird, indem eine verzögerte Version eines Signals zu sich selbst hinzugefügt wird , was konstruktive und destruktive Interferenzen verursacht . Der Frequenzgang eines Kammfilters besteht aus einer Reihe von regelmäßig beabstandeten Kerben, die wie ein Kamm aussehen .
Anwendungen
Kammfilter werden in einer Vielzahl von Signalverarbeitungsanwendungen eingesetzt, darunter:
- Kaskadierte Integrator-Kamm- (CIC)-Filter, die häufig für Anti-Aliasing während Interpolations- und Dezimierungsoperationen verwendet werden, die die Abtastrate eines zeitdiskreten Systems ändern .
- 2D- und 3D-Kammfilter, die in Hardware (und gelegentlich Software) in analogen PAL- und NTSC- Fernsehdecodern implementiert sind , reduzieren Artefakte wie Dot Crawl .
- Audiosignalverarbeitung , einschließlich Delay , Flanger , Physical-Modeling-Synthese und digitaler Waveguide-Synthese . Wird die Verzögerung auf wenige Millisekunden eingestellt, kann ein Kammfilter die Wirkung von akustischen stehenden Wellen in einem zylindrischen Hohlraum oder in einer schwingenden Saite modellieren .
- In der Astronomie verspricht der Astro-Kamm , die Präzision bestehender Spektrographen um fast das Hundertfache zu steigern .
In der Akustik kann Kammfilterung als unerwünschtes Artefakt auftreten. Zum Beispiel erzeugen zwei Lautsprecher , die das gleiche Signal in unterschiedlichen Entfernungen vom Hörer abspielen, einen Kammfiltereffekt auf das Audio. In jedem geschlossenen Raum hören die Zuhörer eine Mischung aus Direktschall und reflektiertem Schall. Der reflektierte Schall nimmt im Vergleich zum Direktschall einen längeren, verzögerten Weg, und es entsteht ein Kammfilter, in dem sich die beiden beim Hörer mischen.
Implementierung
Kammfilter gibt es in zwei Formen, Feedforward und Feedback ; die sich auf die Richtung beziehen, in der Signale verzögert werden, bevor sie dem Eingang hinzugefügt werden.
Kammfilter können in zeitdiskreten oder zeitkontinuierlichen Formen implementiert werden, die sehr ähnlich sind.
Feedforward-Formular
Der allgemeine Aufbau eines Feedforward-Kammfilters wird durch die Differenzengleichung beschrieben :
wobei die Verzögerungslänge (gemessen in Abtastwerten) und α ein auf das verzögerte Signal angewendeter Skalierungsfaktor ist. Die z- Transformation beider Seiten der Gleichung ergibt:
Die Übertragungsfunktion ist definiert als:
Frequenzgang
Der Frequenzgang eines zeitdiskreten Systems, ausgedrückt im z- Bereich, wird durch Substitution z = e jΩ erhalten . Daher für den Feedforward-Kammfilter:
Mit der Euler-Formel ist der Frequenzgang auch gegeben durch
Von Interesse ist oft die Amplitudenantwort , die die Phase ignoriert. Dies ist definiert als:
Beim Feedforward-Kammfilter ist dies:
Der (1 + α 2 ) -Term ist konstant, während der 2 α cos( ΩK ) -Term periodisch variiert . Daher ist die Größenantwort des Kammfilters periodisch.
Die Graphen zeigen die Größenantwort für verschiedene Werte von α , was diese Periodizität demonstriert. Einige wichtige Eigenschaften:
- Die Antwort fällt periodisch auf ein lokales Minimum (manchmal als Notch bekannt ) und steigt periodisch auf ein lokales Maximum (manchmal als Peak bekannt ).
- Für positive Werte von α tritt das erste Minimum bei der halben Verzögerungszeit auf und wiederholt sich danach bei geraden Vielfachen der Verzögerungsfrequenz:
- .
- Die Ebenen der Maxima und Minima sind immer gleich weit von 1.
- Wenn α = ±1 ist , haben die Minima eine Amplitude von Null. In diesem Fall werden die Minima manchmal als Nullen bezeichnet .
- Die Maxima für positive Werte von α fallen mit den Minima für negative Werte von zusammen und umgekehrt.
Impulsive Reaktion
Das Feedforward-Kammfilter ist eines der einfachsten Filter mit endlicher Impulsantwort . Seine Antwort ist einfach der erste Impuls mit einem zweiten Impuls nach der Verzögerung.
Pol-Null-Interpretation
Betrachten wir noch einmal die z- Domänen-Übertragungsfunktion des Feedforward-Kammfilters:
der Zähler ist immer gleich Null, wenn z K = − α . Dies hat K Lösungen, die gleichmäßig um einen Kreis in der komplexen Ebene verteilt sind ; das sind die Nullstellen der Übertragungsfunktion. Der Nenner ist Null bei z K = 0 , was K Pole bei z = 0 ergibt . Dies führt zu einem Pol-Null-Diagramm wie dem gezeigten.
Feedback-Formular
In ähnlicher Weise wird die allgemeine Struktur eines Rückkopplungs-Kammfilters durch die Differenzengleichung beschrieben :
Diese Gleichung kann so umgeordnet werden, dass alle Terme in auf der linken Seite stehen, und dann die z- Transformation durchführen:
Die Übertragungsfunktion lautet daher:
Frequenzgang
Einsetzen von z = e jΩ in den z -Domänenausdruck für das Feedback-Kammfilter:
Die Größenantwort ist wie folgt:
Auch hier ist die Reaktion periodisch, wie die Grafiken zeigen. Der Feedback-Kammfilter hat einige Eigenschaften gemeinsam mit der Feedforward-Form:
- Die Antwort fällt periodisch auf ein lokales Minimum ab und steigt auf ein lokales Maximum an.
- Die Maxima für positive Werte von α fallen mit den Minima für negative Werte von zusammen und umgekehrt.
- Für positive Werte von α tritt das erste Maximum bei 0 auf und wiederholt sich danach mit geraden Vielfachen der Verzögerungsfrequenz:
- .
Es gibt jedoch auch einige wichtige Unterschiede, da die Magnitudenantwort einen Term im Nenner hat :
- Die Pegel der Maxima und Minima sind nicht mehr gleich weit von 1. Die Maxima haben eine Amplitude von 1/1 − α.
- Der Filter ist nur stabil, wenn | α | ist strikt kleiner als 1. Wie aus den Graphen ersichtlich ist, gilt als | α | steigt die Amplitude der Maxima immer schneller an.
Impulsive Reaktion
Der Rückkopplungs-Kammfilter ist ein einfacher Typ eines Filters mit unendlicher Impulsantwort . Wenn sie stabil ist, besteht die Antwort einfach aus einer sich wiederholenden Reihe von Impulsen, die mit der Zeit in ihrer Amplitude abnehmen.
Pol-Null-Interpretation
Betrachten Sie noch einmal die z- Domänen-Übertragungsfunktion des Feedback-Kammfilters:
Diesmal ist der Zähler bei z K = 0 null , was K Nullen bei z = 0 ergibt . Der Nenner ist immer gleich Null, wenn z K = α . Dies hat K Lösungen, die gleichmäßig um einen Kreis in der komplexen Ebene verteilt sind ; das sind die Pole der Übertragungsfunktion. Dies führt zu einem Pol-Null-Diagramm wie dem unten gezeigten.
Zeitkontinuierliche Kammfilter
Kammfilter können auch zeitkontinuierlich implementiert werden . Die Feedforward-Form kann durch die Gleichung beschrieben werden:
wobei τ die Verzögerung ist (gemessen in Sekunden). Dieser hat folgende Übertragungsfunktion:
Die Feedforward-Form besteht aus einer unendlichen Anzahl von Nullen, die entlang der jω-Achse beabstandet sind.
Das Feedbackformular hat die Gleichung:
und die folgende Übertragungsfunktion:
Die Rückkopplungsform besteht aus einer unendlichen Anzahl von Polen, die entlang der jω-Achse beabstandet sind.
Zeitkontinuierliche Implementierungen teilen alle Eigenschaften der jeweiligen zeitdiskreten Implementierungen.
Siehe auch
Verweise
Externe Links
- Medien im Zusammenhang mit Kammfiltern bei Wikimedia Commons