Vergleichende Statistiken - Comparative statics

In dieser Grafik zeigt die vergleichende Statistik einen Anstieg der Nachfrage, der zu einem Anstieg von Preis und Menge führt. Beim Vergleich zweier Gleichgewichtszustände beschreibt die vergleichende Statik nicht, wie die Erhöhungen tatsächlich auftreten .

In der Ökonomie ist die vergleichende Statik der Vergleich zweier unterschiedlicher wirtschaftlicher Ergebnisse vor und nach einer Änderung einiger zugrunde liegender exogener Parameter .

Als eine Art statische Analyse werden zwei verschiedene Gleichgewichtszustände nach dem Anpassungsprozess (falls vorhanden) verglichen . Es untersucht weder die Bewegung in Richtung Gleichgewicht noch den Prozess der Veränderung selbst.

Die vergleichende Statistik wird häufig verwendet, um Änderungen von Angebot und Nachfrage bei der Analyse eines Binnenmarkts und Änderungen der Geld- oder Fiskalpolitik bei der Analyse der gesamten Wirtschaft zu untersuchen . Die vergleichende Statik ist ein Analysewerkzeug in der Mikroökonomie (einschließlich der allgemeinen Gleichgewichtsanalyse ) und der Makroökonomie . Die vergleichende Statik wurde von John R. Hicks (1939) und Paul A. Samuelson (1947) (Kehoe, 1987, S. 517) formalisiert , jedoch mindestens ab den 1870er Jahren grafisch dargestellt.

Bei Modellen von stabilen Gleichgewichtsänderungsraten, wie beispielsweise das neoklassischen Wachstumsmodell , Vergleichsdynamik ist das Gegenstück von Vergleich Statik (Eatwell, 1987).

Lineare Näherung

Vergleichende statische Ergebnisse werden normalerweise unter Verwendung des impliziten Funktionssatzes abgeleitet , um eine lineare Annäherung an das Gleichungssystem zu berechnen , das das Gleichgewicht definiert, unter der Annahme, dass das Gleichgewicht stabil ist. Das heißt, wenn wir eine ausreichend kleine Änderung eines exogenen Parameters berücksichtigen, können wir berechnen, wie sich jede endogene Variable ändert, indem wir nur die ersten Ableitungen der Terme verwenden, die in den Gleichgewichtsgleichungen erscheinen.

Angenommen, der Gleichgewichtswert einer endogenen Variablen wird durch die folgende Gleichung bestimmt: ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle f (x, a) = 0 \,}

wo ist ein exogener Parameter. Dann muss in einer Näherung erster Ordnung die Änderung, die durch eine kleine Änderung verursacht wird, erfüllen: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle B {\ text {d}} x + C {\ text {d}} a = 0.}

Hier und stellt die Veränderungen und jeweils während und sind die partiellen Ableitungen mit Bezug auf und (ausgewertet auf den Anfangswert von und ), respectively. Entsprechend können wir die Änderung wie folgt schreiben : ${\ displaystyle {\ text {d}} x}$ ${\ displaystyle {\ text {d}} a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle {\ text {d}} x = -B ^ {- 1} C {\ text {d}} a.}

Die Division durch die letzte Gleichung durch d a ergibt die vergleichende statische Ableitung von x in Bezug auf a , auch Multiplikator von a auf x genannt :

{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} x} {{\ text {d}} a}} = - B ^ {- 1} C.}

Viele Gleichungen und Unbekannte

Alle obigen Gleichungen gelten für ein Gleichungssystem in Unbekannten. Mit anderen Worten, angenommen, es handelt sich um ein Gleichungssystem, das den Vektor von Unbekannten und den Vektor gegebener Parameter umfasst . Wenn wir eine ausreichend kleine Änderung der Parameter vornehmen, können die resultierenden Änderungen der endogenen Variablen beliebig gut durch angenähert werden . In diesem Fall stellt die × Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen in Bezug auf die Variablen dar und repräsentiert die × Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen in Bezug auf die Parameter . (Die Ableitungen in und werden bei den Anfangswerten von und ausgewertet .) Beachten Sie, dass die Cramer-Regel für das vollständig differenzierte Gleichungssystem verwendet werden kann , wenn nur der vergleichende statische Effekt einer exogenen Variablen auf eine endogene Variable gewünscht wird . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f (x, a) = 0}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle {\ text {d}} a}$ ${\ displaystyle {\ text {d}} x = -B ^ {- 1} C {\ text {d}} a}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle B {\ text {d}} x + C {\ text {d}} a \, = 0}$

Stabilität

Die Annahme, dass das Gleichgewicht stabil ist, ist aus zwei Gründen von Bedeutung. Erstens, wenn das Gleichgewicht instabil wäre, könnte eine kleine Parameteränderung einen großen Wertsprung von verursachen , was die Verwendung einer linearen Näherung ungültig macht. Darüber hinaus besagt das Korrespondenzprinzip von Paul A. Samuelson , dass die Stabilität des Gleichgewichts qualitative Auswirkungen auf die vergleichenden statischen Effekte hat. Mit anderen Worten, wenn wir wissen, dass das Gleichgewicht stabil ist, können wir vorhersagen, ob jeder der Koeffizienten im Vektor positiv oder negativ ist. Insbesondere ist eine der n notwendigen und gemeinsam ausreichenden Bedingungen für die Stabilität, dass die Determinante der n × n- Matrix B ein bestimmtes Vorzeichen hat; Da diese Determinante als Nenner im Ausdruck für erscheint , beeinflusst das Vorzeichen der Determinante die Vorzeichen aller Elemente des Vektors vergleichender statischer Effekte. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle B ^ {- 1} C}$ ${\ displaystyle B ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle B ^ {- 1} C {\ text {d}} a}$

Ein Beispiel für die Rolle der Stabilitätsannahme

Angenommen, die von einem Produkt angeforderten und gelieferten Mengen werden durch die folgenden Gleichungen bestimmt:

{\ displaystyle Q ^ {d} (P) = a + bP}

{\ displaystyle Q ^ {s} (P) = c + gP}

wo ist die nachgefragte Menge, ist die gelieferte Menge, P ist der Preis, a und c sind Schnittparameter, die durch exogene Einflüsse auf Nachfrage bzw. Angebot bestimmt werden, b <0 ist der Kehrwert der Steigung der Nachfragekurve und g ist die Kehrwert der Steigung der Angebotskurve; g > 0, wenn die Angebotskurve nach oben geneigt ist, g = 0, wenn die Angebotskurve vertikal ist, und g <0, wenn sich die Angebotskurve nach hinten biegt. Wenn wir die gelieferte Menge mit der nachgefragten Menge gleichsetzen, um den Gleichgewichtspreis zu ermitteln , finden wir das ${\ displaystyle Q ^ {d}}$ ${\ displaystyle Q ^ {s}}$ ${\ displaystyle P ^ {eqb}}$

{\ displaystyle P ^ {eqb} = {\ frac {ac} {gb}}.}

Dies bedeutet, dass der Gleichgewichtspreis positiv vom Nachfrageabschnitt abhängt, wenn g - b > 0 ist, aber negativ davon abhängt, wenn g - b <0. Welche dieser Möglichkeiten ist relevant? Ausgehend von einem anfänglichen statischen Gleichgewicht und einer anschließenden Änderung von a ist das neue Gleichgewicht nur dann relevant , wenn der Markt tatsächlich zu diesem neuen Gleichgewicht gelangt. Angenommen, Preisanpassungen auf dem Markt erfolgen gemäß

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = \ lambda (Q ^ {d} (P) -Q ^ {s} (P))}

Dabei ist > 0 der Parameter für die Geschwindigkeit der Anpassung und die zeitliche Ableitung des Preises. Dies bedeutet, wie schnell und in welche Richtung sich der Preis ändert. Durch die Stabilitätstheorie , P wird auf seinen Gleichgewichtswert konvergieren , wenn und nur wenn die Ableitung negativ ist. Diese Ableitung ist gegeben durch ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d (dP / dt)} {dP}}}$

{\ displaystyle {\ frac {d (dP / dt)} {dP}} = - \ lambda (-b + g).}

Dies ist genau dann negativ, wenn g - b > 0 ist. In diesem Fall beeinflusst der Nachfrageabfangparameter a den Preis positiv. Wir können also sagen, dass die Wirkungsrichtung des Nachfrageabschnitts auf den Gleichgewichtspreis nicht eindeutig ist, wenn wir nur wissen, dass der Kehrwert der Steigung der Angebotskurve g im einzig relevanten Fall (in dem der Preis tatsächlich ist) negativ ist geht auf seinen neuen Gleichgewichtswert) eine Erhöhung des Nachfrageabschnitts erhöht den Preis. Beachten Sie, dass dieser Fall mit g - b > 0 der Fall ist, in dem die Angebotskurve, wenn sie negativ geneigt ist, steiler als die Nachfragekurve ist.

Ohne Einschränkungen

Angenommen, es handelt sich um eine glatte und streng konkave Zielfunktion, bei der x ein Vektor von n endogenen Variablen und q ein Vektor von m exogenen Parametern ist. Betrachten Sie das uneingeschränkte Optimierungsproblem . Es sei die n mal n Matrix der ersten partiellen Ableitungen von in Bezug auf ihre ersten n Argumente x ₁ , ..., x _n . Der Maximierer wird durch die Bedingung n × 1 erster Ordnung definiert . ${\ displaystyle p (x; q)}$ ${\ displaystyle x ^ {*} (q) = \ arg \ max p (x; q)}$ ${\ displaystyle f (x; q) = D_ {x} p (x; q)}$ ${\ displaystyle p (x; q)}$ ${\ displaystyle x ^ {*} (q)}$ ${\ displaystyle f (x ^ {*} (q); q) = 0}$

Die vergleichende Statik fragt, wie sich dieser Maximierer als Reaktion auf Änderungen der m- Parameter ändert . Das Ziel ist zu finden . ${\ displaystyle \ partielle x_ {i} ^ {*} / \ partielle q_ {j}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m}$

Die strikte Konkavität der Zielfunktion impliziert, dass der Jacobi von f , der genau die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen von p in Bezug auf die endogenen Variablen ist, nicht singulär ist (eine Inverse hat). Durch das implizite Funktion Theorem dann kann lokal als stetig differenzierbare Funktion betrachtet, und die lokale Reaktion auf kleine Änderungen in q ist gegeben durch ${\ displaystyle x ^ {*} (q)}$ ${\ displaystyle x ^ {*} (q)}$

{\ displaystyle D_ {q} x ^ {*} (q) = - [D_ {x} f (x ^ {*} (q); q)] ^ {- 1} D_ {q} f (x ^ { *} (q); q).}

Anwenden der Kettenregel und der Bedingung erster Ordnung,

{\ displaystyle D_ {q} p (x ^ {*} (q), q) = D_ {q} p (x; q) | _ {x = x ^ {*} (q)}.}

(Siehe Umschlagsatz ).

Antrag auf Gewinnmaximierung

Angenommen, eine Firma produziert n Waren in Mengen . Der Gewinn des Unternehmens ist eine Funktion p von und von m exogenen Parametern, die beispielsweise verschiedene Steuersätze darstellen können. Vorausgesetzt, die Gewinnfunktion erfüllt die Anforderungen an Glätte und Konkavität, beschreibt die obige vergleichende statische Methode die Änderungen des Unternehmensgewinns aufgrund geringfügiger Änderungen der Steuersätze. ${\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {1}, ..., q_ {m}}$

Mit Einschränkungen

Eine Verallgemeinerung des obigen Verfahrens ermöglicht es dem Optimierungsproblem, eine Reihe von Einschränkungen einzuschließen. Dies führt zum allgemeinen Hüllkurvensatz . Zu den Anwendungen gehört die Bestimmung von Änderungen der Marshallschen Nachfrage als Reaktion auf Preis- oder Lohnänderungen.

Einschränkungen und Erweiterungen

Eine Einschränkung der vergleichenden Statik unter Verwendung des impliziten Funktionssatzes besteht darin, dass die Ergebnisse nur in einer (möglicherweise sehr kleinen) Nachbarschaft des Optimums gültig sind, dh nur für sehr kleine Änderungen der exogenen Variablen. Eine weitere Einschränkung ist der potenziell zu restriktive Charakter der Annahmen, die üblicherweise zur Rechtfertigung vergleichender statischer Verfahren verwendet werden. Zum Beispiel entdeckte John Nachbar in einer seiner Fallstudien, dass die Verwendung der vergleichenden Statik in der allgemeinen Gleichgewichtsanalyse am besten mit sehr kleinen, individuellen Datenebenen und nicht auf aggregierter Ebene funktioniert.

Paul Milgrom und Chris Shannon wiesen 1994 darauf hin, dass die Annahmen, die üblicherweise verwendet werden, um die Verwendung von Vergleichsstatik bei Optimierungsproblemen zu rechtfertigen, nicht wirklich notwendig sind - insbesondere die Annahmen der Konvexität bevorzugter Mengen oder Beschränkungsmengen, der Glätte ihrer Grenzen, erstens und zweitens abgeleitete Bedingungen und Linearität von Budgetsätzen oder Zielfunktionen. Tatsächlich kann manchmal ein Problem, das diese Bedingungen erfüllt, monoton transformiert werden, um ein Problem mit identischer Vergleichsstatik zu ergeben, das jedoch einige oder alle dieser Bedingungen verletzt. Daher sind diese Bedingungen nicht erforderlich, um die vergleichende Statik zu rechtfertigen. Aus dem Artikel von Milgrom und Shannon sowie den Ergebnissen von Veinott und Topkis wurde ein wichtiger Teil der operativen Forschung entwickelt, der als monotone Vergleichsstatik bezeichnet wird . Insbesondere konzentriert sich diese Theorie auf die vergleichende statische Analyse unter Verwendung nur von Bedingungen, die unabhängig von ordnungserhaltenden Transformationen sind. Die Methode verwendet die Gittertheorie und führt die Begriffe Quasi-Supermodularität und Single-Crossing-Bedingung ein. Die breite Anwendung der monotonen vergleichenden Statik auf die Wirtschaft umfasst Produktionstheorie, Verbrauchertheorie, Spieltheorie mit vollständigen und unvollständigen Informationen, Auktionstheorie und andere.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

John Eatwell et al., Hrsg. (1987). "Vergleichende Dynamik", The New Palgrave: Ein Wörterbuch der Wirtschaft , v. 1, p. 517.
John R. Hicks (1939). Wert und Kapital .
Timothy J. Kehoe, 1987. "Vergleichende Statik", The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, S. 517–20.
Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston und Jerry R. Green, 1995. Mikroökonomische Theorie .
Paul A. Samuelson (1947). Grundlagen der Wirtschaftsanalyse .
Eugene Silberberg und Wing Suen, 2000. Die Struktur der Wirtschaft: Eine mathematische Analyse , 3. Auflage.

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