Zusammengesetzte Zahl - Composite number

Demonstration der Teiler der zusammengesetzten Zahl 10 . mit Cuisenaire-Stäben
Vergleich von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine positive ganze Zahl , die durch Multiplikation von zwei kleineren positiven ganzen Zahlen gebildet werden kann. Äquivalent ist es eine positive ganze Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat. Jede positive ganze Zahl ist zusammengesetzt, prim oder die Einheit  1, also sind die zusammengesetzten Zahlen genau die Zahlen, die keine Primzahlen und keine Einheit sind.

Zum Beispiel ist die ganze Zahl 14 eine zusammengesetzte Zahl, weil sie das Produkt der zwei kleineren ganzen Zahlen 2  ×  7 ist . Ebenso sind die ganzen Zahlen 2 und 3 keine zusammengesetzten Zahlen, da jede von ihnen nur durch eins und sich selbst dividiert werden kann.

Die zusammengesetzten Zahlen bis 150 sind

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (Sequenz A002808 im OEIS )

Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt von zwei oder mehr (nicht unbedingt verschiedenen) Primzahlen geschrieben werden. Zum Beispiel kann die zusammengesetzte Zahl 299 als 13 × 23 geschrieben werden, und die zusammengesetzte Zahl 360 kann als 2 3 × 3 2 × 5 geschrieben werden; außerdem ist diese Darstellung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig . Diese Tatsache wird als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet .

Es gibt mehrere bekannte primality Tests , die bestimmen kann , ob eine Zahl eine Primzahl ist oder zusammengesetzte, ohne notwendigerweise die Faktorisierung eines zusammengesetzten Eingangs enthüllt.

Typen

Eine Möglichkeit, zusammengesetzte Zahlen zu klassifizieren, besteht darin, die Anzahl der Primfaktoren zu zählen. Eine zusammengesetzte Zahl mit zwei Primfaktoren ist eine Semiprime oder 2-fast Primzahl (die Faktoren müssen nicht verschieden sein, daher werden Quadrate von Primzahlen eingeschlossen). Eine zusammengesetzte Zahl mit drei verschiedenen Primfaktoren ist eine sphenische Zahl . Bei einigen Anwendungen ist es notwendig, zwischen zusammengesetzten Zahlen mit einer ungeraden Anzahl von verschiedenen Primfaktoren und solchen mit einer geraden Anzahl von verschiedenen Primfaktoren zu unterscheiden. Für letztere

(wobei μ die Möbius-Funktion und x die Hälfte der Summe der Primfaktoren ist), während für erstere

Für Primzahlen gibt die Funktion jedoch auch −1 und zurück . Für eine Zahl n mit einem oder mehreren wiederholten Primfaktoren gilt

.

Wenn alle Primfaktoren einer Zahl wiederholt werden, nennt man sie eine mächtige Zahl (Alle perfekten Potenzen sind mächtige Zahlen). Wenn keiner seiner Primfaktoren wiederholt wird, heißt es quadratfrei . (Alle Primzahlen und 1 sind quadratfrei.)

Zum Beispiel 72 = 2 3 × 3 2 , alle Primfaktoren werden wiederholt, also ist 72 eine starke Zahl. 42 = 2 × 3 × 7, keiner der Primfaktoren wiederholt sich, also ist 42 quadratfrei.

Eine andere Möglichkeit, zusammengesetzte Zahlen zu klassifizieren, besteht darin, die Anzahl der Teiler zu zählen. Alle zusammengesetzten Zahlen haben mindestens drei Teiler. Im Fall von Quadraten von Primzahlen sind diese Teiler . Eine Zahl n , die mehr Teiler als alle x < n hat, ist eine sehr zusammengesetzte Zahl (obwohl die ersten beiden Zahlen 1 und 2 sind).

Zusammengesetzte Zahlen wurden auch "Rechteckzahlen" genannt, aber dieser Name kann sich auch auf die pronischen Zahlen beziehen , Zahlen, die das Produkt zweier aufeinanderfolgender Ganzzahlen sind.

Eine weitere Möglichkeit, zusammengesetzte Zahlen zu klassifizieren, besteht darin, zu bestimmen, ob alle Primfaktoren entweder alle unter oder alle über einer festen (Prim-)Zahl liegen. Solche Zahlen werden glatte Zahlen bzw. grobe Zahlen genannt .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Fraleigh, John B. (1976), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (2. Aufl.), Lesung: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
  • Herstein, IN (1964), Themen in Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
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  • McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition , Boston: Allyn and Bacon , LCCN  68-15225
  • Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elemente der Zahlentheorie , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766

Externe Links