Konkave Funktion - Concave function

In der Mathematik ist eine konkave Funktion das Negative einer konvexen Funktion . Eine konkave Funktion wird auch synonym als konkav nach unten , konkav nach unten , konvex nach oben , konvexe Kappe oder obere konvex bezeichnet .

Definition

Eine reellwertige Funktion auf einem Intervall (oder, allgemeiner, eine konvexe Menge in Vektorraum ) wird gesagt, dass konkave wenn aus irgendeinem , und in dem Intervall und für eine beliebige ,

Eine Funktion heißt streng konkav wenn

für jeden und .

Für eine Funktion besagt diese zweite Definition lediglich, dass für jeden Punkt genau zwischen und der Punkt im Diagramm von über der geraden Linie liegt, die die Punkte und verbindet .

ConcaveDef.png

Eine Funktion ist quasikonkav, wenn die oberen Kontursätze der Funktion konvexe Sätze sind.

Eigenschaften

Funktionen einer einzelnen Variablen

1. Eine differenzierbare Funktion f ist (streng) konkav auf einem Intervall , wenn und nur wenn seine Derivat Funktion f ' ist (streng) monoton fallend auf dem Intervall, das heißt, eine konkave Funktion eine nicht-zunehmenden (abnehmenden ) aufweist Steigung .

2. Punkte, an denen sich die Konkavität ändert (zwischen konkav und konvex ), sind Wendepunkte .

3. Wenn f ist zweimal im differenzierbar , dann f konkav ist, wenn und nur wenn f '' ist kraft- (oder informell, wenn die „ Beschleunigung “ ist nicht-positiv). Wenn seine zweite Ableitung negativ ist, ist es streng konkav, aber die Umkehrung ist nicht wahr, wie durch f ( x ) = - x 4 gezeigt .

4. Wenn f konkav und differenzierbar ist, wird es oben durch seine Taylor-Näherung erster Ordnung begrenzt :

5. Eine messbare Lebesgue-Funktion in einem Intervall C ist genau dann konkav, wenn sie in der Mitte konkav ist, dh für jedes x und y in C.

6. Wenn eine Funktion f konkav ist , und f (0) ≥ 0 , dann f IS subadditive auf . Beweis:

  • Da f konkav und 1 ≥ t ≥ 0 ist , haben wir y = 0
  • Für :

Funktionen von n Variablen

1. Eine Funktion f ist genau dann konkav über einer konvexen Menge, wenn die Funktion −f eine konvexe Funktion über der Menge ist.

2. Die Summe von zwei konkaven Funktionen ist selbst konkav, ebenso wie das punktweise Minimum von zwei konkaven Funktionen, dh die Menge der konkaven Funktionen in einer bestimmten Domäne bildet ein Halbfeld .

3. In der Nähe eines lokalen Maximums im Inneren der Domäne einer Funktion muss die Funktion konkav sein. Als partielle Umkehrung ist dieser Punkt ein lokales Maximum, wenn die Ableitung einer streng konkaven Funktion irgendwann Null ist.

4. Jedes lokale Maximum einer konkaven Funktion ist auch ein globales Maximum . Eine streng konkave Funktion hat höchstens ein globales Maximum.

Beispiele

  • Die Funktionen und sind in ihren Domänen als zweite Ableitungen konkav und immer negativ.
  • Die Logarithmus - Funktion ist konkav auf seiner Domäne , wie ihr Derivat eine strikt abnehmende Funktion ist.
  • Jede affine Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, jedoch weder streng konkav noch streng konvex.
  • Die Sinusfunktion ist im Intervall konkav .
  • Die Funktion , bei der es sich um die Determinante einer nichtnegativ-definierten Matrix B handelt , ist konkav.

Anwendungen

Siehe auch

Verweise

Weitere Referenzen