Kongruenz (Geometrie) - Congruence (geometry)

Ein Beispiel für Kongruenz. Die beiden Dreiecke auf der linken Seite sind deckungsgleich, während das dritte ihnen ähnlich ist . Das letzte Dreieck ist weder kongruent noch ähnlich zu den anderen. Kongruenz erlaubt die Änderung einiger Eigenschaften, wie Lage und Ausrichtung, lässt andere jedoch unverändert, wie Entfernungen und Winkel . Die unveränderten Eigenschaften werden Invarianten genannt .

In der Geometrie sind zwei Figuren oder Objekte deckungsgleich, wenn sie die gleiche Form und Größe haben oder wenn eine die gleiche Form und Größe wie das Spiegelbild des anderen hat.

Formaler gesagt heißen zwei Mengen von Punkten genau dann kongruent, wenn sie durch eine Isometrie , dh eine Kombination von starren Bewegungen , nämlich einer Translation , einer Rotation und einer Spiegelung , in die andere umgewandelt werden können . Dies bedeutet, dass jedes Objekt neu positioniert und reflektiert (aber nicht in der Größe geändert) werden kann, um genau mit dem anderen Objekt zusammenzufallen. Zwei verschiedene ebene Figuren auf einem Blatt Papier sind also deckungsgleich, wenn wir sie ausschneiden und dann vollständig zuordnen können. Das Umdrehen des Papiers ist erlaubt.

Dieses Diagramm veranschaulicht das geometrische Prinzip der Winkel-Winkel-Seiten-Dreieckskongruenz: Bei gegebenem Dreieck ABC und Dreieck A'B'C' ist das Dreieck ABC mit dem Dreieck A'B'C' genau dann kongruent, wenn: der Winkel CAB mit dem Winkel kongruent ist C'A'B', und der Winkel ABC ist kongruent mit dem Winkel A'B'C', und BC ist kongruent mit B'C'. Hinweis Schraffurmarkierungen werden hier verwendet, um Winkel- und Seitengleichheiten anzuzeigen.

In der elementaren Geometrie wird das Wort kongruent oft wie folgt verwendet. Das Wort gleich wird für diese Objekte oft anstelle von kongruent verwendet .

  • Zwei Liniensegmente sind deckungsgleich, wenn sie die gleiche Länge haben.
  • Zwei Winkel sind deckungsgleich, wenn sie das gleiche Maß haben.
  • Zwei Kreise sind deckungsgleich, wenn sie den gleichen Durchmesser haben.

In diesem Sinne bedeutet zwei ebene Figuren kongruent , dass ihre entsprechenden Eigenschaften "kongruent" oder "gleich" sind, einschließlich nicht nur ihrer entsprechenden Seiten und Winkel, sondern auch ihrer entsprechenden Diagonalen, Umfänge und Flächen.

Das verwandte Ähnlichkeitskonzept gilt, wenn die Objekte die gleiche Form haben, aber nicht notwendigerweise die gleiche Größe haben. (Die meisten Definitionen betrachten Kongruenz als eine Form der Ähnlichkeit, obwohl eine Minderheit verlangt, dass die Objekte unterschiedliche Größen haben, um als ähnlich zu gelten.)

Kongruenz von Polygonen ermitteln

Die orangefarbenen und grünen Vierecke sind deckungsgleich; das Blau ist ihnen nicht deckungsgleich. Alle drei haben den gleichen Umfang und die gleiche Fläche . (Die Reihenfolge der Seiten des blauen Vierecks ist "gemischt", was dazu führt, dass zwei der Innenwinkel und eine der Diagonalen nicht deckungsgleich sind.)

Damit zwei Polygone deckungsgleich sind, müssen sie die gleiche Anzahl von Seiten (und damit die gleiche Anzahl – die gleiche Anzahl – von Scheitelpunkten) haben. Zwei Polygone mit n Seiten sind genau dann deckungsgleich, wenn sie jeweils numerisch identische Folgen haben (auch im Uhrzeigersinn für das eine Polygon und gegen den Uhrzeigersinn für das andere) Seitenwinkel-Seitenwinkel-... für n Seiten und n Winkel.

Die Kongruenz von Polygonen kann grafisch wie folgt festgestellt werden:

  • Ordne zuerst die entsprechenden Eckpunkte der beiden Figuren zu und beschrifte sie.
  • Zweitens zeichnen Sie einen Vektor von einem der Eckpunkte der einen Figur zum entsprechenden Eckpunkt der anderen Figur. Übersetze die erste Figur um diesen Vektor, sodass diese beiden Scheitelpunkte übereinstimmen.
  • Drittens drehen Sie die verschobene Figur um den übereinstimmenden Scheitelpunkt, bis ein Paar entsprechender Seiten übereinstimmt.
  • Viertens spiegeln Sie die gedrehte Figur um diese übereinstimmende Seite, bis die Figuren übereinstimmen.

Wenn der Schritt zu irgendeinem Zeitpunkt nicht abgeschlossen werden kann, sind die Polygone nicht deckungsgleich.

Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre entsprechenden Seiten gleich lang und ihre entsprechenden Winkel gleich groß sind.

Wenn das Dreieck ABC kongruent zum Dreieck DEF ist, kann die Beziehung mathematisch geschrieben werden als:

In vielen Fällen reicht es aus, die Gleichheit dreier korrespondierender Teile festzustellen und aus einem der folgenden Ergebnisse die Kongruenz der beiden Dreiecke abzuleiten.

Die Form eines Dreiecks wird bis zur Kongruenz bestimmt, indem zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SAS), zwei Winkel und die Seite dazwischen (ASA) oder zwei Winkel und eine entsprechende angrenzende Seite (AAS) angegeben werden. Die Angabe von zwei Seiten und einem angrenzenden Winkel (SSA) kann jedoch zwei verschiedene mögliche Dreiecke ergeben.

Kongruenz ermitteln

Ausreichende Beweise für die Kongruenz zwischen zwei Dreiecken im euklidischen Raum können durch die folgenden Vergleiche gezeigt werden:

  • SAS (Seitenwinkel-Seite): Wenn zwei Seitenpaare zweier Dreiecke gleich lang sind und die eingeschlossenen Winkel gleich groß sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.
  • SSS (side-side-side): Wenn drei Seitenpaare zweier Dreiecke gleich lang sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.
  • ASA (Winkel-Seiten-Winkel): Wenn zwei Winkelpaare zweier Dreiecke gleich groß sind und die eingeschlossenen Seiten gleich lang sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.

Das ASA-Postulat wurde von Thales von Milet (Grieche) beigesteuert . In den meisten Axiomensystemen sind die drei Kriterien – SAS, SSS und ASA – als Theoreme etabliert . Im Studiengruppensystem Schulmathematik wird SAS als eines (#15) von 22 Postulaten genommen.

  • AAS (Winkel-Winkel-Seite): Wenn zwei Winkelpaare zweier Dreiecke gleich groß sind und ein Paar entsprechender nicht eingeschlossener Seiten gleich lang sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich. AAS entspricht einer ASA-Bedingung dadurch, dass, wenn zwei beliebige Winkel gegeben sind, auch der dritte Winkel gegeben ist, da ihre Summe 180° betragen sollte. ASA und AAS werden manchmal zu einer einzigen Bedingung kombiniert, AAcorrS – zwei beliebige Winkel und eine entsprechende Seite.
  • RHS (right-angle-hypotenuse-side), auch bekannt als HL (Hypotenuse-Leg): Wenn die Hypotenusen zweier rechtwinkliger Dreiecke gleich lang sind und ein Paar kürzerer Seiten gleich lang ist, dann sind die Dreiecke deckungsgleich .

Seitenwinkel

Die SSA-Bedingung (side-side-angle), die zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel angibt (auch bekannt als ASS oder angle-side-side), beweist allein keine Kongruenz. Um die Kongruenz zu zeigen, werden zusätzliche Informationen benötigt, wie das Maß der entsprechenden Winkel und in einigen Fällen die Längen der beiden korrespondierenden Seitenpaare. Es gibt einige mögliche Fälle:

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite größer oder gleich der Länge der angrenzenden Seite ist (SSA oder lange Seite-kurzer Seitenwinkel), dann sind die beiden Dreiecke deckungsgleich. Die gegenüberliegende Seite ist manchmal länger, wenn die entsprechenden Winkel spitz sind, aber sie ist immer länger, wenn die entsprechenden Winkel recht oder stumpf sind. Wenn der Winkel ein rechter Winkel ist, auch bekannt als Hypotenuse-Bein (HL)-Postulat oder Rechtwinklige-Hypotenuse-Seite (RHS)-Bedingung, kann die dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, sodass das SSS-Postulat angewandt.

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die entsprechenden Winkel spitz sind und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Länge der angrenzenden Seite multipliziert mit dem Sinus des Winkels ist, dann sind die beiden Dreiecke deckungsgleich.

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die entsprechenden Winkel spitz sind und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite größer ist als die Länge der angrenzenden Seite multipliziert mit dem Sinus des Winkels (jedoch kleiner als die Länge der angrenzenden Seite), dann kann nicht gezeigt werden, dass die beiden Dreiecke deckungsgleich sind. Dies ist der mehrdeutige Fall und aus den gegebenen Informationen können zwei verschiedene Dreiecke gebildet werden, aber weitere Informationen, die sie unterscheiden, können zu einem Kongruenznachweis führen.

Winkel-Winkel-Winkel

In der euklidischen Geometrie gibt AAA (Winkel-Winkel-Winkel) (oder nur AA, da sich in der euklidischen Geometrie die Winkel eines Dreiecks zu 180° addieren) keine Auskunft über die Größe der beiden Dreiecke und beweist somit nur Ähnlichkeit und nicht Kongruenz im euklidischen Raum.

In sphärischer Geometrie und hyperbolischer Geometrie (bei der die Summe der Winkel eines Dreiecks mit der Größe variiert) ist jedoch AAA für die Kongruenz auf einer gegebenen Oberflächenkrümmung ausreichend.

CPCTC

Dieses Akronym steht für Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent eine abgekürzte Version der Definition von kongruenten Dreiecken.

Genauer gesagt ist es eine prägnante Art zu sagen, dass, wenn die Dreiecke ABC und DEF kongruent sind, d.h.

mit entsprechenden Winkelpaaren an den Ecken A und D ; B und E ; und C und F , und mit entsprechenden Seitenpaaren AB und DE ; BC und EF ; und CA und FD , dann sind die folgenden Aussagen wahr:

Die Aussage wird oft als Begründung in elementaren Geometriebeweisen verwendet, wenn eine Schlussfolgerung auf die Kongruenz von Teilen zweier Dreiecke benötigt wird, nachdem die Kongruenz der Dreiecke festgestellt wurde. Wenn beispielsweise gezeigt wurde, dass zwei Dreiecke durch die SSS- Kriterien kongruent sind und in einem Beweis eine Aussage benötigt wird, dass entsprechende Winkel kongruent sind, dann kann CPCTC als Begründung für diese Aussage verwendet werden.

Ein verwandtes Theorem ist CPCFC , in dem "Dreiecke" durch "Figuren" ersetzt werden, so dass das Theorem für jedes Paar von Polygonen oder Polyedern gilt , die kongruent sind.

Definition der Kongruenz in der analytischen Geometrie

In einem euklidischen System ist Kongruenz von grundlegender Bedeutung; es ist das Gegenstück zur Gleichheit der Zahlen. In der analytischen Geometrie kann Kongruenz intuitiv wie folgt definiert werden: Zwei Abbildungen von Figuren auf ein kartesisches Koordinatensystem sind genau dann kongruent, wenn für zwei beliebige Punkte in der ersten Abbildung der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem euklidischen Abstand zwischen den entsprechenden Punkte in der zweiten Abbildung.

Eine formalere Definition besagt, dass zwei Teilmengen A und B des euklidischen Raums R n kongruent heißen, wenn es eine Isometrie f  : R nR n (ein Element der euklidischen Gruppe E ( n )) mit f ( A ) = B . gibt . Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation .

Kongruente Kegelschnitte

Zwei Kegelschnitte sind deckungsgleich, wenn ihre Exzentrizitäten und ein anderer, sie charakterisierender Parameter gleich sind. Ihre Exzentrizitäten legen ihre Formen fest, deren Gleichheit ausreicht, um Ähnlichkeit herzustellen, und der zweite Parameter legt dann die Größe fest. Da zwei Kreise , Parabeln oder rechteckige Hyperbeln immer die gleiche Exzentrizität haben (insbesondere 0 bei Kreisen, 1 bei Parabeln und bei rechteckigen Hyperbeln), müssen zwei Kreise, Parabeln oder rechteckige Hyperbeln nur ein anderer gemeinsamer Parameterwert, der ihre Größe festlegt, damit sie kongruent sind.

Kongruente Polyeder

Für zwei Polyeder mit demselben kombinatorischen Typ (d. h. dieselbe Anzahl E von Kanten, dieselbe Anzahl von Flächen und dieselbe Anzahl von Seiten auf entsprechenden Flächen) gibt es eine Menge von E- Messungen, die feststellen können, ob die Polyeder sind kongruent. Die Zahl ist eng, was bedeutet, dass weniger als E- Messungen nicht ausreichen, wenn die Polyeder generisch unter ihrem kombinatorischen Typ sind. Für Sonderfälle können jedoch auch weniger Messungen funktionieren. Zum Beispiel Würfel haben 12 Kanten, aber 9 Messungen genug sind , um zu entscheiden , ob ein Polyeder dieses kombinatorischen Typs zu einem gegebenen regulären Würfel kongruent ist.

Kongruente Dreiecke auf einer Kugel

Wie bei ebenen Dreiecken sind auf einer Kugel zwei Dreiecke mit derselben Winkel-Seiten-Winkel-Sequenz (ASA) notwendigerweise deckungsgleich (dh sie haben drei identische Seiten und drei identische Winkel). Dies sieht man wie folgt: Man kann einen der Eckpunkte mit einem gegebenen Winkel am Südpol anordnen und die Seite mit gegebener Länge auf dem Nullmeridian laufen lassen. Die Kenntnis beider Winkel an jedem Ende des Segments fester Länge stellt sicher, dass die anderen beiden Seiten mit einer eindeutig bestimmten Flugbahn ausgehen und somit an einem eindeutig bestimmten Punkt aufeinandertreffen; somit ist ASA gültig.

Die Kongruenzsätze side-angle-side (SAS) und side-side-side (SSS) gelten auch für eine Kugel; außerdem, wenn zwei sphärische Dreiecke eine identische Winkel-Winkel-Winkel (AAA)-Folge haben, sind sie deckungsgleich (im Gegensatz zu ebenen Dreiecken).

Der Ebene-Dreieck-Kongruenzsatz Winkel-Winkel-Seite (AAS) gilt nicht für sphärische Dreiecke. Wie in der ebenen Geometrie impliziert der Seiten-Seiten-Winkel (SSA) keine Kongruenz.

Notation

Ein Symbol , üblicherweise für Kongruenz verwendet wird , ein Symbol mit einer gleich tilde darüber, , zu dem entsprechenden Unicode - Zeichen ‚ungefähr gleich zu‘ (U + 2245). Im Vereinigten Königreich wird manchmal das dreitaktige Gleichheitszeichen (U+2261) verwendet.

Siehe auch

Verweise

Externe Links