Verbundenheit - Connectedness

In der Mathematik wird Verbundenheit verwendet, um sich auf verschiedene Eigenschaften zu beziehen, die in gewissem Sinne "alles aus einem Stück" bedeuten. Wenn ein mathematisches Objekt eine solche Eigenschaft hat, sagen wir, dass es verbunden ist ; Andernfalls wird die Verbindung getrennt . Wenn ein nicht verbundenes Objekt auf natürliche Weise in verbundene Teile aufgeteilt werden kann, wird jedes Teil normalerweise als Komponente (oder verbundene Komponente ) bezeichnet.

Verbundenheit in der Topologie

Ein topologischer Raum wird als verbunden bezeichnet, wenn es sich nicht um die Vereinigung zweier disjunkter nicht leerer offener Mengen handelt . Eine Menge ist offen, wenn sie keinen Punkt enthält, der an ihrer Grenze liegt . In einem informellen, intuitiven Sinne legt die Tatsache, dass ein Raum in disjunkte offene Mengen unterteilt werden kann, nahe, dass die Grenze zwischen den beiden Mengen nicht Teil des Raums ist, und teilt ihn daher in zwei separate Teile auf.

Andere Vorstellungen von Verbundenheit

Felder der Mathematik befassen sich typischerweise mit speziellen Arten von Objekten. Oft wird ein solches Objekt als verbunden bezeichnet , wenn es, wenn es als topologischer Raum betrachtet wird, ein verbundener Raum ist. Daher werden Mannigfaltigkeiten , Lie-Gruppen und Graphen als verbunden bezeichnet, wenn sie als topologische Räume verbunden sind und ihre Komponenten die topologischen Komponenten sind. Manchmal ist es zweckmäßig, die Definition der Verbundenheit in solchen Bereichen neu zu formulieren. Beispielsweise wird ein Graph als verbunden bezeichnet, wenn jedes Eckpunktpaar im Graph durch einen Pfad verbunden ist . Diese Definition entspricht der topologischen Definition für Graphen, ist jedoch im Kontext der Graphentheorie einfacher zu behandeln . Die Graphentheorie bietet auch ein kontextfreies Maß für die Verbundenheit, den so genannten Clustering-Koeffizienten .

Andere Bereiche der Mathematik befassen sich mit Objekten, die selten als topologische Räume betrachtet werden. Nichtsdestotrotz spiegeln Definitionen von Verbundenheit oft die topologische Bedeutung in irgendeiner Weise wider. In der Kategorietheorie wird beispielsweise eine Kategorie als verbunden bezeichnet, wenn jedes Objektpaar in ihr durch eine Folge von Morphismen verbunden ist . Somit ist eine Kategorie verbunden, wenn sie intuitiv alles aus einem Stück besteht.

Es kann verschiedene Vorstellungen von Verbundenheit geben , die intuitiv ähnlich sind, sich jedoch als formal definierte Konzepte unterscheiden. Wir möchten vielleicht einen topologischen Raum als verbunden bezeichnen, wenn jedes Punktpaar darin durch einen Pfad verbunden ist . Es stellt sich jedoch heraus, dass dieser Zustand stärker ist als die übliche topologische Verbindung. Insbesondere gibt es verbundene topologische Räume, für die diese Eigenschaft nicht gilt. Aus diesem Grund wird eine andere Terminologie verwendet. Räume mit dieser Eigenschaft werden als pfadverbunden bezeichnet . Während nicht alle verbundenen Räume pfadverbunden sind, sind alle pfadverbundenen Räume verbunden.

Begriffe, die verbunden sind, werden auch für Eigenschaften verwendet, die mit der Verbundenheit zusammenhängen, sich jedoch deutlich von dieser unterscheiden. Zum Beispiel wird ein pfadverbundener topologischer Raum einfach verbunden, wenn jede Schleife (Pfad von einem Punkt zu sich selbst) in ihm kontrahierbar ist ; das heißt, intuitiv, wenn es im Wesentlichen nur einen Weg gibt, von einem Punkt zu einem anderen Punkt zu gelangen. Somit sind eine Kugel und eine Scheibe jeweils einfach verbunden, während ein Torus dies nicht ist. Als ein weiteres Beispiel kann ein gerichteter Graph ist stark verbunden , wenn jedes geordnete Paar von Scheitelpunkten von einer verbunden ist gerichteten Weg (das heißt, eine , die „die Pfeile folgt“).

Andere Konzepte drücken die Art und Weise aus, in der ein Objekt nicht verbunden ist. Beispielsweise wird ein topologischer Raum vollständig getrennt, wenn jede seiner Komponenten ein einzelner Punkt ist.

Konnektivität

Eigenschaften und Parameter, die auf der Idee der Verbundenheit basieren, beinhalten häufig das Wort Konnektivität . Zum Beispiel in der Graphentheorie ein verbundener Graph ist einer , von dem wir mindestens einen Vertex entfernen muss ein getrenntes Graphen zu erstellen. In Anerkennung dessen werden solche Graphen auch als 1-verbunden bezeichnet . In ähnlicher Weise ist ein Diagramm 2-verbunden, wenn mindestens zwei Scheitelpunkte entfernt werden müssen, um ein nicht verbundenes Diagramm zu erstellen. Ein 3-verbundener Graph erfordert das Entfernen von mindestens drei Eckpunkten usw. Die Konnektivität eines Diagramms ist die Mindestanzahl von Scheitelpunkten, die entfernt werden müssen, um die Verbindung zu trennen. Entsprechend ist die Konnektivität eines Graphen die größte ganze Zahl k, für die der Graph k- verbunden ist.

Während die Terminologie variiert, enthalten Substantivformen verbindungsbezogener Eigenschaften häufig den Begriff Konnektivität . Wenn man also einfach verbundene topologische Räume diskutiert, spricht man weitaus häufiger von einfacher Konnektivität als von einfacher Verbundenheit . Andererseits kann in Feldern ohne einen formal definierten Begriff der Konnektivität das Wort als Synonym für Verbundenheit verwendet werden .

Ein weiteres Beispiel für Konnektivität finden Sie in regulären Kacheln. Hier beschreibt die Konnektivität die Anzahl der Nachbarn, auf die von einer einzelnen Kachel aus zugegriffen werden kann :