Naturschutzrecht - Conservation law

In der Physik besagt ein Erhaltungssatz , dass sich eine bestimmte messbare Eigenschaft eines isolierten physikalischen Systems im Laufe der Zeit nicht ändert. Exakte Erhaltungssätze beinhalten die Erhaltung der Masse (jetzt Erhaltung von Masse und Energie nach Einsteins Relativitätstheorie), Erhaltung des linearen Impulses , Erhaltung des Drehimpulses und Erhaltung der elektrischen Ladung . Es gibt auch viele ungefähre Erhaltungssätze, die für Größen wie Masse , Parität , Leptonenzahl , Baryonenzahl , Strangeness , Hyperladung usw. gelten. Diese Größen sind in bestimmten Klassen von physikalischen Prozessen erhalten, aber nicht in allen.

Ein lokaler Erhaltungssatz wird normalerweise mathematisch als Kontinuitätsgleichung ausgedrückt , eine partielle Differentialgleichung, die eine Beziehung zwischen der Menge der Menge und dem "Transport" dieser Menge herstellt. Sie besagt, dass sich die Menge der Erhaltungsgröße an einem Punkt oder innerhalb eines Volumens nur um den Betrag der Menge ändern kann, die in das Volumen ein- oder ausströmt.

Nach dem Satz von Noether ist jedes Erhaltungssatz mit einer Symmetrie in der zugrunde liegenden Physik verbunden.

Erhaltungssätze als fundamentale Naturgesetze

Erhaltungsgesetze sind grundlegend für unser Verständnis der physikalischen Welt, da sie beschreiben, welche Prozesse in der Natur ablaufen können oder nicht. Zum Beispiel besagt der Energieerhaltungssatz, dass sich die Gesamtenergiemenge in einem isolierten System nicht ändert, obwohl sie ihre Form ändern kann. Im Allgemeinen bleibt die Gesamtmenge der Eigenschaft, die diesem Gesetz unterliegt, während physikalischer Prozesse unverändert. In Bezug auf die klassische Physik umfassen die Erhaltungssätze die Erhaltung von Energie, Masse (oder Materie), Impuls, Drehimpuls und elektrischer Ladung. In Bezug auf die Teilchenphysik können Teilchen nur in Paaren erzeugt oder zerstört werden, von denen eines ein gewöhnliches und das andere ein Antiteilchen ist. In Bezug auf Symmetrien und Invarianzprinzipien wurden drei spezielle Erhaltungssätze beschrieben, die mit der Inversion oder Umkehrung von Raum, Zeit und Ladung verbunden sind.

Naturschutzgesetze gelten als grundlegende Naturgesetze mit breiter Anwendung in der Physik sowie in anderen Bereichen wie Chemie, Biologie, Geologie und Ingenieurwesen.

Die meisten Erhaltungssätze sind exakt oder absolut in dem Sinne, dass sie für alle möglichen Prozesse gelten. Einige Erhaltungsgesetze sind partiell, da sie für einige Prozesse gelten, aber nicht für andere.

Ein besonders wichtiges Ergebnis in Bezug auf Erhaltungssätze ist der Noether-Satz , der besagt, dass zwischen jedem von ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung und eine differenzierbare Symmetrie der Natur besteht. Zum Beispiel folgt die Energieerhaltung aus der Zeitinvarianz physikalischer Systeme, und die Drehimpulserhaltung ergibt sich aus der Tatsache, dass sich physikalische Systeme unabhängig von ihrer räumlichen Orientierung gleich verhalten.

Genaue Gesetze

Eine unvollständige Auflistung physikalischer Erhaltungsgleichungen aufgrund der Symmetrie , die als exakte Gesetze bezeichnet werden oder genauer gesagt nie als verletzt bewiesen wurden:

Ungefähre Gesetze

Es gibt auch ungefähre Erhaltungssätze. Dies trifft ungefähr in bestimmten Situationen zu, wie z. B. bei niedrigen Geschwindigkeiten, kurzen Zeitskalen oder bestimmten Interaktionen.

• Erhaltung der mechanischen Energie
• Erhaltung der Ruhemasse
• Erhaltung der Baryonenzahl (Siehe chirale Anomalie und Sphaleron )
• Erhaltung der Leptonenzahl (im Standardmodell )
• Erhaltung des Geschmacks (durch die verletzte schwache Wechselwirkung )
• Erhaltung der Parität
• Invarianz unter Ladungskonjugation
• Invarianz unter Zeitumkehr
• CP-Symmetrie , die Kombination aus Ladungskonjugation und Parität (entspricht der Zeitumkehr, wenn CPT gilt)

Globale und lokale Naturschutzgesetze

Die Gesamtmenge einer Erhaltungsgröße im Universum könnte unverändert bleiben, wenn eine gleiche Menge an einem Punkt A erscheinen und gleichzeitig an einem anderen separaten Punkt B verschwinden würde . Zum Beispiel könnte eine Energiemenge auf der Erde erscheinen, ohne die Gesamtmenge im Universum zu ändern, wenn dieselbe Energiemenge aus einer abgelegenen Region des Universums verschwinden würde. Diese schwache Form der "globalen" Erhaltung ist wirklich kein Erhaltungssatz, da sie nicht Lorentz-invariant ist , also treten Phänomene wie die oben genannten in der Natur nicht auf. Wenn aufgrund der speziellen Relativitätstheorie das Erscheinen der Energie bei A und das Verschwinden der Energie bei B in einem Trägheitsbezugssystem gleichzeitig erfolgen , werden sie in anderen Trägheitsbezugssystemen, die sich in Bezug auf das erste bewegen, nicht gleichzeitig sein. In einem bewegten Bild wird eines vor dem anderen auftreten; entweder wird die Energie von A erscheinen, bevor oder nachdem die Energie von B verschwindet. In beiden Fällen wird während des Intervalls keine Energie gespart.

Eine stärkere Form des Erhaltungssatzes verlangt, dass, damit sich die Menge einer Erhaltungsgröße an einem Punkt ändert, ein Fluss oder Fluss der Menge in den Punkt hinein oder aus diesem heraus erfolgen muss. Zum Beispiel wird nie festgestellt , dass sich die Menge der elektrischen Ladung an einem Punkt ändert, ohne dass ein elektrischer Strom in den oder aus dem Punkt, der die Ladungsdifferenz trägt, fließt. Da es sich nur um kontinuierliche lokale Änderungen handelt, ist diese stärkere Art von Erhaltungssatz Lorentz-invariant ; eine in einem Bezugsrahmen erhaltene Größe wird in allen sich bewegenden Bezugssystemen erhalten. Dies wird als lokales Erhaltungsgesetz bezeichnet . Lokaler Naturschutz impliziert auch globalen Naturschutz; dass die Gesamtmenge der Erhaltungsgröße im Universum konstant bleibt. Alle oben aufgeführten Naturschutzgesetze sind lokale Naturschutzgesetze. Ein lokales Erhaltungsgesetz wird mathematisch durch eine Kontinuitätsgleichung ausgedrückt , die besagt, dass die Änderung der Menge in einem Volumen gleich dem gesamten Netto-"Fluss" der Menge durch die Oberfläche des Volumens ist. In den folgenden Abschnitten werden Kontinuitätsgleichungen im Allgemeinen behandelt.

Differentialformen

In der Kontinuumsmechanik ist die allgemeinste Form eines exakten Erhaltungssatzes durch eine Kontinuitätsgleichung gegeben . Zum Beispiel, die Erhaltung der elektrischen Ladung q ist ,

${\displaystyle {\frac {\partial\rho}{\partial t}}=-\nabla\cdot\mathbf{j}\,}$

wobei ∇⋅ der Divergenzoperator ist , ρ die Dichte von q (Menge pro Einheitsvolumen), j der Fluss von q (Menge, die eine Einheitsfläche in Einheitszeit durchquert) ist und t die Zeit ist.

Nehmen wir an, dass die Bewegung u der Ladung eine stetige Funktion von Ort und Zeit ist, dann

${\displaystyle\mathbf{j} =\rho\mathbf{u}}$

${\displaystyle {\frac {\partial\rho}{\partialt}}=-\nabla\cdot (\rho\mathbf{u})\,.}$

In einer Raumdimension kann dies in die Form einer homogenen quasilinearen hyperbolischen Gleichung erster Ordnung gebracht werden :

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$

wobei die abhängige Variable y die Dichte einer Erhaltungsgröße genannt wird und A ( y ) die aktuelle Jacobi-Zahl genannt wird und die tiefgestellte Notation für partielle Ableitungen verwendet wurde. Der allgemeinere inhomogene Fall:

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$

ist keine Erhaltungsgleichung, sondern die allgemeine Art von Bilanzgleichung, die ein dissipatives System beschreibt . Die abhängige Variable y wird als nicht erhaltene Größe bezeichnet , und der inhomogene Term s ( y , x , t ) ist die Quelle oder Dissipation . Bilanzgleichungen dieser Art sind beispielsweise die Navier-Stokes-Gleichungen für Impuls und Energie oder die Entropiebilanz für ein allgemeines isoliertes System .

Im eindimensionalen Raum ist eine Erhaltungsgleichung eine quasilineare hyperbolische Gleichung erster Ordnung , die in die Advektionsform gebracht werden kann:

${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$

wobei die abhängige Variable y ( x , t ) Dichte der Erhaltungsgröße (skalar) genannt wird und a ( y ) Stromkoeffizient genannt wird , normalerweise entsprechend der partiellen Ableitung in der Erhaltungsgröße einer Stromdichte der Erhaltungsgröße Menge j ( y ):

${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$

Da in diesem Fall die Kettenregel gilt:

${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$

die Erhaltungsgleichung kann in die Stromdichteform gebracht werden:

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

In einem Raum mit mehr als einer Dimension kann die frühere Definition zu einer Gleichung erweitert werden, die in die Form gebracht werden kann:

${\displaystyle y_{t}+\mathbf{a} (y)\cdot \nabla y=0}$

wobei die konservierte Menge ist y ( r , t ), bezeichnet das Skalarprodukt , ∇ ist der nabla Operator, hier einen anzeigt Gradienten und ein ( y ) ein Vektor aktueller Koeffizienten analog zu der entsprechenden Divergenz eines Vektorstromdichte der Erhaltungsgröße j ( y ) zugeordnet: ${\displaystyle\cdot}$

${\displaystyle y_{t}+\nabla\cdot\mathbf{j}(y)=0}$

Dies ist für die Kontinuitätsgleichung der Fall :

${\displaystyle \rho_{t}+\nabla\cdot (\rho\mathbf{u} )=0}$

Die Erhaltungsgröße ist hier die Masse , mit Dichte ρ ( r , t ) und Stromdichte ρ u , identisch mit der Impulsdichte , während u ( r , t ) die Strömungsgeschwindigkeit ist .

Im allgemeinen Fall kann eine Erhaltungsgleichung auch ein System dieser Art von Gleichungen (eine Vektorgleichung ) in der Form sein:

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}}$

wobei y die Erhaltungsgröße ( Vektor ) genannt wird, ∇ y ihr Gradient ist , 0 der Nullvektor ist und A ( y ) die Jacobi-Zahl der Stromdichte genannt wird. Tatsächlich, wie im ersten skalaren Fall, entspricht auch im Vektorfall A ( y ) normalerweise der Jacobi- Matrix einer Stromdichtematrix J ( y ):

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$

und die Erhaltungsgleichung kann in die Form gebracht werden:

${\displaystyle\mathbf{y}_{t}+\nabla\cdot\mathbf{J} (\mathbf{y})=\mathbf{0}}$

Dies ist beispielsweise bei Euler-Gleichungen (Fluiddynamik) der Fall. Im einfachen inkompressiblen Fall sind dies:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \ nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{ausgerichtet}}}$

wo:

• u ist der Strömungsgeschwindigkeitsvektor , mitKomponenten in einem N-dimensionalen Raum u ₁ , u ₂ , ... u _N ,
• s ist der spezifische Druck (Druck pro Dichteeinheit ), der den Quellterm angibt ,

Es kann gezeigt werden, dass die Erhaltungsgröße (Vektor) und die Stromdichtematrix für diese Gleichungen jeweils sind:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad }$

wobei bezeichnet das äußere Produkt . ${\displaystyle \otimes}$

Integrale und schwache Formen

Erhaltungsgleichungen können auch in ganzzahliger Form ausgedrückt werden: Letzteres hat im Wesentlichen den Vorteil, dass es weniger Glätte der Lösung erfordert, was den Weg zur schwachen Form ebnet und die Klasse der zulässigen Lösungen um unstetige Lösungen erweitert. Durch Integration in einen beliebigen Raum-Zeit-Bereich bildet sich die Stromdichte im 1-D-Raum:

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

und mit dem Satz von Green ist die Integralform:

${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}y\,dx+\int _{0}^{\infty}j(y)\,dt=0}$

In ähnlicher Weise lautet die Integralform für den skalaren mehrdimensionalen Raum:

${\displaystyle \oint\left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0}$

wobei die Linienintegration entlang der Grenze der Domäne gegen den Uhrzeigersinn durchgeführt wird.

Außerdem kann durch Definition einer zeitlich und räumlich stetig differenzierbaren Testfunktion φ ( r , t ) mit kompakter Stütze die schwache Form schwenkend um die Anfangsbedingung erhalten werden . Im 1D-Raum ist es:

${\displaystyle \int_{0}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\phi_{t}y+\phi_{x}j(y)\,dx\,dt =-\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x,0)y(x,0)\,dx}$

Beachten Sie, dass in der schwachen Form alle partiellen Ableitungen der Dichte und Stromdichte an die Testfunktion weitergegeben wurden, die mit der ersten Hypothese glatt genug ist, um diese Ableitungen zuzulassen.

Siehe auch

• Invariante (Physik)
• Konservatives System
• Konservierte Menge
  • Einige Arten von Helizität sind im verlustfreien Grenzbereich konserviert: hydrodynamische Helizität , magnetische Helizität , Kreuzhelizität .
• Prinzip der Veränderlichkeit
• Erhaltungssatz des Spannungs-Energie-Tensors
• Riemann-Invariante
• Philosophie der Physik
• Totalitäres Prinzip
• Konvektions-Diffusions-Gleichung

Beispiele und Anwendungen

• Advektion
• Massenerhaltung oder Kontinuitätsgleichung
• Ladungserhaltung
• Euler-Gleichungen (Fluiddynamik)
• inviscid Burgers-Gleichung
• Kinematische Welle
• Energieeinsparung
• Verkehrsfluss

Anmerkungen

Verweise

• Philipson, Schuster, Modeling by Nonlinear Differential Equations: Dissipative and Conservative Processes , World Scientific Publishing Company 2009.
• Victor J. Stenger , 2000. Zeitlose Realität: Symmetrie, Einfachheit und mehrere Universen . Buffalo NY: Prometheus-Bücher. Kap. 12 ist eine sanfte Einführung in Symmetrie, Invarianz und Erhaltungssätze.
• Toro, EF (1999). "Kapitel 2. Begriffe auf hyperbolischen PDEs". Riemann-Solver und Numerische Methoden für die Fluiddynamik . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.
• E. Godlewski und PA Raviart, Hyperbolic systems of Erhaltungsgesetze, Ellipses, 1991.

Externe Links

• Naturschutzgesetze — Kap. 11-15 in einem Online-Lehrbuch