Ständige Garbe - Constant sheaf
In der Mathematik ist die konstante Garbe auf einem topologischen Raum X , die einer Menge A zugeordnet ist, eine Garbe von Mengen auf X, deren Stiele alle gleich A sind . Es wird mit A oder A X bezeichnet . Das konstante Presheaf mit dem Wert A ist das Presheaf , das jeder nicht leeren offenen Teilmenge von X den Wert A zuweist und dessen Restriktionskarten alle die Identitätskarte A → A sind . Die Konstante Garbe an assoziierte A ist die sheafification der Konstante presheaf an assoziierte A .
In bestimmten Fällen kann die Menge A in einer Kategorie C durch ein Objekt A ersetzt werden (z. B. wenn C die Kategorie abelscher Gruppen oder kommutativer Ringe ist ).
Konstante Garben abelscher Gruppen erscheinen insbesondere als Koeffizienten in der Garbenkohomologie .
Grundlagen
Sei X ein topologischer Raum und A eine Menge. Die Abschnitte der konstanten Garbe A über einer offenen Menge U können als stetige Funktionen U → A interpretiert werden , wobei A die diskrete Topologie erhält . Wenn U ist verbunden , dann sind diese lokal konstanten Funktionen konstant. Wenn f : X → {pt} ist die einzigartige Karte auf den Ein-Punkt - Raum und A als Garbe auf {pt} betrachtet, dann ist das Urbild f -1 A ist die konstante Garbe A auf X . Der Garbenraum von A ist die Projektionskarte X × A → X (wobei A die diskrete Topologie erhält).
Ein detailliertes Beispiel
Sei X der topologische Raum, der aus zwei Punkten p und q mit der diskreten Topologie besteht . X hat vier offene Mengen: ∅, { p }, { q }, { p , q }. Die fünf nicht trivialen Einschlüsse der offenen Sätze von X sind in der Tabelle dargestellt.
Ein Presheaf auf X wählt einen Satz für jeden der vier offenen Sätze von X und eine Restriktionskarte für jeden der neun Einschlüsse (fünf nicht triviale Einschlüsse und vier triviale Einschlüsse). Das konstante Presheaf mit dem Wert Z , den wir mit F bezeichnen werden , ist das Presheaf, das alle vier Mengen als Z , die ganzen Zahlen und alle Restriktionskarten als Identität auswählt . F ist ein Funktor, daher ein Presheaf, weil es konstant ist. F erfüllt das Klebeaxiom, ist jedoch keine Garbe, da es das lokale Identitätsaxiom auf dem leeren Satz nicht erfüllt. Dies liegt daran, dass die leere Menge von der leeren Menge von Mengen abgedeckt wird: Vakuum sind zwei beliebige Abschnitte von F über der leeren Menge gleich, wenn sie auf eine Menge in der leeren Familie beschränkt sind. Das lokale Identitätsaxiom würde daher implizieren, dass zwei beliebige Abschnitte von F über der leeren Menge gleich sind, aber dies ist nicht wahr.
Ein ähnliches Presheaf G , das das lokale Identitätsaxiom über die leere Menge erfüllt, wird wie folgt konstruiert. Sei G (∅) = 0 , wobei 0 eine Ein-Element-Menge ist. Geben Sie für alle nicht leeren Mengen G den Wert Z an . Für jede Aufnahme von offenen Mengen, G gibt entweder die einzigartige Karte auf 0, wenn die kleinere Menge leer ist , oder die Identität Karte auf Z .
Beachten Sie, dass aufgrund des lokalen Identitätsaxioms für die leere Menge alle Restriktionskarten, die die leere Menge betreffen, langweilig sind. Dies gilt für jedes Presheaf, das das lokale Identitätsaxiom für die leere Menge erfüllt, und insbesondere für jede Garbe.
G ist ein getrenntes Presheaf (das heißt, es erfüllt das lokale Identitätsaxiom), aber im Gegensatz zu F verfehlt es das Klebeaxiom . { p , q } wird von den beiden offenen Mengen { p } und { q } abgedeckt , und diese Mengen haben einen leeren Schnittpunkt. Ein Abschnitt über { p } oder { q } ist ein Element von Z , dh es ist eine Zahl. Wählen Sie einen Abschnitt m über { p } und n über { q } und nehmen Sie an, dass m ≠ n ist . Da m und n über ∅ auf dasselbe Element 0 beschränkt sind, erfordert das Klebeaxiom die Existenz eines eindeutigen Abschnitts s auf G ({ p , q }) , der sich auf m auf { p } und n auf { q } beschränkt. Aber weil die Restriktionskarte von { p , q } zu { p } die Identität ist, s = m und ähnlich s = n , so ist m = n ein Widerspruch.
G ({ p , q }) ist zu klein, um Informationen über { p } und { q } zu übertragen. Um es zu vergrößern so dass es genügt die Beleimung Axiom, lassen H ({ p , q }) = Z ⊕ Z . Lassen π 1 und & pgr; 2 , die beide Projektion bildet Z ⊕ Z → Z . Definieren H ({ p }) = im (π 1 ) = Z und H ({ q }) = im (π 2 ) = Z . Für die verbleibenden offenen Mengen und Einschlüsse, lassen H gleich G . H ist eine Garbe, die als konstante Garbe auf X mit dem Wert Z bezeichnet wird . Da Z ein Ring ist und alle Restriktionskarten Ringhomomorphismen sind, ist H ein Bündel kommutativer Ringe.
Siehe auch
Verweise
- Sektion II.1 von Hartshorne, Robin (1977), Algebraische Geometrie , Diplomtexte in Mathematik , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
- Abschnitt 2.4.6 von Tennison, BR (1975), Garbentheorie , ISBN 978-0-521-20784-3