Widerspruch - Contradiction

Dieses Diagramm zeigt die widersprüchlichen Beziehungen zwischen kategorialen Sätzen im Quadrat der Opposition der aristotelischen Logik .

In der traditionellen Logik tritt ein Widerspruch auf, wenn eine Aussage entweder mit sich selbst oder mit einer festgestellten Tatsache in Konflikt steht . Es wird oft als Werkzeug verwendet, um unaufrichtige Überzeugungen und Voreingenommenheit zu erkennen . Veranschaulichen eine allgemeine Tendenz in der angewandten Logik, Aristoteles ‚s Satz vom Widerspruch heißt es : ‚Es ist unmöglich , dass die gleiche Sache kann zugleich beide gehören und nicht gehören in das gleiche Objekt und in dem gleichen Respekt.‘

In der modernen formalen Logik und Typentheorie wird der Begriff stattdessen hauptsächlich für einen einzigen Satz verwendet, der oft mit dem Falsumsymbol bezeichnet wird ; ein Satz ist ein Widerspruch, wenn aus ihm nach den Regeln der Logik Falsch abgeleitet werden kann. Es ist eine Aussage, die unbedingt falsch ist (dh eine in sich widersprüchliche Aussage). Dies kann zu einer Sammlung von Sätzen verallgemeinert werden, von denen dann gesagt wird, dass sie einen Widerspruch "enthalten".

Geschichte

Durch die Schaffung eines Paradox , Plato ‚s Euthydemus zeigt Dialog die Notwendigkeit für den Begriff des Widerspruchs . Im folgenden Dialog bestreitet Dionysodorus die Existenz des "Widerspruchs", während Sokrates ihm widerspricht:

... Ich sagte in meinem Erstaunen: Was meinst du mit Dionysodor? Ich habe diese Ihre These oft gehört und war erstaunt, als ich sie hörte, die von den Schülern von Protagoras und anderen vor ihnen gepflegt und angewendet wird und die mir ganz wunderbar und selbstmörderisch sowie destruktiv erscheint, und Ich denke, dass ich die Wahrheit am ehesten von Ihnen erfahren werde. Das Diktum ist, dass es keine Falschheit gibt; ein Mann muss entweder sagen, was wahr ist, oder nichts sagen. Ist das nicht Ihre Position?

In der Tat stimmt Dionysodor zu, dass "es keine falschen Meinungen gibt ... es gibt keine Unwissenheit" und fordert von Sokrates, "mich zu widerlegen". Sokrates antwortet: "Aber wie kann ich Sie widerlegen, wenn, wie Sie sagen, es unmöglich ist, eine Lüge zu erzählen?".

In formaler Logik

In der klassischen Logik, insbesondere in der Aussagenlogik und der Logik erster Ordnung , ist ein Satz genau dann ein Widerspruch, wenn . Da für widersprüchlich gilt, dass für alle (weil ) jeder Satz aus einer Menge von Axiomen, der Widersprüche enthält, beweisen kann. Dies nennt man das „ Explosionsprinzip “ oder „ex falso quodlibet“ („aus dem Falschen folgt alles“).

In einer vollständigen Logik ist eine Formel genau dann widersprüchlich, wenn sie unerfüllbar ist .

Beweis durch Widerspruch

Für eine Menge konsistenter Prämissen und einen Satz gilt in der klassischen Logik, dass (dh beweist ) genau dann, wenn (dh und zu einem Widerspruch führt). Daher ist ein Beweis , der das auch beweist, unter den Prämissen wahr . Die Verwendung dieser Tatsache bildet die Grundlage einer Beweistechnik namens Beweis durch Widerspruch , die Mathematiker ausgiebig verwenden, um die Gültigkeit einer Vielzahl von Sätzen zu beweisen . Dies gilt nur in einer Logik, in der das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als Axiom akzeptiert wird.

Unter Verwendung der Minimallogik , einer Logik mit ähnlichen Axiomen wie der klassischen Logik, aber ohne ex falso Quodlibet und Beweis durch Widerspruch, können wir die axiomatische Stärke und Eigenschaften verschiedener Regeln zur Behandlung von Widerspruch untersuchen, indem wir Theoreme der klassischen Logik betrachten, die keine Theoreme der Minimallogik sind. Jede dieser Erweiterungen führt zu einer Zwischenlogik :

  1. Double-Negation Elimination (DNE) ist das stärkste Prinzip, axiomatisiert , und wenn es zu minimaler Logik hinzugefügt wird, ergibt sich klassische Logik.
  2. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatisiert , lizenziert viele Konsequenzen von Negationen, hilft aber normalerweise nicht dabei, Aussagen, die keine Absurdität beinhalten, aus konsistenten Aussagen abzuleiten, die dies tun. Wenn EFQ zu minimaler Logik hinzugefügt wird, ergibt sich eine intuitive Logik . EFQ ist äquivalent zu ex widerspruchs quodlibet , axiomatisiert , über minimaler Logik.
  3. Die Peirce-Regel (PR) ist ein Axiom , das den Beweis durch Widerspruch erfasst, ohne explizit auf Absurdität zu verweisen. Minimale Logik + PR + EFQ ergibt klassische Logik.
  4. Das Gödel-Dummett (GD) Axiom , dessen einfachste Lesart ist, dass es eine lineare Ordnung von Wahrheitswerten gibt. Minimale Logik + GD ergibt Gödel-Dummett-Logik . Die Regel von Peirce beinhaltet, wird aber nicht von GD über minimale Logik mit sich gebracht.
  5. Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (LEM), axiomatisiert , ist die am häufigsten zitierte Formulierung des Bivalenzprinzips , aber ohne EFQ ergibt es keine vollständige klassische Logik. Minimale Logik + LEM + EFQ ergibt klassische Logik. PR beinhaltet, wird aber nicht von LEM in minimaler Logik mit sich gebracht. Wenn die Formel B in der Peirce-Regel auf Absurdität beschränkt ist und das Axiomschema ergibt , ist das Schema äquivalent zu LEM über minimaler Logik.
  6. Das schwache Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (WLEM) ist axiomatisiert und führt zu einem System, in dem sich die Disjunktion eher wie in der klassischen Logik verhält als in der intuitionistischen Logik, dh die Disjunktions- und Existenzeigenschaften gelten nicht, aber die Verwendung von nicht-intuitionistischem Denken ist durch Ereignisse gekennzeichnet der Doppelnegation im Schluss. LEM beinhaltet, wird aber nicht von WLEM in minimaler Logik miteinbezogen. WLEM entspricht der Instanz des De Morganschen Gesetzes , das die Negation über die Konjunktion verteilt: .

Symbolische Darstellung

In der Mathematik variiert das Symbol, das verwendet wird, um einen Widerspruch innerhalb eines Beweises darzustellen. Einige Symbole, die verwendet werden können, um einen Widerspruch darzustellen, sind , Opq, , ⊥, / und ※; in jeder Symbolik kann der Wahrheitswert „ falsch “ durch einen Widerspruch ersetzt werden , der beispielsweise durch „0“ symbolisiert wird (wie es in der Booleschen Algebra üblich ist ). Es ist nicht ungewöhnlich, QED oder einige seiner Varianten unmittelbar nach einem Widerspruchssymbol zu sehen. Tatsächlich geschieht dies oft in einem Widerspruchsbeweis, um anzuzeigen, dass die ursprüngliche Annahme als falsch bewiesen wurde – und daher, dass ihre Negation wahr sein muss.

Der Begriff des Widerspruchs in einem axiomatischen System und ein Beweis seiner Konsistenz

Im Allgemeinen erfordert ein Konsistenzbeweis die folgenden zwei Dinge:

  1. Ein axiomatisches System
  2. Ein Beweis, dass es nicht der Fall ist, dass sowohl die Formel p als auch ihre Negation ~p im System hergeleitet werden können.

Aber mit welcher Methode man auch immer vorgeht, alle Konsistenzbeweise scheinen den primitiven Begriff des Widerspruchs zu erfordern . Darüber hinaus scheint es , als müsste dieser Begriff in der Definition der Tautologie gleichzeitig "außerhalb" des formalen Systems stehen.

Als Emil Post 1921 in seiner "Einführung in eine allgemeine Theorie der Elementarsätze" seinen Beweis der Konsistenz des Aussagenkalküls (dh der Logik) über den der Principia Mathematica (PM) hinaus erweiterte, beobachtete er, dass in Bezug auf eine verallgemeinerte Satz von Postulaten (dh Axiomen), könnte er nicht mehr automatisch den Begriff "Widerspruch" berufen - ein solcher Begriff könnte in den Postulaten nicht enthalten sein:

Die wichtigste Voraussetzung für eine Menge von Postulaten ist, dass sie konsistent ist. Da der gewöhnliche Begriff der Konsistenz den des Widerspruchs beinhaltet, der wiederum die Negation beinhaltet, und da diese Funktion im Allgemeinen nicht als primitiv in [der verallgemeinerten Menge von Postulaten] erscheint, muss eine neue Definition gegeben werden.

Posts Lösung des Problems wird in der Demonstration "An Example of a Successive Absolute Proof of Consistency" von Ernest Nagel und James R. Newman in ihrem 1958 erschienenen Gödel 's Proof beschrieben . Auch sie beobachteten ein Problem hinsichtlich des Begriffs „Widerspruch“ mit seinen üblichen „Wahrheitswerten“ von „Wahrheit“ und „Falsch“. Sie haben beobachtet, dass:

Die Eigenschaft, eine Tautologie zu sein, wurde in Begriffen von Wahrheit und Falschheit definiert. Aber diese Begriffe beinhalten offensichtlich einen Bezug auf etwas außerhalb der Formelrechnung. Daher bietet das im Text erwähnte Verfahren tatsächlich eine Interpretation des Kalküls, indem es ein Modell für das System liefert. Damit haben die Autoren nicht das getan, was sie versprochen haben, nämlich „ eine Eigenschaft von Formeln durch rein strukturelle Merkmale der Formeln selbst zu definieren “. [In der Tat] ... modellbasierte Konsistenzbeweise, die von der Wahrheit der Axiome zu ihrer Konsistenz argumentieren, verschieben lediglich das Problem.

Bei einigen "primitiven Formeln" wie den PM-Primitiven S 1 VS 2 [einschließlich OR] und ~S (Negation) ist man gezwungen, die Axiome in Begriffen dieser primitiven Begriffe zu definieren. Post demonstriert ausführlich in PM und definiert (wie Nagel und Newman, siehe unten), dass die Eigenschaft von tautologous – noch zu definieren – „vererbt“ ist: wenn man mit einer Menge tautologer Axiome beginnt (Postulate ) und einem Deduktionssystem , das Substitution und Modus Ponens enthält , dann liefert ein konsistentes System nur tautologe Formeln.

Zum Thema der Definition von tautolog bilden Nagel und Newman zwei sich gegenseitig ausschließende und erschöpfende Klassen K 1 und K 2 , in die (das Ergebnis von) die Axiome fallen, wenn ihre Variablen (zB S 1 und S 2 aus diesen Klassen ). Dies gilt auch für die primitiven Formeln. Zum Beispiel: "Eine Formel mit der Form S 1 VS 2 wird in die Klasse K 2 eingeordnet , wenn sowohl S 1 als auch S 2 in K 2 sind ; andernfalls wird sie in K 1 platziert ", und "Eine Formel mit der Form ~S wird in K 2 platziert , wenn S in K 1 ist , andernfalls wird es in K 1 platziert ".

Daher können Nagel und Newman nun den Begriff tautolog definieren : "Eine Formel ist genau dann eine Tautologie, wenn sie in die Klasse K 1 fällt , egal in welche der beiden Klassen ihre Elemente eingeordnet werden". Auf diese Weise wird die Eigenschaft des „Tautologseins“ beschrieben – ohne Bezug auf ein Modell oder eine Interpretation.

Beispielsweise kann man bei einer Formel wie ~S 1 VS 2 und einer Zuordnung von K 1 zu S 1 und K 2 zu S 2 die Formel auswerten und ihr Ergebnis in die eine oder andere Klasse einordnen. Die Zuweisung von K 1 zu S 1 platziert ~S 1 in K 2 , und jetzt können wir sehen, dass unsere Zuweisung bewirkt, dass die Formel in die Klasse K 2 fällt . Somit ist unsere Formel per Definition keine Tautologie.

Post bemerkte, dass, wenn das System inkonsistent wäre, eine Deduktion darin (dh die letzte Formel in einer Folge von Formeln, die aus den Tautologien abgeleitet wurden) schließlich S selbst ergeben könnte. Da eine Zuweisung an die Variable S entweder aus der Klasse K 1 oder K 2 stammen kann , verletzt die Ableitung das Vererbungsmerkmal der Tautologie (dh die Ableitung muss eine Bewertung einer Formel ergeben, die in die Klasse K 1 fällt ). Daraus konnte Post die folgende Definition von Inkonsistenz ableiten – ohne den Begriff des Widerspruchs zu verwenden :

Definition. Ein System heißt inkonsistent, wenn es die Behauptung der unmodifizierten Variablen p liefert [S in den Newman- und Nagel-Beispielen].

Mit anderen Worten, auf den Begriff des "Widerspruchs" kann bei der Konstruktion eines Konsistenzbeweises verzichtet werden; was sie ersetzt, ist die Vorstellung von "sich gegenseitig ausschließenden und erschöpfenden" Klassen. Ein axiomatisches System muss den Begriff "Widerspruch" nicht enthalten.

Philosophie

Anhänger der erkenntnistheoretischen Theorie des Kohärenzismus behaupten typischerweise , dass diese Überzeugung als notwendige Bedingung für die Rechtfertigung einer Überzeugung Teil eines logisch nicht widersprüchlichen Systems von Überzeugungen sein muss. Einige Dialetheisten , darunter Graham Priest , haben argumentiert, dass Kohärenz möglicherweise keine Konsistenz erfordert.

Pragmatische Widersprüche

Ein pragmatischer Widerspruch liegt vor, wenn die Aussage des Arguments selbst den behaupteten Behauptungen widerspricht. Eine Inkonsistenz entsteht in diesem Fall, weil der Akt der Äußerung und nicht der Inhalt des Gesagten seine Schlussfolgerung untergräbt.

Dialektischen Materialismus

Im dialektischen Materialismus : Widerspruch – wie aus dem Hegelianismus abgeleitet – bezieht sich normalerweise auf einen Gegensatz, der inhärent innerhalb eines Bereichs, einer einheitlichen Kraft oder eines einheitlichen Objekts existiert. Dieser Widerspruch ist im Gegensatz zum metaphysischen Denken keine objektiv unmögliche Sache, weil diese widersprüchlichen Kräfte in der objektiven Realität existieren, sich nicht gegenseitig aufheben, sondern tatsächlich ihre Existenz definieren. Ein solcher Widerspruch liegt nach marxistischer Theorie beispielsweise darin, dass:

  • (a) enormer Reichtum und Produktivkräfte koexistieren neben:
  • (b) extreme Armut und Elend;
  • (c) die Existenz von (a) steht im Gegensatz zur Existenz von (b).

Die hegelsche und marxistische Theorie besagt, dass die dialektische Natur der Geschichte zur Aufhebung oder Synthese ihrer Widersprüche führt. Marx daher postuliert , dass die Geschichte logisch machen würde Kapitalismus entwickeln sich zu einer sozialistischen Gesellschaft , wo die Produktionsmittel ebenso die dazu dienen würde , ausgebeutet und Leiden Klasse der Gesellschaft zwischen (a) und (b), so dass die Lösung des Standes der Widerspruch.

Mao Zedongs philosophischer Essay On Contradiction (1937) förderte die These von Marx und Lenin und schlug vor, dass alle Existenz das Ergebnis von Widerspruch ist.

Außerhalb der formalen Logik

Widerspruch zu Grahams Hierarchie der Uneinigkeit

Der umgangssprachliche Sprachgebrauch kann Handlungen oder Aussagen als widersprüchlich bezeichnen, wenn sie auf im logischen Sinne widersprüchlichen Voraussetzungen beruhen (oder als geschuldet wahrgenommen werden) .

Beweis durch Widerspruch wird in der Mathematik verwendet , um Beweise zu konstruieren .

Die wissenschaftliche Methode verwendet Widersprüche, um schlechte Theorien zu falsifizieren.

Siehe auch

  • Argument Clinic  – Monty-Python-Skizze, eine Monty-Python-Skizze, in der einer der beiden Streitenden immer wieder nur Widersprüche in seiner Argumentation verwendet
  • Auto-Antonym  – Wort mit zwei gegensätzlichen Bedeutungen
  • Gegenteil (Logik)
  • Dialetheismus – Ansicht, dass es Aussagen gibt, die sowohl wahr als auch falsch sind
  • Doppelmoral  – Uneinheitliche Anwendung von Prinzipien
  • Doublethink  – Gleichzeitig zwei sich widersprechende Überzeugungen als richtig akzeptieren
  • Grahams Hierarchie der Meinungsverschiedenheiten
  • Ironie  – Rhetorisches Mittel, literarische Technik oder Situation, in der eine Inkongruenz zwischen der wörtlichen und der implizierten Bedeutung besteht
  • Gesetz des Nicht-Widerspruchs
  • Über den Widerspruch  – 1937 maoistischer Aufsatz von Mao Zedong
  • Oxymoron  – Redewendung, die einen vorgeblichen Selbstwiderspruch beinhaltet, um einen rhetorischen Punkt zu illustrieren oder ein Paradox aufzudecken
  • Parakonsistente Logik
  • Paradox  – Aussage, die sich scheinbar widerspricht
  • Tautologie  – Logische Formel, die in jeder möglichen Interpretation wahr ist
  • TRIZ  – Tools zur Problemlösung

Hinweise und Referenzen

Literaturverzeichnis

  • Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic , übersetzt aus der französischen und deutschen Ausgabe von Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Südholland.
  • Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8 ( Pbk .)
  • Ernest Nagel und James R. Newman 1958 Gödel's Proof , New York University Press, Katalognummer: 58-5610.

Externe Links