Faltung - Convolution

Visueller Vergleich von Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation . Für die Operationen, die die Funktion f beinhalten , und unter der Annahme, dass die Höhe von f 1,0 beträgt, wird der Wert des Ergebnisses an 5 verschiedenen Punkten durch den schattierten Bereich unter jedem Punkt angezeigt. Auch die Symmetrie von f ist der Grund und in diesem Beispiel identisch.${\displaystyle g*f}$${\displaystyle f\star g}$

In der Mathematik (insbesondere der Funktionsanalyse ) ist die Faltung eine mathematische Operation an zwei Funktionen ( f und g ), die eine dritte Funktion ( ) erzeugt, die ausdrückt, wie die Form der einen durch die andere modifiziert wird. Der Begriff Faltung bezieht sich sowohl auf die Ergebnisfunktion als auch auf den Prozess ihrer Berechnung. Es ist definiert als das Integral des Produkts der beiden Funktionen, nachdem eine umgekehrt und verschoben wurde. Das Integral wird für alle Verschiebungswerte ausgewertet, wodurch die Faltungsfunktion erzeugt wird. ${\displaystyle f*g}$

Einige Merkmale der Faltung ähneln der Kreuzkorrelation : für reellwertige Funktionen einer kontinuierlichen oder diskreten Variablen unterscheidet sie sich von der Kreuzkorrelation ( ) nur dadurch, dass entweder f ( x ) oder g ( x ) über y . reflektiert wird -Achse; es ist also eine Kreuzkorrelation von f ( x ) und g ( - x ) oder f ( - x ) und g ( x ) . Bei komplexwertigen Funktionen ist der Kreuzkorrelationsoperator der Adjungierte des Faltungsoperators. ${\displaystyle f\star g}$

Faltung hat Anwendungen , die Wahrscheinlichkeit , Statistik , Akustik , Spektroskopie , Signalverarbeitung und Bildverarbeitung , Ingenieurwesen , Physik , Computer Vision und Differentialgleichungen umfassen .

Die Faltung kann für Funktionen im euklidischen Raum und andere Gruppen definiert werden . Beispielsweise können periodische Funktionen wie die zeitdiskrete Fourier-Transformation auf einem Kreis definiert und durch periodische Faltung gefaltet werden . (Siehe Zeile 18 bei DTFT § Eigenschaften .) Eine diskrete Faltung kann für Funktionen auf der Menge der ganzen Zahlen definiert werden .

Verallgemeinerungen der Faltung haben Anwendungen auf dem Gebiet der numerischen Analyse und der numerischen linearen Algebra sowie beim Entwurf und der Implementierung von endlichen Impulsantwortfiltern in der Signalverarbeitung.

Das Berechnen der Umkehrung der Faltungsoperation wird als Dekonvolution bezeichnet .

Definition

Die Faltung von f und g wird als f ∗ g geschrieben , was den Operator mit dem Symbol ∗ bezeichnet . Es ist definiert als das Integral des Produkts der beiden Funktionen, nachdem eine umgekehrt und verschoben wurde. Als solche ist es eine besondere Art der Integraltransformation :

${\displaystyle (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Eine äquivalente Definition ist (siehe Kommutativität ):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau.}$

Während oben das Symbol t verwendet wird, muss es nicht den Zeitbereich darstellen. Aber in diesem Zusammenhang kann die Faltungsformel als die um den Betrag t verschobene Fläche unter der Funktion f ( τ ) gewichtet durch die Funktion g (− τ ) beschrieben werden . Wenn sich t ändert, hebt die Gewichtungsfunktion g ( t − τ ) verschiedene Teile der Eingabefunktion f ( τ ) hervor .

Für Funktionen f , g, die nur auf [0, ∞) unterstützt werden (dh Null für negative Argumente), können die Integrationsgrenzen abgeschnitten werden, was zu:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\quad\{\text{für}}f ,g:[0,\infty)\to\mathbb{R}.}$

Für die mehrdimensionale Formulierung der Faltung siehe Definitionsbereich (unten).

Notation

Eine gängige technische Notationskonvention ist:

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\ tau } _{(f*g)(t)},}$

die sorgfältig interpretiert werden müssen, um Verwechslungen zu vermeiden. Zum Beispiel ist f ( t )∗ g ( t − t ₀ ) äquivalent zu ( f ∗ g )( t − t ₀ ) , aber f ( t − t ₀ )∗ g ( t − t ₀ ) ist tatsächlich äquivalent zu ( f ∗ g )( t − 2 t ₀ ) .

Ableitungen

Faltung beschreibt die Ausgabe (in Bezug auf die Eingabe) einer wichtigen Klasse von Operationen, die als linear zeitinvariant (LTI) bekannt ist. Siehe LTI-Systemtheorie für eine Ableitung der Faltung als Ergebnis von LTI-Beschränkungen. Hinsichtlich der Fourier-Transformationen der Eingabe und Ausgabe einer LTI-Operation werden keine neuen Frequenzkomponenten erzeugt. Die vorhandenen werden nur modifiziert (Amplitude und/oder Phase). Mit anderen Worten, die Ausgabetransformation ist das punktweise Produkt der Eingabetransformation mit einer dritten Transformation (bekannt als Übertragungsfunktion ). Siehe Faltungssatz für eine Herleitung dieser Eigenschaft der Faltung. Umgekehrt kann die Faltung als inverse Fourier-Transformation des punktweisen Produkts zweier Fourier-Transformationen abgeleitet werden.

Visuelle Erklärung

Drücken Sie jede Funktion in Form einer Dummy-Variablen aus ${\displaystyle\tau.}$ Reflektiere eine der Funktionen: →${\displaystyle g(\tau)}$${\displaystyle g(-\tau).}$ Fügen Sie einen Zeitversatz t hinzu , der es ermöglicht , entlang der -Achse zu gleiten .${\displaystyle g(t-\tau)}$${\displaystyle \tau}$ Beginnen Sie t bei −∞ und schieben Sie es ganz nach +∞ . Überall dort, wo sich die beiden Funktionen schneiden, finden Sie das Integral ihres Produkts. Mit anderen Worten, berechne zum Zeitpunkt t die Fläche unter der Funktion gewichtet durch die Gewichtungsfunktion${\displaystyle f(\tau)}$${\displaystyle g(t-\tau).}$ Die resultierende Wellenform (hier nicht gezeigt) ist die Faltung der Funktionen f und g . Wenn f ( t ) ein Einheitsimpuls ist , ist das Ergebnis dieses Prozesses einfach g ( t ) . Formal: ${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)g(t-\tau)\,d\tau =g(t)}$
In diesem Beispiel ist der rot gefärbte "Impuls" eine gerade Funktion, so dass die Faltung der Korrelation entspricht. Ein Schnappschuss dieses "Films" zeigt Funktionen und (in Blau) einen Parameterwert, der willkürlich als Abstand von der Achse zum Zentrum des roten Pulses definiert wird. Der Gelbanteil ist die Fläche des Produkts, die durch das Faltungs-/Korrelationsintegral berechnet wird. Der Film entsteht durch kontinuierliches Ändern und Neuberechnen des Integrals. Das Ergebnis (in Schwarz dargestellt) ist eine Funktion von , ist jedoch zur Vereinfachung und zum Vergleich auf derselben Achse aufgetragen . ${\displaystyle\g(\tau),}$ ${\displaystyle (\ g(-\tau)=g(\tau)\),}$${\displaystyle g(t-\tau)}$${\displaystyle f(\tau)}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle f(\tau)\cdot g(t-\tau),}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle\tau,}$
In dieser Darstellung könnte die Reaktion einer RC-Schaltung auf einen schmalen Impuls darstellen, der bei auftritt Mit anderen Worten, wenn das Ergebnis der Faltung nur ist Aber wann ist der breitere Impuls (in rot), ist die Antwort eine "verschmierte" Version von Es beginnt bei, weil wir den Abstand von der Achse zum Zentrum des breiten Impulses (anstelle der Vorderflanke) definiert haben. ${\displaystyle f(\tau)}$${\displaystyle \tau =0.}$${\displaystyle g(\tau)=\delta(\tau),}$${\displaystyle f(t).}$${\displaystyle g(\tau)}$${\displaystyle f(t).}$${\displaystyle t=-0.5,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau =0}$

Historische Entwicklungen

Eine der frühesten Verwendungen des Faltungsintegrals erschien in D'Alemberts Ableitung von Taylors Theorem in Recherches sur différents points Importants du système du monde, veröffentlicht im Jahr 1754.

Auch ein Ausdruck des Typs:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(xu)\,du}$

wird von Sylvestre François Lacroix auf Seite 505 seines Buches mit dem Titel Abhandlung über Unterschiede und Reihen verwendet , das der letzte von 3 Bänden der enzyklopädischen Reihe ist: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, Paris, 1797–1800. Bald darauf erscheinen Faltungsoperationen in den Werken von Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson und anderen. Der Begriff selbst wurde erst in den 1950er oder 60er Jahren weit verbreitet. Zuvor war es manchmal als Faltung (das bedeutet Falten auf Deutsch ), Kompositionsprodukt , Superpositionsintegral und Carson-Integral bekannt . Es erscheint jedoch bereits 1903, obwohl die Definition in älteren Verwendungen eher unbekannt ist.

Die Operation:

${\displaystyle \int_{0}^{t}\varphi (s)\psi (ts)\,ds,\quad 0\leq t<\infty,}$

ist ein Sonderfall von Kompositionsprodukten, die der italienische Mathematiker Vito Volterra 1913 betrachtete.

Kreisförmige Faltung

Wenn eine Funktion g _T periodisch ist , mit der Periode T , dann für Funktionen, f , so daß f * g _T vorhanden ist , die Faltung ebenfalls periodisch ist und identisch mit:

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\ infty}f(\tau+kT)\right]g_{T}(t-\tau)\,d\tau,}$

wobei t ₀ eine willkürliche Wahl ist. Die Summation wird periodische Summation der Funktion f genannt .

Wenn g _T eine periodische Summierung einer anderen Funktion, ist g , dann f * g _T ist als eine bekannte kreisförmige oder zyklische Faltung von f und g .

Und wenn die obige periodische Summation durch f _{T ersetzt wird} , wird die Operation als periodische Faltung von f _T und g _{T bezeichnet} .

Diskrete Faltung

Für komplexwertige Funktionen f , g, die auf der Menge Z von ganzen Zahlen definiert sind, ist die diskrete Faltung von f und g gegeben durch:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty}^{\infty}f[m]g[nm],}$

oder äquivalent (siehe Kommutativität ) durch:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty}^{\infty}f[nm]g[m].}$

Die Faltung zweier endlicher Folgen wird definiert, indem die Folgen auf endlich unterstützte Funktionen auf der Menge der ganzen Zahlen erweitert werden. Wenn die Folgen die Koeffizienten zweier Polynome sind , dann sind die Koeffizienten des gewöhnlichen Produkts der beiden Polynome die Faltung der ursprünglichen zwei Folgen. Dies ist als Cauchy-Produkt der Koeffizienten der Folgen bekannt.

Wenn g also eine endliche Unterstützung in der Menge hat (die beispielsweise eine endliche Impulsantwort darstellt ), kann eine endliche Summation verwendet werden: ${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[nm]g[m].}$

Kreisförmige diskrete Faltung

Wenn eine Funktion g _N ist periodisch mit der Periode N , dann für Funktionen, f , so daß f * g _N vorhanden ist , die Faltung ebenfalls periodisch ist und identisch mit:

${\displaystyle (f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty }{f }[m+kN]\right)g_{N}[nm].}$

Die Summation über k heißt periodische Summation der Funktion f .

Wenn g _N eine periodische Summierung einer anderen Funktion, ist g , dann f * g _N wird als bekannt zirkularen Faltung von f und g .

Wenn die von Null verschiedenen Dauern von f und g auf das Intervall [0, N − 1] beschränkt sind ,  reduziert sich f ∗ g _N auf diese üblichen Formen:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left(f*g_{N}\right)[n]&=\sum _{m=0}^{N-1}f[m]g_{N}[nm ]\\&=\sum _{m=0}^{n}f[m]g[nm]+\sum _{m=n+1}^{N-1}f[m]g[N+ nm]\\[2pt]&=\sum_{m=0}^{N-1}f[m]g[(nm)_{\bmod {N}}]\\[2pt]&\triangleq\ links(f*_{N}g\rechts)[n]\end{ausgerichtet}}}$

( Gl.1 )

Die Bezeichnung ( f * _N g ) für die zyklischen Faltungs Faltung bezeichnet über die zyklische Gruppe von ganzen Zahlen modulo N .

Eine kreisförmige Faltung tritt am häufigsten im Zusammenhang mit einer schnellen Faltung mit einem Fast-Fourier-Transformations- (FFT)-Algorithmus auf.

Schnelle Faltungsalgorithmen

In vielen Situationen können diskrete Faltungen in kreisförmige Faltungen umgewandelt werden, so dass schnelle Transformationen mit einer Faltungseigenschaft verwendet werden können, um die Berechnung zu implementieren. Beispielsweise ist die Faltung von Ziffernfolgen die Kernoperation bei der Multiplikation mehrstelliger Zahlen, die daher mit Transformationstechniken effizient implementiert werden kann ( Knuth 1997 , §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003 , §8.2).

Gleichung 1 erfordert N arithmetische Operationen pro Ausgabewert und N ² Operationen für N Ausgaben. Das kann mit einem von mehreren schnellen Algorithmen deutlich reduziert werden. Digitale Signalverarbeitung und andere Anwendungen verwenden typischerweise schnelle Faltungsalgorithmen, um die Kosten der Faltung auf eineKomplexitätvon O( N log N ) zu reduzieren.

Die gebräuchlichsten Fast-Faltungsalgorithmen verwenden Fast-Fourier-Transformations- (FFT)-Algorithmen über das Zirkularfaltungstheorem . Insbesondere wird die kreisförmige Faltung von zwei Folgen endlicher Länge gefunden, indem eine FFT jeder Folge genommen wird, punktweise multipliziert und dann eine inverse FFT durchgeführt wird. Faltungen des oben definierten Typs werden dann unter Verwendung dieser Technik in Verbindung mit einer Null-Erweiterung und/oder dem Verwerfen von Teilen der Ausgabe effizient implementiert. Andere schnelle Faltungsalgorithmen, wie der Schönhage-Strassen-Algorithmus oder die Mersenne-Transformation, verwenden schnelle Fourier-Transformationen in anderen Ringen .

Wenn eine Sequenz viel länger ist als die andere, ist die Null-Erweiterung der kürzeren Sequenz und die schnelle kreisförmige Faltung nicht das recheneffizienteste verfügbare Verfahren. Stattdessen ermöglicht das Zerlegen der längeren Sequenz in Blöcke und das Falten jedes Blocks schnellere Algorithmen wie die Overlap-Save-Methode und die Overlap-Add-Methode . Ein hybrides Faltungsverfahren, das Block- und FIR- Algorithmen kombiniert, ermöglicht eine Null-Eingabe-Ausgabe-Latenz, die für Echtzeit-Faltungsberechnungen nützlich ist.

Definitionsbereich

Die Faltung zweier komplexwertiger Funktionen auf R ^d ist selbst eine komplexwertige Funktion auf R ^d , definiert durch:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(xy)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d }}f(xy)g(y)\,dy,}$

und ist nur dann wohldefiniert, wenn f und g im Unendlichen ausreichend schnell zerfallen, damit das Integral existiert. Die Bedingungen für die Existenz der Faltung können schwierig sein, da ein Aufblasen von g im Unendlichen leicht durch ein ausreichend schnelles Abklingen von f ausgeglichen werden kann . Die Existenzfrage kann also unterschiedliche Bedingungen für f und g beinhalten :

Kompakt unterstützte Funktionen

Wenn f und g sind kompakt unterstützt stetige Funktionen , dann ist ihre Faltung vorhanden ist , und auch kompakt gehalten und kontinuierlich ( Hörmander 1983 , Kapitel 1). Allgemeiner gesagt , wenn eine Funktion (zB f kompakt unterstützt) ist , und die andere ist lokal integrierbare , dann die Faltung f * g wohldefiniert und kontinuierlich.

Die Faltung von f und g ist auch dann wohldefiniert, wenn beide Funktionen auf R lokal quadratintegrierbar sind und auf einem Intervall der Form [ a , +∞) (oder beide gestützt auf [−∞, a ] ) unterstützt werden.

Integrierbare Funktionen

Die Faltung von f und g ist gegeben , wenn f und g sind beiden Lebesgue- integrierbaren Funktionen in L ¹ ( R ^d ) , und in diesem Fall f * g ist auch integrierbare ( Stein & Weiss 1971 , Theorem 1.3). Dies ist eine Folge des Satzes von Tonelli . Dies gilt auch für Funktionen in L ¹ unter der diskreten Faltung oder allgemeiner für die Faltung auf einer beliebigen Gruppe .

Ebenso, wenn f ∈ L ¹ ( R ^d ) und   g ∈ L ^p ( R ^d ) , wobei 1 ≤ p ≤ ∞ , dann   f * g ∈ L ^p ( R ^d ), und

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

Im speziellen Fall p = 1 zeigt dies, dass L ¹ eine Banach-Algebra unter der Faltung ist (und die Gleichheit der beiden Seiten gilt, wenn f und g fast überall nicht negativ sind).

Allgemeiner Youngs Ungleichheit impliziert , dass die Faltung der Karte zwischen geeigneten eine kontinuierliche bilinear ist L ^p Räume. Insbesondere wenn 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ erfüllt:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

dann

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert_{r}\leq \left\Vert f\right\Vert_{p}\left\Vert g\right\Vert_{q},\quad f \in{\mathcal{L}}^{p},\g\in{\mathcal{L}}^{q},}$

so dass die Faltung eine kontinuierliche bilineare Abbildung von L ^p × L ^q auf L ^{r ist} . Die Young-Ungleichung für Faltung gilt auch in anderen Zusammenhängen (Kreisgruppe, Faltung auf Z ). Die vorhergehende Ungleichung ist auf der reellen Geraden nicht scharf: wenn 1 < p , q , r < ∞ , existiert eine Konstante B _{p , q} < 1 derart, dass:

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{ q},\quadf\in{\mathcal{L}}^{p},\g\in{\mathcal{L}}^{q}.}$

Der optimale Wert von B _{p , q} wurde 1975 und unabhängig davon 1976 entdeckt, siehe Brascamp-Lieb-Ungleichung .

Eine stärkere Schätzung ist wahr, vorausgesetzt 1 < p , q , r < ∞ :

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

wo ist die schwache L ^q -Norm. Die Faltung definiert wegen der schwachen Young-Ungleichung auch eine bilineare stetige Abbildung für : ${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$${\displaystyle 1<p,q,r<\infty}$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

Funktionen des schnellen Zerfalls

Neben kompakt unterstützten Funktionen und integrierbaren Funktionen können auch Funktionen gefaltet werden, die im Unendlichen einen ausreichend schnellen Zerfall aufweisen. Ein wichtiges Merkmal der Faltung ist, dass wenn f und g beide schnell zerfallen, dann auch f ∗ g schnell zerfällt. Insbesondere wenn f und g sind schnell Funktionen abnehmen , dann ist also die Faltung f * g . Zusammen mit der Tatsache, dass Faltung mit Differentiation kommutiert (siehe #Eigenschaften ), folgt daraus, dass die Klasse der Schwartz-Funktionen unter Faltung abgeschlossen ist ( Stein & Weiss 1971 , Satz 3.3).

Ausschüttungen

Unter Umständen ist es möglich, die Faltung einer Funktion mit einer Verteilung oder von zwei Verteilungen zu definieren. Wenn f eine kompakt unterstützte Funktion und g eine Verteilung ist, dann ist f ∗ g eine glatte Funktion, definiert durch eine Verteilungsformel analog zu

${\displaystyle \int_{\mathbf{R}^{d}}{f}(y)g(xy)\,dy.}$

Ganz allgemein ist es möglich, die Definition der Faltung auf einzigartige Weise zu erweitern, so dass das Assoziativgesetz

${\displaystyle f*(g*\varphi)=(f*g)*\varphi}$

bleibt gültig, wenn f eine Verteilung und g eine kompakt unterstützte Verteilung ist ( Hörmander 1983 , §4.2).

Mittel

Die Faltung von zwei beliebigen Borel-Maßen μ und ν der beschränkten Variation ist das Maß definiert durch ( Rudin 1962 ) ${\displaystyle \mu *\nu}$

${\displaystyle \int_{\mathbf{R}^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu)(x)=\int_{\mathbf{R}^{d}}\ int _{\mathbf{R}^{d}}f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y).}$

Bestimmtes,

${\displaystyle (\mu *\nu)(A)=\int_{\mathbf{R}^{d}\times \mathbf{R}^{d}}1_{A}(x+y)\, d(\mu\times\nu)(x,y),}$

wobei ist eine messbare Menge und ist die Indikatorfunktion von . ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

Dies stimmt mit der oben definierten Faltung überein, wenn μ und ν als Verteilungen betrachtet werden, sowie mit der Faltung von L ¹ -Funktionen, wenn μ und ν bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut stetig sind.

Die Maßfaltung erfüllt auch die folgende Version der Youngschen Ungleichung

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

wobei die Norm die Gesamtvariation eines Maßes ist. Da der Raum der Maße der beschränkten Variation ein Banach-Raum ist , kann die Faltung von Maßen mit Standardmethoden der Funktionalanalyse behandelt werden , die für die Faltung von Verteilungen möglicherweise nicht gelten.

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Die Faltung definiert ein Produkt auf dem linearen Raum integrierbarer Funktionen. Dieses Produkt erfüllt die folgenden algebraischen Eigenschaften, die formal bedeuten, dass der Raum der integrierbaren Funktionen mit dem durch Faltung gegebenen Produkt eine kommutative assoziative Algebra ohne Identität ist ( Strichartz 1994 , §3.3). Andere lineare Räume von Funktionen, wie beispielsweise den Raum von stetigen Funktionen von kompaktem Träger sind geschlossen unter der Faltung und so auch kommutative Assoziative Algebra bilden.

Kommutativität

$${\displaystyle f*g=g*f}$$

Beweis: Per Definition:

$${\displaystyle (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau}$$

Es folgt die Änderung der Integrationsvariablen in das Ergebnis.${\displaystyle u=t-\tau}$

Assoziativität

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$

Beweis: Dies folgt aus dem Satz von Fubini (dh Doppelintegrale können als iterierte Integrale in beliebiger Reihenfolge ausgewertet werden).

Verteilung

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$

Beweis: Dies folgt aus der Linearität des Integrals.

Assoziativität mit Skalarmultiplikation

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$

für jede reelle (oder komplexe) Zahl .${\displaystyle a}$

Multiplikative Identität

Keine Algebra von Funktionen besitzt eine Identität für die Faltung. Das Fehlen von Identität stellt normalerweise keine große Unannehmlichkeit dar, da die meisten Sammlungen von Funktionen, an denen die Faltung durchgeführt wird, mit einer Delta-Verteilung (einem einheitlichen Impuls, bei Null zentriert) oder zumindest (wie im Fall von L ¹ ) Annäherungen an die Identität zulassen . Der lineare Raum kompakt gestützter Verteilungen lässt jedoch eine Identität unter der Faltung zu. Speziell,

$${\displaystyle f*\delta =f}$$

wobei δ die Deltaverteilung ist.

Inverses Element

Manche Verteilungen S haben ein inverses Element S ⁻¹ für die Faltung, das dann

$${\displaystyle S^{-1}*S=\delta}$$

woraus eine explizite Formel für S ^{–1 abgeleitet werden} kann.

Die Menge der invertierbaren Verteilungen bildet eine abelsche Gruppe unter der Faltung.

Komplexe Konjugation

${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$

Zusammenhang mit Differenzierung

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$

Nachweisen:

$${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\ tau )\,d\tau \\[4pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\ tau )\,d\tau \\[4pt]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g'(t-\tau)\,d\tau =f*g' .\end{ausgerichtet}}}$$

Zusammenhang mit Integration

Wenn und dann${\textstyle F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau,}$${\textstyle G(t)=\int_{-\infty}^{t}g(\tau)\,d\tau,}$

$${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty}^{t}(f*g)(\tau)\,d\tau .}$$

Integration

Sind f und g integrierbare Funktionen, so erhält man das Integral ihrer Faltung auf dem ganzen Raum einfach als Produkt ihrer Integrale:

${\displaystyle \int_{\mathbf{R}^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int_{\mathbf{R}^{d}}f(x) \,dx\right)\left(\int_{\mathbf{R}^{d}}g(x)\,dx\right).}$

Dies folgt aus dem Satz von Fubini . Das gleiche Ergebnis gilt, wenn f und g nur als nichtnegative messbare Funktionen nach dem Satz von Tonelli angenommen werden .

Unterscheidung

Im Ein-Variablen-Fall

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

wobei d / dx die Ableitung ist . Allgemeiner gilt bei Funktionen mehrerer Variablen eine analoge Formel mit der partiellen Ableitung :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

Dies hat insbesondere zur Folge, dass die Faltung als "Glättungsoperation" angesehen werden kann: Die Faltung von f und g ist so oft differenzierbar, wie f und g insgesamt sind.

Diese Identitäten gelten unter der genauen Bedingung, dass f und g absolut integrierbar sind und mindestens eine von ihnen eine absolut integrierbare (L ¹ ) schwache Ableitung als Folge der Youngschen Faltungsungleichung hat . Wenn beispielsweise f stetig differenzierbar ist mit kompaktem Träger und g eine beliebige lokal integrierbare Funktion ist,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

Diese Identitäten gelten auch viel weiter im Sinne von temperierten Verteilungen, wenn eine von f oder g eine schnell fallende temperierte Verteilung , eine kompakt unterstützte temperierte Verteilung oder eine Schwartz-Funktion ist und die andere eine temperierte Verteilung ist. Andererseits können zwei positiv integrierbare und unendlich differenzierbare Funktionen eine nirgendwo stetige Faltung haben.

Im diskreten Fall erfüllt der Differenzoperator D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) eine analoge Beziehung:

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

Faltungstheorem

Der Faltungssatz besagt, dass

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

wobei bezeichnet die Fourier-Transformation von und ist eine Konstante, die von der spezifischen Normierung der Fourier-Transformation abhängt . Versionen dieses Theorems gelten auch für die Laplace-Transformation , die zweiseitige Laplace-Transformation , die Z-Transformation und die Mellin-Transformation . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

Wenn andererseits die Fourier-Transformationsmatrix ist , dann ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal{W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal{W}}C^{(1 )}\bullet {\mathcal{W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal{W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal{W }}C^{(2)}y}$,

wo ist Gesicht spalt Produkt , bezeichnet Kronecker - Produkt , bezeichnet Hadamard Produkt (dieses Ergebnis ist ein sich entwickelndes der Zählung Skizze Eigenschaften). ${\displaystyle\bullet}$${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle \circ}$

Translationale Äquivarianz

Die Faltung tauscht sich mit Übersetzungen aus, was bedeutet, dass

${\displaystyle \tau_{x}(f*g)=(\tau_{x}f)*g=f*(\tau_{x}g)}$

wobei τ _x f die Übersetzung der Funktion f durch x ist, definiert durch

${\displaystyle (\tau_{x}f)(y)=f(yx).}$

Wenn f a ist Schwartz - Funktion , dann τ _x f die Faltung mit einer Funktion Dirac Delta setzten τ _x f = f * τ _x δ . Die Translationsinvarianz der Faltung von Schwartz-Funktionen ist also eine Folge der Assoziativität der Faltung.

Außerdem ist die Faltung unter bestimmten Bedingungen die allgemeinste translationsinvariante Operation. Informell gilt folgendes

Nehmen wir an, daß S ein beschränktes ist linearen Operator wirkt auf Funktionen , die pendelt mit Übersetzungen: S ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) für alle x . Dann ist S als Faltung mit einer Funktion (oder Verteilung) g _{S gegeben} ; das ist Sf = g _S ∗ f .

Somit können einige translationsinvariante Operationen als Faltung dargestellt werden. Faltungen spielen eine wichtige Rolle beim Studium zeitinvarianter Systeme und insbesondere der LTI-Systemtheorie . Die darstellende Funktion g _S ist die Impulsantwort der Transformation S .

Eine genauere Version des oben zitierten Theorems erfordert die Angabe der Klasse von Funktionen, auf der die Faltung definiert ist, und erfordert außerdem die Annahme, dass S ein stetiger linearer Operator in Bezug auf die entsprechende Topologie sein muss . Es ist zum Beispiel bekannt, dass jeder stetige translationsinvariante stetige lineare Operator auf L ¹ die Faltung mit einem endlichen Borel-Maß ist . Allgemeiner gesagt ist jeder stetige translationsinvariante stetige lineare Operator auf L ^p für 1 ≤ p < ∞ die Faltung mit einer temperierten Verteilung, deren Fourier-Transformierte beschränkt ist. Sie sind nämlich alle durch beschränkte Fourier-Multiplikatoren gegeben .

Windungen auf Gruppen

Wenn G eine geeignete Gruppe ist, die mit einem Maß λ ausgestattet ist, und wenn f und g reelle oder komplexwertige integrierbare Funktionen auf G sind , dann können wir ihre Faltung definieren durch

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ. In typischen interessierenden Fällen ist G eine lokal kompakte topologische Hausdorff- Gruppe und λ ein (links-) Haar-Maß . In diesem Fall, es sei denn, G ist unimodular , ist die so definierte Faltung nicht dieselbe wie . Die Bevorzugung des einen gegenüber dem anderen erfolgt so, dass die Faltung mit fester Funktion g mit linker Translation in der Gruppe kommutiert: ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Darüber hinaus ist die Konvention auch aus Gründen der Konsistenz mit der unten angegebenen Definition der Maßfaltung erforderlich. Bei einem rechten statt einem linken Haar-Maß wird jedoch das letztere Integral dem ersteren vorgezogen.

Auf lokal kompakten abelschen Gruppen gilt eine Version des Faltungssatzes : Die Fourier-Transformation einer Faltung ist das punktweise Produkt der Fourier-Transformationen. Die Kreisgruppe T mit dem Lebesgue-Maß ist ein unmittelbares Beispiel. Für ein festes g in L ¹ ( T ) gilt der folgende bekannte Operator, der auf den Hilbertraum L ² ( T ) wirkt :

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi}}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(xy)\,dy.}$

Der Operator T ist kompakt . Eine direkte Rechnung zeigt, dass sein adjungiertes T* eine Faltung mit ist

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

Durch die commutativity Eigenschaft wie oben zitiert, T ist Normal : T * T = TT *. Außerdem kommutiert T mit den Übersetzungsoperatoren. Betrachten Sie die Operatorenfamilie S , die aus all diesen Faltungen und den Übersetzungsoperatoren besteht. Dann ist S eine kommutierende Familie von normalen Operatoren. Nach Spektraltheorie existiert eine Orthonormalbasis { h _k } , die gleichzeitig diagonalisiert S . Dies charakterisiert Windungen auf dem Kreis. Konkret haben wir

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in\mathbb{Z},\;}$

das sind genau die Charaktere von T . Jede Faltung ist in dieser Basis ein kompakter Multiplikationsoperator . Dies kann als eine Version des oben diskutierten Faltungstheorems angesehen werden.

Ein diskretes Beispiel ist eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n . Faltungsoperatoren werden hier durch zirkulierende Matrizen dargestellt und können durch die diskrete Fourier-Transformation diagonalisiert werden .

Ein ähnliches Ergebnis gilt für kompakte Gruppen (nicht unbedingt abelsch): Die Matrixkoeffizienten endlichdimensionaler unitärer Darstellungen bilden nach dem Peter-Weyl-Theorem eine Orthonormalbasis in L ² , und ein Analogon des Faltungssatzes gilt weiterhin, zusammen mit vielen andere Aspekte der harmonischen Analyse , die von der Fourier-Transformation abhängen.

Bündelung von Maßnahmen

Sei G eine (multiplikativ geschriebene) topologische Gruppe. Sind μ und ν endliche Borel-Maße auf G , dann ist ihre Faltung μ ∗ ν als Vorwärtsmaß der Gruppenaktion definiert und lässt sich schreiben als

${\displaystyle (\mu *\nu)(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

für jede messbare Teilmenge E von G . Die Faltung ist ebenfalls ein endliches Maß, dessen Gesamtvariation erfüllt

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

In dem Fall , wenn G ist lokal kompakt mit (links) Haare Maß λ, μ und ν und ist absolut stetig in Bezug auf eine λ, so daß jeweils eine Dichtefunktion hat , dann ist die Faltung μ * ν ist auch absolut kontinuierlich und seine Dichtefunktion ist nur die Faltung der beiden separaten Dichtefunktionen.

Wenn μ und ν Wahrscheinlichkeitsmaße auf der topologischen Gruppe ( R ,+) sind, dann ist die Faltung μ ∗ ν die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe X + Y zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y, deren jeweilige Verteilung μ und ν ist.

Bialgebras

Sei ( X , Δ, ∇, ε , η ) eine Bialgebra mit Komultiplikation Δ, Multiplikation ∇, Einheit η und Anzahl ε . Die Faltung ist ein Produkt, das auf der Endomorphismusalgebra End( X ) wie folgt definiert ist. Seien φ , ψ ∈ End( X ), also φ , ψ : X → X Funktionen, die alle algebraischen Strukturen von X berücksichtigen , dann ist die Faltung φ ∗ ψ definiert als die Komposition

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta} } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi\otimes\psi} } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla} } X.}$

Die Faltung erscheint insbesondere in der Definition der Hopf-Algebren ( Kassel 1995 , §III.3). Eine Bialgebra ist genau dann eine Hopf-Algebra, wenn sie einen Antipoden hat: einen Endomorphismus S mit

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

Anwendungen

Gaußsche Unschärfe kann verwendet werden, um ein glattes digitales Graustufenbild eines Halbtondrucks zu erhalten .

Faltung und verwandte Operationen finden sich in vielen Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Mathematik.

• In der Bildverarbeitung

  In der digitalen Bildverarbeitung spielt die Faltungsfilterung eine wichtige Rolle in vielen wichtigen Algorithmen bei der Kantenerkennung und verwandten Prozessen.

  In der Optik ist ein unscharfes Foto eine Faltung des scharfen Bildes mit einer Linsenfunktion. Der fotografische Begriff dafür ist Bokeh .

  In Bildverarbeitungsanwendungen wie dem Hinzufügen von Unschärfe.

• In der digitalen Datenverarbeitung

  In der analytischen Chemie werden Savitzky-Golay-Glättungsfilter zur Analyse spektroskopischer Daten verwendet. Sie können das Signal-Rausch-Verhältnis bei minimaler Verzerrung der Spektren verbessern

  In der Statistik ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt eine Faltung.

• In der Akustik ist Nachhall die Faltung des Originaltons mit Echos von Objekten, die die Schallquelle umgeben.

  In der digitalen Signalverarbeitung wird die Faltung verwendet, um die Impulsantwort eines realen Raums auf ein digitales Audiosignal abzubilden .

  In der elektronischen Musik ist Faltung das Auferlegen einer spektralen oder rhythmischen Struktur auf einen Klang. Oft wird diese Hüllkurve oder Struktur einem anderen Klang entnommen. Die Faltung zweier Signale ist die Filterung des einen durch das andere.

• In der Elektrotechnik ergibt die Faltung einer Funktion (dem Eingangssignal ) mit einer zweiten Funktion (der Impulsantwort) die Ausgabe eines linearen zeitinvarianten Systems (LTI). Zu jedem gegebenen Zeitpunkt ist die Ausgabe ein akkumulierter Effekt aller vorherigen Werte der Eingabefunktion, wobei die jüngsten Werte typischerweise den größten Einfluss haben (ausgedrückt als multiplikativer Faktor). Die Impulsantwortfunktion liefert diesen Faktor als Funktion der seit dem Auftreten jedes Eingangswerts verstrichenen Zeit.
• In der Physik taucht überall dort, wo es ein lineares System mit einem " Superpositionsprinzip " gibt, eine Faltungsoperation auf. Beispielsweise ergibt in der Spektroskopie eine Linienverbreiterung aufgrund des Dopplereffekts allein eine Gaußsche Spektrallinienform und eine Kollisionsverbreiterung allein ergibt eine Lorentzsche Linienform. Wenn beide Effekte wirksam sind, ist die Linienform eine Faltung von Gaussian und Lorentzian, eine Voigt-Funktion .

  Bei der zeitaufgelösten Fluoreszenzspektroskopie kann das Anregungssignal als eine Kette von Delta-Pulsen behandelt werden, und die gemessene Fluoreszenz ist eine Summe exponentieller Zerfälle von jedem Delta-Puls.

  In der numerischen Strömungsmechanik verwendet das Large-Eddy-Simulation- (LES) -Turbulenzmodell die Faltungsoperation, um den Bereich der für die Berechnung erforderlichen Längenskalen zu verringern, wodurch die Rechenkosten reduziert werden.

• In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen die Faltung ihrer individuellen Verteilungen.

  Bei der Kerneldichteschätzung wird eine Verteilung aus Abtastpunkten durch Faltung mit einem Kernel geschätzt, beispielsweise einer isotropen Gaussian.

• In Strahlentherapie-Behandlungsplanungssystemen wenden die meisten modernen Berechnungscodes einen Faltungs-Überlagerungsalgorithmus an .
• Bei der strukturellen Zuverlässigkeit kann der Zuverlässigkeitsindex basierend auf dem Faltungstheorem definiert werden.

  Die Definition des Zuverlässigkeitsindex für Grenzzustandsfunktionen mit Nichtnormalverteilungen kann entsprechend der gemeinsamen Verteilungsfunktion festgelegt werden . Tatsächlich kann die gemeinsame Verteilungsfunktion unter Verwendung der Faltungstheorie erhalten werden.

• Convolutional neuronale Netze wenden mehrere kaskadierte Faltungskerne mit Anwendungen in der maschinellen Bildverarbeitung und künstlichen Intelligenz an . Obwohl dies in den meisten Fällen eher Kreuzkorrelationen als Faltungen sind.
• In Smoothed-Particle Hydrodynamics werden Simulationen der Fluiddynamik unter Verwendung von Partikeln mit jeweils umgebenden Kernen berechnet. Für jedes gegebene Teilchen wird eine physikalische Größe als Faltung von mit einer Gewichtungsfunktion berechnet , wobei die Nachbarn des Teilchens bezeichnet werden : diejenigen, die sich innerhalb seines Kerns befinden. Die Faltung wird als Summation über jeden Nachbarn angenähert.${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

• Bracewell, R. (1986), Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen (2. Aufl.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4.
• Damelin, S.; Miller, W. (2011), The Mathematics of Signal Processing , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
• Diggle, PJ (1985), "A kernel method for smoothing point process data", Journal of the Royal Statistical Society, Series C , 34 (2): 138–147, doi : 10.2307/2347366 , JSTOR  2347366 , S2CID  116746157
• Dominguez-Torres, Alejandro (2. November 2010). „Ursprung und Geschichte der Faltung“. 41 S. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution . Cranfield, Bedford MK43 OAL, Großbritannien. Abgerufen am 13.03.2013.
• Ghasemi, S. Hooman; Nowak, Andrzej S. (2017), "Reliability Index for Non-normal Distributions of Grenz State Functions", Structural Engineering and Mechanics , 62 (3): 365–372, doi : 10.12989/sem.2017.62.3.365
• Grinshpan, AZ (2017), "An inequality for multiple convolutions bezüglich des Dirichlet-Wahrscheinlichkeitsmaßes", Advances in Applied Mathematics , 82 (1): 102–119, doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstrakte harmonische Analyse. vol. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, HERR  0551496.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstrakte harmonische Analyse. vol. II: Struktur und Analyse für Kompaktgruppen. Analysis on local compact abelian groups , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0262773.
• Hörmander, L. (1983), Die Analyse linearer partieller Differentialoperatoren I , Grundl. Mathematik. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR  0717035.
• Kassel, Christian (1995), Quantum groups , Graduate Texts in Mathematics, 155 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0783-2 , ISBN 978-0-387-94370-1, MR  1321145.
• Knuth, Donald (1997), Seminumerical Algorithms (3. Aufl.), Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methoden der modernen mathematischen Physik. II. Fourier-Analyse, Selbstadjointness , New York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, S. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, MR  0493420
• Rudin, Walter (1962), Fourier analysis on groups , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 12 , New York–London: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, HERR  0152834.
• Schäfer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Einführung in die Fourier-Analyse euklidischer Räume , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Faltung von Funktionen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Titchmarsh, E (1948), Einführung in die Theorie der Fourier-Integrale (2. Aufl.), New York, NY: Chelsea Pub. Co. (veröffentlicht 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Uludag, AM (1998), "Über eine mögliche Verschlechterung der Glätte unter der Operation der Faltung", J. Math. Anal. Appl. , 227 (2): 335–358, doi : 10.1006/jmaa.1998.6091
• von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Moderne Computeralgebra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.

Externe Links

• Früheste Verwendungen: Der Eintrag zu Convolution enthält einige historische Informationen.
• Faltung , auf The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Visuelle Faltung Java Applet
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Visual Convolution Java Applet für zeitdiskrete Funktionen
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution discret-convolution Online-Rechner
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Faltungsdemo und Visualisierung in Javascript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Eine weitere Faltungs-Demo in Javascript
• Vorlesungen zur Bildverarbeitung: Eine Sammlung von 18 Vorlesungen im PDF-Format von der Vanderbilt University. Vorlesung 7 befasst sich mit der 2-D-Faltung. , von Alan Peters
• * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Interaktives Tutorial zum Betrieb von Faltungskernelmasken
• Faltung bei MathWorld
• Freeverb3 Impulse Response Processor : Open-Source- Impulsantwortprozessor mit null Latenz und VST-Plugins
• Stanford University CS 178 interaktive Flash-Demo, die zeigt, wie die räumliche Faltung funktioniert.
• Ein Videovortrag zum Thema Faltung von Salman Khan
• Beispiel einer FFT-Faltung zur Mustererkennung (Bildverarbeitung)
• Intuitiver Leitfaden zur Faltung Ein Blogpost über eine intuitive Interpretation der Faltung.