Kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus - Covariant formulation of classical electromagnetism

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Kovariante Formulierung Elektromagnetischer Tensor ( Spannungs-Energie-Tensor ) Vierstrom Elektromagnetisches Vierpotential
Wissenschaftler Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heavyside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sänger Tesla Volta Weber Poisson
v t e

Die kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus bezieht sich auf die Schreibweise der Gesetze des klassischen Elektromagnetismus (insbesondere der Maxwell-Gleichungen und der Lorentzkraft ) in einer Form, die unter Lorentz-Transformationen offensichtlich invariant ist , im Formalismus der speziellen Relativitätstheorie unter Verwendung von geradlinigen Trägheitskoordinatensystemen . Diese Ausdrücke machen es sowohl einfach zu beweisen, dass die Gesetze des klassischen Elektromagnetismus in jedem Trägheitskoordinatensystem dieselbe Form annehmen, als auch eine Möglichkeit, die Felder und Kräfte von einem System in ein anderes zu übertragen. Dies ist jedoch nicht so allgemein wie die Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit oder nicht geradlinigen Koordinatensystemen.

Dieser Artikel verwendet durchgängig die klassische Behandlung von Tensoren und die Einstein-Summationskonvention, und die Minkowski-Metrik hat die Form diag(+1, −1, −1, −1). Wo die Gleichungen als im Vakuum gehalten angegeben werden, könnte man sie stattdessen als Formulierung der Maxwell-Gleichungen in Bezug auf Gesamtladung und Strom betrachten.

Für einen allgemeineren Überblick über die Beziehungen zwischen klassischem Elektromagnetismus und spezieller Relativitätstheorie, einschließlich verschiedener konzeptioneller Implikationen dieses Bildes, siehe Klassischer Elektromagnetismus und spezielle Relativitätstheorie .

Kovariante Objekte

Vorläufige Vierer-Vektoren

Lorentz-Tensoren der folgenden Arten können in diesem Artikel verwendet werden, um Körper oder Teilchen zu beschreiben:

• vierfach :

${\displaystyle x^{\alpha}=(ct,\mathbf{x})=(ct,x,y,z)\,.}$

• Vier-Geschwindigkeit :

${\displaystyle u^{\alpha}=\gamma (c,\mathbf{u}),}$

wobei γ ( u ) der Lorentzfaktor bei der 3-Geschwindigkeit u ist .

• Vier-Impuls :

${\displaystyle p^{\alpha}=(E/c,\mathbf{p})=m_{0}u^{\alpha}\,}$

wo 3-Impuls, ist die Gesamtenergie und ist Ruhemasse .${\displaystyle\mathbf{p}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m_{0}}$

• Vier-Gradient

${\displaystyle \partial ^{\nu}={\frac {\partial }{\partial x_{\nu}}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{ \partial t}},-\mathbf {\nabla} \right)\,,}$

• Der d'Alembertsche Operator wird mit , bezeichnet .${\displaystyle {\partial}^{2}}$${\displaystyle \partial^{2}={\frac{1}{c^{2}}}{\partial\over\partial t}{\partial\over\partial t}-\nabla^{2}}$

Die Vorzeichen in der folgenden Tensoranalyse hängen von der Konvention ab, die für den metrischen Tensor verwendet wird . Die hier verwendete Konvention ist (+ − − −) , entsprechend dem metrischen Minkowski-Tensor :

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

Elektromagnetischer Tensor

Der elektromagnetische Tensor ist die Kombination der elektrischen und magnetischen Felder zu einem kovarianten antisymmetrischen Tensor, dessen Einträge B- Feldgrößen sind.

${\displaystyle F_{\alpha\beta}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z} &B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right) \,}$

und das Ergebnis der Erhöhung seiner Indizes ist

${\displaystyle F^{\mu\nu}\,{\stackrel {\mathrm {def}}{=}}\,\eta^{\mu\alpha}\,F_{\alpha\beta}\,\ eta ^{\beta \nu}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right )\,.}$

wobei E das elektrische Feld , B das magnetische Feld und c die Lichtgeschwindigkeit ist .

Vierstrom

Der Viererstrom ist der kontravariante Vierervektor, der die elektrische Ladungsdichte ρ und die elektrische Stromdichte j kombiniert :

${\displaystyle J^{\alpha}=(c\rho,\mathbf{j})\,.}$

Vier-Potential

Das elektromagnetische Viererpotential ist ein kovarianter Vierervektor, der das elektrische Potential (auch Skalarpotential genannt ) ϕ und das magnetische Vektorpotential (oder Vektorpotential ) A wie folgt enthält:

${\displaystyle A^{\alpha}=\left(\phi/c,\mathbf{A}\right)\,.}$

Die Differenz des elektromagnetischen Potentials ist

${\displaystyle F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}\,.}$

In der Sprache der Differentialformen , die die Verallgemeinerung auf gekrümmte Raumzeiten liefert, sind dies die Komponenten einer 1-Form bzw. einer 2-Form . Hier ist die äußere Ableitung und das Keilprodukt . ${\displaystyle A=A_{\alpha}dx^{\alpha}}$${\displaystyle F=dA={\frac{1}{2}}F_{\alpha\beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle\keil}$

Elektromagnetischer Stress – Energietensor

Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor kann als Flussdichte des Impuls-Vier-Vektors interpretiert werden und ist ein kontravarianter symmetrischer Tensor, der den Beitrag der elektromagnetischen Felder zum gesamten Spannungs-Energie-Tensor darstellt :

${\displaystyle T^{\alpha\beta}={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu_{0}&S_{x}/ c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c& -\sigma_{yx}&-\sigma_{yy}&-\sigma_{yz}\\S_{z}/c&-\sigma_{zx}&-\sigma_{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$

wobei die elektrische Permittivität des Vakuums ist , μ ₀ die magnetische Permeabilität des Vakuums ist , der Poynting-Vektor ist ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle \mathbf{S} ={\frac{1}{\mu_{0}}}\mathbf{E} \times \mathbf{B}}$

und der Maxwell-Spannungstensor ist gegeben durch

${\displaystyle \sigma_{ij}=\epsilon_{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu_{0}}}B_{i}B_{j}-\ left({\frac {1}{2}}\epsilon_{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu_{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$

Der elektromagnetische Feldtensor F konstruiert den elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor T durch die Gleichung:

${\displaystyle T^{\alpha\beta}={\frac{1}{\mu_{0}}}\left(\eta^{\alpha\nu}F_{\nu\gamma}F^{\ Gamma\beta}+{\frac{1}{4}}\eta^{\alpha\beta}F_{\gamma\nu}F^{\gamma\nu}\right)}$

wobei η der metrische Minkowski- Tensor ist (mit Signatur (+ − − −) ). Beachten Sie, dass wir die Tatsache nutzen, dass

${\displaystyle \epsilon_{0}\mu_{0}c^{2}=1\,,}$

was durch die Maxwell-Gleichungen vorhergesagt wird.

Maxwell-Gleichungen im Vakuum

Im Vakuum (oder für die mikroskopischen Gleichungen ohne makroskopische Materialbeschreibungen) können die Maxwell-Gleichungen als zwei Tensorgleichungen geschrieben werden.

Die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen, das Gauss-Gesetz und das Ampère-Gesetz (mit Maxwell-Korrektur) verbinden sich zu (mit (+ − − −) Metrik):

während sich die homogenen Gleichungen – das Faradaysche Induktionsgesetz und das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus kombinieren, um zu bilden , die mit Levi-Civita-Dualität geschrieben werden können als: ${\displaystyle {{\partial}_{\sigma}}{{F}^{\mu\nu}}+{{\partial}_{\mu}}{{F}^{\nu\sigma}} +{{\partial}_{\nu}}{{F}^{\sigma\mu}}=0}$

wobei F ^αβ das ist elektromagnetische Tensor , J ^α ist der Vier-Strom , & egr; ^αβγδ ist die Levi-Civita - Symbol , und die Indizes verhalten sich gemäß dem Einstein Summenkonvention .

Jede dieser Tensorgleichungen entspricht vier Skalargleichungen, eine für jeden Wert von β .

Mit der antisymmetrischen Tensornotation und Kommanotation für die partielle Ableitung (siehe Ricci-Kalkül ) kann die zweite Gleichung auch kompakter geschrieben werden als:

${\displaystyle F_{[\alpha\beta,\gamma]}=0.}$

In Ermangelung von Quellen reduzieren sich die Maxwell-Gleichungen auf:

${\displaystyle \partial^{\nu}\partial_{\nu}F^{\alpha\beta}\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\partial}^ {2}F^{\alpha\beta}\,\{\stackrel {\mathrm {def}}{=}}\{1 \over c^{2}}{\partial^{2}F^{\ alpha\beta} \over {\partial t}^{2}}-\nabla^{2}F^{\alpha\beta}=0\,,}$

die eine elektromagnetische Wellengleichung im Feldstärketensor ist.

Maxwell-Gleichungen im Lorenz-Eich

Die Lorenz-Eichbedingung ist eine Lorentz-invariante Eichbedingung. (Dies kann mit anderen Eichbedingungen wie der Coulomb-Eichung verglichen werden , die, wenn sie in einem Inertialsystem gilt, im Allgemeinen in keinem anderen gilt.) Es wird wie folgt als Viererpotential ausgedrückt:

${\displaystyle \partial_{\alpha}A^{\alpha}=\partial^{\alpha}A_{\alpha}=0\,.}$

Im Lorenz-Eich können die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle {\partial}^{2}A^{\sigma}=\mu_{0}\,J^{\sigma}\,.}$

Lorentzkraft

Geladenes Teilchen

Elektromagnetische (EM) Felder beeinflussen die Bewegung elektrisch geladener Materie: aufgrund der Lorentzkraft . Auf diese Weise können EM-Felder nachgewiesen werden (mit Anwendungen in der Teilchenphysik und Naturereignissen wie in Polarlichtern ). In relativistischer Form verwendet die Lorentzkraft den Feldstärketensor wie folgt.

Ausgedrückt in der Koordinatenzeit t ist es:

${\displaystyle {dp_{\alpha} \over {dt}}=q\,F_{\alpha\beta}\,{\frac {dx^{\beta}}{dt}},}$

wobei p _α der Viererimpuls ist, q die Ladung ist und x ^{β der Ort} ist.

In rahmenunabhängiger Form ausgedrückt, haben wir die Viererkraft

${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha}}{d\tau}}\,=q\,F_{\alpha\beta}\,u^{\beta},}$

wobei u ^β ist die Viergeschwindigkeit und τ ist die des Partikels geeignete Zeit , die von Zeit zu koordinieren zusammenhängt dt = γdτ .

Ladungskontinuum

Die Kraftdichte des Elektromagnetismus, dessen räumlicher Anteil die Lorentzkraft ist, ist gegeben durch

${\displaystyle f_{\alpha}=F_{\alpha\beta}J^{\beta}.\!}$

und steht in Beziehung zum elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor durch

${\displaystyle f^{\alpha}=-{T^{\alpha\beta}}_{,\beta}\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha\beta}}{\partial x^ {\Beta }}}.}$

Naturschutzgesetze

Elektrische Ladung

Die Kontinuitätsgleichung :

${\displaystyle {{J}^{\beta}}_{,\beta}{\overset {\text{def}}{\mathop {=}}}\,{{\partial}_{\beta}} {{J}^{\beta}}={{\partial}_{\beta}}{{\partial}_{\alpha}}{{F}^{\alpha\beta}}/{{\mu }_{0}}=0.}$

drückt Ladungserhaltung aus .

Elektromagnetische Energie–Impuls

Unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen kann man sehen, dass der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor (oben definiert) die folgende Differentialgleichung erfüllt, in Bezug auf den elektromagnetischen Tensor und den Strom-Vier-Vektor

${\displaystyle {T^{\alpha\beta}}_{,\beta}+F^{\alpha\beta}J_{\beta}=0}$

oder

${\displaystyle \eta_{\alpha\nu }{T^{\nu\beta}}_{,\beta}+F_{\alpha\beta}J^{\beta}=0,}$

was die Erhaltung des linearen Impulses und der Energie durch elektromagnetische Wechselwirkungen ausdrückt.

Kovariante Objekte in Materie

Freie und gebundene Vierströme

Um die hier angegebenen Gleichungen des Elektromagnetismus zu lösen, müssen Informationen zur Berechnung des elektrischen Stroms hinzugefügt werden, J ^ν Häufig ist es praktisch, den Strom in zwei Teile zu zerlegen, den freien Strom und den gebundenen Strom, die modelliert durch verschiedene Gleichungen;

${\displaystyle J^{\nu}={J^{\nu}}_{\text{frei}}+{J^{\nu}}_{\text{gebunden}}\,,}$

wo

${\displaystyle {J^{\nu}}_{\text{free}}=(c\rho_{\text{free}},\mathbf{J}_{\text{free}})=\left (c\nabla\cdot\mathbf{D},-\{\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}}+\nabla\times\mathbf{H}\right)\,,}$

${\displaystyle {J^{\nu}}_{\text{gebunden}}=(c\rho_{\text{gebunden}},\mathbf{J}_{\text{gebunden}})=\left (-\c\nabla\cdot\mathbf{P},{\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}}+\nabla\times\mathbf{M}\right)\,.}$

Es wurden die makroskopischen Gleichungen von Maxwell verwendet, zusätzlich die Definitionen der elektrischen Verschiebung D und der magnetischen Intensität H :

${\displaystyle \mathbf{D} =\epsilon_{0}\mathbf{E} +\mathbf{P} ,}$

${\displaystyle \mathbf{H} ={\frac{1}{\mu_{0}}}\mathbf{B} -\mathbf{M}\,.}$

wobei M die Magnetisierung und P die elektrische Polarisation ist .

Magnetisierungs-Polarisationstensor

Der gebundene Strom wird aus den P- und M- Feldern abgeleitet, die einen antisymmetrischen kontravarianten Magnetisierungs-Polarisations-Tensor bilden

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu\nu}={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z} &M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

was den gebundenen Strom bestimmt

${\displaystyle {J^{\nu}}_{\text{gebunden}}=\partial_{\mu}{\mathcal{M}}^{\mu\nu}\,.}$

Elektrischer Verschiebungstensor

Kombiniert man dies mit F ^μν erhält man den antisymmetrischen kontravarianten elektromagnetischen Verschiebungstensor, der die D- und H- Felder wie folgt kombiniert :

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu}={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0& -H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Die drei Feldtensoren sind verbunden durch:

${\displaystyle {\mathcal{D}}^{\mu\nu}={\frac{1}{\mu_{0}}}F^{\mu\nu}-{\mathcal{M}}^ {\mu\nu}\,}$

was den oben angegebenen Definitionen der D- und H- Felder entspricht.

Maxwell-Gleichungen in Materie

Das Ergebnis ist, dass das Gesetz von Ampère ,

${\displaystyle \mathbf {\nabla} \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$,

und das Gaußsche Gesetz ,

${\displaystyle \mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {D} =\rho_{\text{free}}}$,

kombiniere zu einer Gleichung:

Der gebundene Strom und der freie Strom wie oben definiert werden automatisch und separat gespeichert separately

${\displaystyle \partial_{\nu }{J^{\nu}}_{\text{bound}}=0\,}$

${\displaystyle \partial_{\nu }{J^{\nu}}_{\text{free}}=0\,.}$

Konstitutive Gleichungen

Vakuum

Im Vakuum sind die konstitutiven Beziehungen zwischen Feldtensor und Verschiebungstensor:

${\displaystyle \mu_{0}{\mathcal{D}}^{\mu\nu}=\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\eta^{\beta\nu}\ ,.}$

Antisymmetrie reduziert diese 16 Gleichungen auf nur sechs unabhängige Gleichungen. Da es üblich ist, F ^μν durch

${\displaystyle F^{\mu\nu}=\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\eta^{\beta\nu},}$

die konstitutiven Gleichungen können im Vakuum mit dem Gauß-Ampère-Gesetz kombiniert werden, um zu erhalten:

${\displaystyle \partial_{\beta}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}J^{\alpha}.\!}$

Der elektromagnetische Spannungs-Energie-Tensor in Bezug auf die Verschiebung ist:

${\displaystyle T_{\alpha}{}^{\pi}=F_{\alpha\beta}{\mathcal{D}}^{\pi\beta}-{\frac{1}{4}}\delta _{\alpha}^{\pi}F_{\mu\nu}{\mathcal{D}}^{\mu\nu},}$

wobei δ _α ^π das Kronecker-Delta ist . Wenn der obere Index mit η gesenkt wird , wird er symmetrisch und ist Teil der Quelle des Gravitationsfeldes.

Lineare, nichtdispersive Materie

Somit haben wir das Problem der Modellierung des Stroms J ^ν auf zwei (hoffentlich) einfachere Probleme reduziert – die Modellierung des freien Stroms J ^ν _frei und die Modellierung der Magnetisierung und Polarisation, . Zum Beispiel hat man in den einfachsten Materialien bei niedrigen Frequenzen ${\displaystyle {\mathcal{M}}^{\mu\nu}}$

${\displaystyle\mathbf{J}_{\text{frei}}=\sigma\mathbf{E}\,}$

${\displaystyle \mathbf{P} =\epsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E}\,}$

${\displaystyle\mathbf{M} =\chi_{m}\mathbf{H}\,}$

wobei man sich im augenblicklich mitbewegten Inertialsystem des Materials befindet, ist σ seine elektrische Leitfähigkeit , χ _e seine elektrische Suszeptibilität und χ _m seine magnetische Suszeptibilität .

Die konstitutiven Beziehungen zwischen den und F- Tensoren, die von Minkowski für ein lineares Material vorgeschlagen wurden ( dh E ist proportional zu D und B proportional zu H ), sind: ${\displaystyle {\mathcal{D}}}$

${\displaystyle {\mathcal{D}}^{\mu\nu}u_{\nu}=c^{2}\epsilon F^{\mu\nu}u_{\nu}}$

${\displaystyle {\star {\mathcal {D}}^{\mu\nu}}u_{\nu}={\frac {1}{\mu}}{\star F^{\mu\nu}} u_{\nu}}$

wobei u die Vierergeschwindigkeit des Materials ist, ε bzw. μ die Eigenpermittivität und Permeabilität des Materials (dh im Ruhesystem des Materials) sind und das Hodge-Dual bezeichnen . ${\displaystyle \star}$

Lagrange-Operator für klassische Elektrodynamik

Vakuum

Die Lagrangesche Dichte für die klassische Elektrodynamik setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: einer Feldkomponente und einer Quellenkomponente:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {Feld} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-{\ frac {1}{4\mu_{0}}}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}-A_{\alpha}J^{\alpha}\,.}$

Im Wechselwirkungsterm ist der Viererstrom als Abkürzung vieler Begriffe zu verstehen, die die elektrischen Ströme anderer geladener Felder in Bezug auf ihre Variablen ausdrücken; der Viererstrom ist selbst kein Fundamentalfeld.

Die Lagrange-Gleichungen für die elektromagnetische Lagrange-Dichte können wie folgt formuliert werden: ${\displaystyle {\mathcal{L}}(A_{\alpha},\partial_{\beta}A_{\alpha})\,}$

${\displaystyle \partial_{\beta}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial_{\beta}A_{\alpha})}}\right]- {\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial A_{\alpha}}}=0\,.}$

Bemerken

${\displaystyle F^{\lambda\sigma}=F_{\mu\nu}\eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}}$,

${\displaystyle F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\,}$und

${\displaystyle {\partial (\partial_{\mu}A_{\nu}) \over \partial (\partial_{\rho}A_{\sigma})}=\delta_{\mu}^{\ Rho }\delta_{\nu}^{\sigma}}$

der Ausdruck in der eckigen Klammer ist

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial_{\beta}A_{\alpha})}}&=-\ {\frac { 1}{4\mu_{0}}}\{\frac{\partial(F_{\mu\nu}\eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}F_{\lambda\ Sigma })}{\partial (\partial_{\beta}A_{\alpha})}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu_{0}}}\ \eta ^{ \mu\lambda}\eta^{\nu\sigma}\left(F_{\lambda\sigma}(\delta_{\mu}^{\beta}\delta_{\nu}^{\alpha}- \delta_{\nu}^{\beta}\delta_{\mu}^{\alpha})+F_{\mu\nu}(\delta_{\lambda}^{\beta}\delta_{ \sigma}^{\alpha}-\delta_{\sigma}^{\beta}\delta_{\lambda}^{\alpha})\right)\\&=-\ {\frac {F^{ \beta \alpha}}{\mu_{0}}}\,.\end{ausgerichtet}}}$

Der zweite Term ist

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha}}}}=-J^{\alpha}\,.}$

Daher lauten die Bewegungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes

${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta\alpha}}{\partial x^{\beta}}}=\mu_{0}J^{\alpha}\,.}$

Dies ist die obige Gauß-Ampère-Gleichung.

Angelegenheit

Trennt man die freien Ströme von den gebundenen Strömen, kann man die Lagrange-Dichte auch wie folgt schreiben:

${\displaystyle {\mathcal{L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu_{0}}}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}-A_{ \alpha}J_{\text{frei}}^{\alpha}+{\frac{1}{2}}F_{\alpha\beta}{\mathcal{M}}^{\alpha\beta}\, .}$

Mit der Lagrange-Gleichung können die Bewegungsgleichungen für abgeleitet werden. ${\displaystyle {\mathcal{D}}^{\mu\nu}}$

Der äquivalente Ausdruck in nicht-relativistischer Vektornotation ist

${\displaystyle {\mathcal{L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\epsilon_{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu_ {0}}}B^{2}\right)-\phi\,\rho_{\text{frei}}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{J}_{\text{frei}}+ \mathbf{E}\cdot\mathbf{P} +\mathbf{B} \cdot\mathbf{M}\,.}$

Siehe auch

• Kovariante klassische Feldtheorie
• Elektromagnetischer Tensor
• Gleichung für elektromagnetische Wellen
• Liénard-Wiechert-Potential für eine Ladung in beliebiger Bewegung
• Problem mit beweglichen Magneten und Leitern
• Inhomogene elektromagnetische Wellengleichung
• Proca-Aktion
• Quantenelektrodynamik
• Relativistischer Elektromagnetismus
• Steckelberg-Aktion
• Wheeler-Feynman-Absorbertheorie

Hinweise und Referenzen

Weiterlesen

• Einstein, A. (1961). Relativität: Die spezielle und allgemeine Theorie . New York: Krone. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD; Lifschitz, EM (1975). Klassische Theorie der Felder (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Feynman Vorlesungen über Gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.