Raum abdecken - Covering space

Eine bedeckende Karte erfüllt die lokale Trivialitätsbedingung. Intuitiv solche Karten lokal projizieren einen „Stapel von Pfannkuchen“ über einem offenen Bereich , U , auf U .

In der Mathematik , insbesondere algebraische Topologie , eine Deckkarte (auch Abdecken Projektion ) ist eine kontinuierliche Funktion von einem topologischen Raum auf einen topologischen Raum , so dass jeder Punkt in eine hat offene Umgebung gleichmäßig bedeckt , indem (wie in der Abbildung dargestellt). In diesem Fall ist eine sogenannte Überlagerung und der Basisraum der Belages Projektion. Die Definition impliziert, dass jede überdeckende Abbildung ein lokaler Homöomorphismus ist . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

Überdeckende Räume spielen eine wichtige Rolle in der Homotopietheorie , der harmonischen Analysis , der Riemannschen Geometrie und der Differentialtopologie . In der Riemannschen Geometrie beispielsweise ist die Verzweigung eine Verallgemeinerung des Begriffs der Überdeckung von Karten. Covering Spaces sind auch eng mit dem Studium von Homotopiegruppen und insbesondere der Fundamentalgruppe verbunden . Eine wichtige Anwendung stammt aus dem Ergebnis , dass, wenn ein „ausreichend gut“ ist topologischer Raum , gibt es eine Bijektion zwischen der Sammlung aller Isomorphieklassen von angeschlossenen Verkleidungen aus und den Konjugiertenklassen von Untergruppen der Fundamentalgruppe von . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Formale Definition

Sei ein topologischer Raum . Ein überdeckender Raum von ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen surjektiven Abbildung ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle p\colon C\to X}$

so dass für jede eine offene Umgebung von existiert , so dass (das Urbild von under ) eine Vereinigung von disjunkten offenen Mengen in ist , von denen jede homöomorph auf durch abgebildet wird . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

Äquivalent kann ein Abdeckraum von als ein Faserbündel mit diskreten Fasern definiert werden. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\colon C\to X}$

Die Karte wird als Überdeckungskarte bezeichnet , der Raum wird oft als Basisraum der Überdeckung bezeichnet und der Raum wird als Gesamtraum der Überdeckung bezeichnet. Für jeden Punkt in der Basis ist das inverse Bild von in notwendigerweise ein diskreter Raum , der als Faser über bezeichnet wird .${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$

Die in der Definition angegebenen speziellen offenen Umgebungen von werden als gleichmäßig bedeckte Umgebungen bezeichnet . Die gleichmäßig bedeckten Quartiere bilden eine offene Raumhülle . Die homöomorphen Kopien einer gleichmäßig bedeckten Nachbarschaft werden als Blätter über bezeichnet . Man stellt sich im Allgemeinen als "oben schwebend" vor , bei der Abbildung "unten", wobei die Blätter horizontal übereinander und darüber gestapelt werden und die Faser aus den Punkten besteht , die "vertikal darüber" liegen . Insbesondere das Abdecken von Karten ist lokal trivial. Dies bedeutet , dass vor Ort, wobei jede Abdeckung map ‚isomorph‘ an einen Vorsprung in dem Sinne ist , dass es eine homeomorphism ist , von dem Urbild , eine gleichmäßig bedeckt Nachbarschaft , auf , wobei die Faser, die Befriedigung lokalen trivialization Zustandes , das heißt die folgende: wenn die Projektion auf den ersten Faktor ist, dann ist die Zusammensetzung gleich lokal (innerhalb ).${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi \colon U\times F\to U}$${\displaystyle \pi \circ h:p^{-1}(U)\to U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$

Alternative Definitionen

Viele Autoren stellen den Räumen und bei der Definition einer bedeckenden Karte einige Konnektivitätsbedingungen auf . Insbesondere verlangen viele Autoren, dass sowohl Räume pfadverbunden als auch lokal pfadverbunden sind . Dies kann sich als hilfreich erweisen, da viele Sätze nur gelten, wenn die fraglichen Räume diese Eigenschaften haben. Einige Autoren lassen die Annahme der Surjektivität weg, denn wenn zusammenhängend und nicht leer ist, dann folgt die Surjektivität der überdeckenden Abbildung tatsächlich aus den anderen Axiomen. ${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

Beispiele

• Jeder Raum bedeckt sich trivialerweise selbst.
• Ein zusammenhängender und lokal weggebundener topologischer Raum hat genau dann eine universelle Hülle, wenn er halblokal einfach zusammenhängend ist .${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ist die universelle Abdeckung des Kreises ${\displaystyle S^{1}.}$
• Die Spingruppe ist eine Doppelabdeckung der speziellen orthogonalen Gruppe und eine Universalabdeckung bei . Die zufälligen oder außergewöhnlichen Isomorphismen für Lie-Gruppen ergeben dann Isomorphismen zwischen Spingruppen in niedriger Dimension und klassischen Lie-Gruppen.${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle n>2}$
• Die Einheitsgruppe hat eine universelle Deckung .${\displaystyle\operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\times \mathbb {R} }$
• Die n-Kugel ist eine doppelte Abdeckung des realen projektiven Raums und ist eine universelle Abdeckung für .${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle P_{n}(\mathbb{R})}$${\displaystyle n>1}$
• Jede Mannigfaltigkeit hat eine orientierbare Doppelhülle , die nur dann verbunden ist, wenn die Mannigfaltigkeit nicht orientierbar ist.
• Der Uniformisierungssatz besagt , dass jede Riemann-Fläche eine universelle Hülle hat, die konform zur Riemannschen Kugel , der komplexen Ebene oder der Einheitsscheibe äquivalent ist .
• Die universelle Abdeckung eines Kreiskeils ist der Cayley-Graphen der freien Gruppe auf Generatoren, also ein Bethe-Gitter .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• Der Torus ist eine doppelte Abdeckung der Klein-Flasche . Dies ist an den Polygonen für den Torus und die Klein-Flasche zu erkennen, und an der doppelten Abdeckung des Kreises (Einbettung in das Senden ).${\displaystyle S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$
• Jeder Graph hat eine bipartite Doppelüberdeckung . Da jeder Graph homotop zu einem Kreiskeil ist, ist seine universelle Abdeckung ein Cayley-Graphen.
• Jedes Eintauchen von einer kompakten Mannigfaltigkeit in eine Mannigfaltigkeit gleicher Dimension ist eine Hülle ihres Bildes.
• Ein weiteres effektives Werkzeug zur Konstruktion von Überdeckungsräumen ist die Verwendung von Quotienten durch freie endliche Gruppenwirkungen.
• Zum Beispiel wird der Raum durch den Quotienten von (eingebettet in ) über die -Aktion definiert . Dieser als Linsenraum bezeichnete Raum hat eine Grundgruppe und eine universelle Abdeckung .${\displaystyle L_{p/q}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb{C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb{Z} /q}$${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/q}z_{1},e^{2\pi ip/q}z_{2})}$${\displaystyle \mathbb{Z} /q}$${\displaystyle S^{3}}$
• Die Karte der affinen Schemata bildet einen bedeckenden Raum mit ihrer Gruppe von Decktransformationen. Dies ist ein Beispiel für eine zyklische Galois-Hülle .${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$${\displaystyle \mathbb{Z} /n}$

Eigenschaften

Gemeinsame lokale Eigenschaften

• Jede Hülle ist ein lokaler Homöomorphismus ; das heißt, für jede existiert eine Umgebung von c und eine Umgebung von so, dass die Beschränkung von p auf U einen Homöomorphismus von U nach V ergibt . Dies impliziert, dass C und X alle lokalen Eigenschaften teilen. Wenn X ist einfach angeschlossen und C verbunden ist, so gilt dies als auch global, und das Deck p ist eine homeomorphism.${\displaystyle p\colon C\to X}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle U\subseteq C}$${\displaystyle V\subseteq X}$${\displaystyle p(c)}$
• Wenn und Karten abdecken, dann ist dies auch die durch gegebene Karte .${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle p'\colon E'\to B'}$${\displaystyle p\times p'\colon E\times E'\to B\times B'}$${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$

Homöomorphismus der Fasern

Für jeden x in X , die Faser über x ist eine diskrete Teilmenge von C . Auf jeder zusammenhängenden Komponente von X sind die Fasern homöomorph.

Wenn X verbunden ist, gibt es einen diskreten Raum F , so dass für jedes x in X die Faser über x ist homeomorphic bis F und darüber hinaus für jedes x in X gibt es eine Umgebung U von x , so daß seine volle Urbild p ⁻¹ ( U ) ist homöomorph zu U × F . Insbesondere ist die Kardinalität der Faser über x gleich der Kardinalität von F und wird als Überdeckungsgrad p  : C → X bezeichnet . Wenn also jede Faser n Elemente hat, spricht man von einer n- fachen Bedeckung (für den Fall n = 1 ist die Bedeckung trivial; bei n = 2 ist die Bedeckung eine Doppelbedeckung ; bei n = 3 ist die Bedeckung eine Dreifachabdeckung usw.).

Hebeeigenschaften

Wenn p  : C → X eine Überdeckung und γ ein Weg in X ist (dh eine stetige Abbildung vom Einheitsintervall [0, 1] in X ) und c ∈ C ein "über liegender" Punkt γ(0) (dh p ( c ) = γ(0)) , dann existiert ein eindeutiger Weg Γ in C über γ liegend (dh p ∘ Γ = γ ) mit Γ(0) = c . Die Kurve Γ heißt Auftrieb von γ. Wenn x und y zwei Punkte in X sind, die durch einen Pfad verbunden sind, dann liefert dieser Pfad über die Hebeeigenschaft eine Bijektion zwischen der Faser über x und der Faser über y .

Allgemeiner sei f  : Z → X eine stetige Abbildung auf X von einem pfadverbundenen und lokal pfadverbundenen Raum Z . Fix ein Basispunkt - z ∈ Z , und wähle einen Punkt c ∈ C "liegt auf" f ( z ) (dh p ( c ) = f ( z ) ). Dann gibt es einen Aufzug von f (dh, eine stetige Abbildung g  : Z → C , für die p ∘ g = f und g ( z ) = c ) wenn und nur wenn die induzierte homomorphisms f _#  : π ₁ ( Z , Z ) → π ₁ ( X , f ( z )) und p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , f ( z )) auf der Ebene der Grundgruppen erfüllen

${\displaystyle f_{\#}(\pi_{1}(Z,z))\subset p_{\#}(\pi_{1}(C,c)).}$

( ♠ )

Wenn ein solcher Lift g von f existiert, ist er außerdem eindeutig.

Insbesondere wenn der Raum Z als einfach zusammenhängend angenommen wird (so dass π ₁ ( Z , z ) trivial ist), ist Bedingung (♠) automatisch erfüllt, und jede stetige Abbildung von Z nach X kann angehoben werden. Da das Einheitsintervall [0, 1] einfach verbunden ist, ist die Hebeeigenschaft für Wege ein Spezialfall der oben genannten Hebeeigenschaft für Karten.

Wenn p  : C → X ist eine Abdeck- und c ∈ C und x ∈ X so sind, daß p ( c ) = x , dann p _# injektiv auf der Ebene von Fundamentalgruppen , und die induzierten homomorphisms p _#  : π _n ( C , c ) → π _n ( X , x ) sind Isomorphismen für alle n ≥ 2 . Beide Aussagen lassen sich aus der Lifting-Eigenschaft für stetige Abbildungen ableiten. Die Surjektivität von p _# für n ≥ 2 folgt daraus, dass für alle solche n die n- Sphäre S ⁿ einfach zusammenhängend ist und somit jede stetige Abbildung von S ⁿ nach X auf C gehoben werden kann .

Gleichwertigkeit

Seien p ₁  : C ₁ → X und p ₂  : C ₂ → X zwei Überdeckungen. Man sagt , dass die beiden Abdeckungen p ₁ und p ₂ sind äquivalent , wenn es eine homeomorphism existiert p ₂₁  : C ₂ → C ₁ und so dass p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ . Äquivalenzklassen von Überdeckungen entsprechen Konjugationsklassen von Untergruppen der Fundamentalgruppe von X , wie unten diskutiert. Wenn p ₂₁  : C ₂ → C ₁ eine Überdeckung (und kein Homöomorphismus) ist und p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ , dann sagt man, dass p ₂ p ₁ dominiert .

Abdeckung eines Verteilers

Da Beläge lokal sind homeomorphisms , eine Abdeckung eines topologischen n - Verteiler ist eine n Mannigfaltigkeit. (Man kann beweisen, dass der überdeckende Raum zweitzählbar ist , weil die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit immer abzählbar ist .) Ein von einer n -Mannigfaltigkeit bedeckter Raum kann jedoch eine Nicht-Hausdorff-Mannigfaltigkeit sein . Ein Beispiel sei gegeben, indem C die Ebene mit gelöschtem Ursprung und X der Quotientenraum sei, den man erhält, indem man jeden Punkt ( x , y ) mit (2 x , y /2) identifiziert . Wenn p  : C → X die Quotientenabbildung ist, dann ist sie eine Überdeckung, da die Wirkung von Z auf C, die durch f ( x , y ) = (2 x , y /2) erzeugt wird, richtig unstetig ist . Die Punkte p (1, 0) und p (0, 1) haben keine disjunkten Umgebungen in X .

Jeder überdeckende Raum einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kann mit einer (natürlichen) differenzierbaren Struktur ausgestattet sein, die p (die fragliche überdeckende Abbildung) in einen lokalen Diffeomorphismus verwandelt – eine Abbildung mit konstantem Rang n .

Universalabdeckungen

Ein Abdeckraum ist ein universeller Abdeckraum, wenn er einfach verbunden ist . Der Name universelle Überdeckung kommt von der folgenden wichtigen Eigenschaft: wenn die Abbildung q : D → X eine universelle Überdeckung des Raumes X und die Abbildung p  : C → X eine beliebige Überdeckung des Raumes X ist, bei der der überdeckende Raum C verbunden ist, dann gibt es eine Abdeckung Karte f  : D → C , so daß p ∘ f = q . Das kann man so formulieren:

Die Universalabdeckung (des Raums X ) deckt jede verbundene Abdeckung (des Raums X ) ab.

Die Abbildung f ist in folgendem Sinne eindeutig: wenn wir einen Punkt x im Raum X und einen Punkt d im Raum D mit q ( d ) = x und einen Punkt c im Raum C mit p ( c ) = x , dann gibt es eine eindeutige Abdeckung Karte f  : D → C , so daß p ∘ f = Q und f ( d ) = c .

Wenn der Raum X eine universelle Hülle hat, dann ist diese universelle Hülle im Wesentlichen eindeutig: Wenn die Abbildungen q ₁  : D ₁ → X und q ₂  : D ₂ → X zwei universelle Hüllen des Raums X sind, dann existiert ein Homöomorphismus f  : D ₁ → D ₂ derart , daß q ₂ ∘ f = q ₁ .

Der Raum X hat eine universelle Abdeckung, wenn er verbunden , lokal pfadverbunden und halblokal einfach verbunden ist . Die universelle Abdeckung des Raumes X kann als ein bestimmter Raum von Wegen im Raum X konstruiert werden . Genauer gesagt bildet es ein Hauptbündel mit der Fundamentalgruppe π ₁ ( X ) als Strukturgruppe.

Das oben angegebene Beispiel R → S ¹ ist eine universelle Abdeckung. Die in Quaternionen und räumliche Rotation beschriebene Abbildung S ³ → SO(3) von Einheitsquaternionen zu Rotationen des 3D-Raums ist ebenfalls eine universelle Abdeckung.

Wenn der Raum eine zusätzliche Struktur trägt, erbt seine universelle Abdeckung normalerweise diese Struktur: ${\displaystyle X}$

• Wenn der Raum eine ist vielfältig , so ist auch seine universelle Abdeckung D .${\displaystyle X}$
• Wenn der Raum eine Riemann-Fläche ist , dann ist es auch seine universelle Überdeckung D und eine holomorphe Abbildung.${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$
• Wenn der Raum eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist , dann ist es auch seine universelle Hülle und eine lokale Isometrie .${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$
• Wenn der Raum eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist , dann ist es auch seine universelle Hülle. Angenommen, die Teilmenge p ⁻¹ ( U ) ist eine disjunkte Vereinigung offener Mengen, von denen jede nach der Abbildung mit U diffeomorph ist . Wenn der Raum eine enthält geschlossene zeit Kurve (CTC), dann wird der Raum ist zeitmehrfach verbunden (kein CTC sein kann zeit homotope bis zu einem Punkt, da dieser Punkt nicht kausal gut erzogen werden würde), seine universelle (diffeomorph) Abdeckung ist zeit einfach verbunden (es enthält keinen CTC).${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Wenn X eine Lie-Gruppe ist (wie in den beiden obigen Beispielen), dann ist es auch seine universelle Abdeckung D und die Abbildung p ist ein Homomorphismus von Lie-Gruppen. In diesem Fall wird die Universalabdeckung auch als Universalabdeckungsgruppe bezeichnet . Dies gilt insbesondere für die Darstellungstheorie und die Quantenmechanik , da gewöhnliche Darstellungen der universellen Überdeckungsgruppe ( D ) projektive Darstellungen der ursprünglichen (klassischen) Gruppe ( X ) sind.

Die universelle Hülle entstand zuerst in der Theorie der analytischen Funktionen als Naturbereich einer analytischen Fortsetzung .

G-Bezüge

Sei G eine diskrete Gruppe, die auf dem topologischen Raum X wirkt . Das bedeutet , dass jedes Element g von G zu einer homeomorphism H zugeordnet ist _g von X auf sich selbst, in der Weise , daß H _{g H} bis H stets gleich _g ∘ H _h für je zwei Elemente g und h von G . (Oder mit anderen Worten, eine Gruppenaktion der Gruppe G auf dem Raum X ist nur ein Gruppenhomomorphismus der Gruppe G in die Gruppe Homeo( X ) von Selbsthomöomorphismen von X .) Es ist natürlich zu fragen, unter welchen Bedingungen die Projektion von X auf den Bahnraum X / G ist eine überdeckende Karte. Dies ist nicht immer der Fall, da die Aktion Fixpunkte haben kann. Ein Beispiel hierfür ist die zyklische Gruppe 2. Ordnung, die auf ein Produkt X × X durch die Verdrehung einwirkt, wobei das Nicht-Identitätselement mit ( x , y ) ( y , x ) wirkt . Daher ist das Studium der Beziehung zwischen den Fundamentalgruppen von X und X / G nicht so einfach.

Die Gruppe G wirkt jedoch auf das fundamentale Gruppoid von X ein , und so wird die Studie am besten behandelt, indem man Gruppen betrachtet, die auf Gruppoide wirken, und die entsprechenden Orbit-Gruppoide . Die Theorie dazu ist in Kapitel 11 des Buches Topologie und Gruppoide dargelegt, auf das weiter unten Bezug genommen wird. Das Hauptergebnis ist, dass für unstetige Wirkungen einer Gruppe G auf einem Hausdorff-Raum X, der eine universelle Hülle zulässt, das Fundamentalgruppoid des Bahnraums X / G isomorph zum Bahngruppoid des Fundamentalgruppoids von X ist , dh der Quotient dieses Gruppoids durch die Wirkung der Gruppe G . Dies führt zu expliziten Berechnungen, beispielsweise der Fundamentalgruppe des symmetrischen Quadrats eines Raumes.

Verwandlungsgruppe für Deck (Deckung), reguläre Deckblätter

Eine Überdeckungstransformation oder Decktransformation oder ein Automorphismus einer Überdeckung ist ein Homöomorphismus, so dass . Die Menge aller Decktransformationen von bildet eine Gruppe unter Komposition , die Decktransformationsgruppe . Decktransformationen werden auch Covertransformationen genannt . Jede Decktransformation permutiert die Elemente jeder Faser. Dies definiert eine Gruppenaktion der Decktransformationsgruppe auf jeder Faser. Beachten Sie, dass aufgrund der eindeutigen Hebeeigenschaft if nicht die Identität ist und pfadverbunden ist, dann keine Fixpunkte hat . ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle f:C\to C}$${\displaystyle p\circ f=p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$

Nehmen wir nun an, es ist eine überdeckende Karte und (und daher auch ) verbunden und lokal pfadverbunden. Die Wirkung von auf jede Faser ist kostenlos . Wenn diese Aktion auf einer Faser transitiv ist , dann ist sie auf allen Fasern transitiv, und wir nennen die Abdeckung regulär (oder normal oder Galois ). Jede solche reguläre Überdeckung ist ein Prinzipal- Bündel , das als diskrete topologische Gruppe betrachtet wird. ${\displaystyle p:C\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Jedes universelle Cover ist regelmäßig, wobei die Decktransformationsgruppe isomorph zur Fundamentalgruppe ist .${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$

Betrachten Sie als weiteres wichtiges Beispiel die komplexe Ebene und die komplexe Ebene abzüglich des Ursprungs. Dann ist die Karte mit einem regulären Cover. Die Decktransformationen sind Multiplikationen mit -ten Einheitswurzeln und die Decktransformationsgruppe ist daher zur zyklischen Gruppe isomorph . Ebenso ist die Karte mit der universellen Abdeckung. ${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{C}^{\times}}$${\displaystyle p\colon\mathbb{C}^{\times}\to\mathbb{C}^{\times}}$${\displaystyle p(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}}$${\displaystyle \exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}^{\times}}$${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Monodromie-Aktion

Nehmen wir wieder an, dass es sich um eine überdeckende Karte handelt und C (und damit auch X ) verbunden und lokal pfadverbunden ist. Wenn x in X ist und c zur Faser über x gehört (dh ), und ein Pfad mit ist , dann steigt dieser Pfad zu einem eindeutigen Pfad in C mit Startpunkt c an . Der Endpunkt dieser angehobenen Bahn muss nicht c sein , sondern muss in der Faser über x liegen . Es stellt sich heraus, dass dieser Endpunkt nur von der Klasse von γ in der Fundamentalgruppe π ₁ ( X , x ) abhängt . Auf diese Weise erhalten wir eine Rechtsgruppenwirkung von π ₁ ( X , x ) auf die Faser über x . Dies ist als Monodromiewirkung bekannt . ${\displaystyle p\colon C\to X}$${\displaystyle p(c)=x}$${\displaystyle \gamma\colon [0,1]\to X}$${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=x}$

Es gibt zwei Aktionen auf der Faser über x  : Aut( p ) wirkt links und π ₁ ( X , x ) wirkt rechts. Diese beiden Aktionen sind im folgenden Sinne kompatibel: für alle f in Aut( p ), c in p ⁻¹ ( x ) und γ in π ₁ ( X , x ) . ${\displaystyle f\cdot (c\cdot \gamma )=(f\cdot c)\cdot \gamma }$

Wenn p eine universelle Überdeckung ist, dann kann Aut( p ) natürlich mit der Gegengruppe von π ₁ ( X , x ) identifiziert werden , so dass die linke Aktion der Gegengruppe von π ₁ ( X , x ) mit der Wirkung von coincide zusammenfällt Aut( p ) auf der Faser über x . Beachten Sie, dass Aut( p ) und π ₁ ( X , x ) in diesem Fall von Natur aus isomorph sind (da eine Gruppe durch g ↦ g ⁻¹ immer von Natur aus zu ihrem Gegenteil isomorph ist ) .

Wenn p eine reguläre Überdeckung ist, dann ist Aut( p ) natürlich isomorph zu einem Quotienten von π ₁ ( X , x ) .

Im allgemeinen (für eine gute Leerzeichen), Aut ( p ) ist natürlich isomorph zu dem Quotienten aus den Normalisierer von p _* ( π ₁ ( C , c )) in & pgr; ₁ ( X , x ) über p _* ( π ₁ ( C , c )) , wobei p ( c ) = x .

Mehr zur Gruppenstruktur

Sei p  : C → X eine überdeckende Abbildung, in der sowohl X als auch C pfadzusammenhängend sind. Sei x ∈ X ein Basispunkt von X und sei c ∈ C eines seiner Urbilder in C , also p ( c ) = x . Es gibt einen induzierten Homomorphismus von Fundamentalgruppen P _#  : π ₁ ( C , C ) → π ₁ ( X , x ) , die durch die Hebe Eigenschaft Beläge injektiv. Genauer gesagt , wenn γ eine geschlossene Schleife um ist c derart , daß p _# ([ γ ]) = 1 , das heißt p ∘ γ IST nullhomotop in X , sollte dann eine Null-homotopy von p ∘ γ als Karte f  : D ² → X von der 2-Scheibe D ² nach X, so dass die Beschränkung von f auf den Rand S ¹ von D ² gleich p ∘ γ ist . Durch die Lifting-Eigenschaft wird die Abbildung f zu einer stetigen Abbildung g  : D ² → C, so dass die Beschränkung von g auf den Rand S ¹ von D ² gleich γ ist . Daher γ ist nullhomotop in C , so dass der Kern von p _#  : π ₁ ( C , C ) → π ₁ ( X , x ) ist trivial und damit p _#  : π ₁ ( C , C ) → π ₁ ( X , x ) ist ein injektiver Homomorphismus.

Daher π ₁ ( C , c ) isomorph zu der Untergruppe P _# ( π ₁ ( C , C )) von & pgr; ₁ ( X , x ) . Wenn c ₁ ∈ C eine weitere Urbild ist x in C , dann die Untergruppen P _# ( π ₁ ( C , c )) und p _# ( π ₁ ( C , C ₁ )) sind Konjugats in & pgr; ₁ ( X , x ) durch p- Bild einer Kurve in C, die c mit c _{1 verbindet} . So wird eine Abdeckung der Karte p  : C → X definiert eine Konjugationsklasse von Untergruppen von π ₁ ( X , x ) , und man kann , dass äquivalente Abdeckungen zeigt X die gleiche Konjugationsklasse von Untergruppen von definieren π ₁ ( X , x ) .

Für ein überdeckendes p  : C → X ist die Gruppe p _# ( π ₁ ( C , c )) auch gleich

${\displaystyle \Gamma_{p}(c)=\{[\gamma]:\gamma_{C}{\text{ ist eine geschlossene Kurve in }}C{\text{ durch }}c\in C \},}$

die Menge der Homotopieklassen jener geschlossenen Kurven γ bezogen auf x, deren Aufzüge γ _C in C , beginnend bei c , geschlossene Kurven bei c sind . Wenn X und C pfadverbunden sind, ist der Grad der Überdeckung p (d. h. die Kardinalität einer beliebigen Faser von p ) gleich dem Index [ π ₁ ( X , x ) : p _# ( π ₁ ( C , c )) ] die Untergruppe P _# ( π ₁ ( C , c )) in & pgr; ₁ ( x , x ) .

Ein wesentliches Ergebnis der Überdeckungsraumtheorie besagt, dass es für einen "hinreichend guten" Raum X (nämlich wenn X pfadbezogen, lokal pfadbezogen und semilokal einfach zusammenhängend ist ) tatsächlich eine Bijektion zwischen den Äquivalenzklassen des Pfades -zusammenhängende Überdeckungen von X und die Konjugationsklassen von Untergruppen der Fundamentalgruppe π ₁ ( X , x ) . Der Hauptschritt beim Beweis dieses Ergebnisses besteht darin, die Existenz einer universellen Hülle zu beweisen, dh einer Hülle, die der trivialen Untergruppe von π ₁ ( X , x ) entspricht . Sobald die Existenz einer universellen Überdeckung C von X festgestellt wurde, ist der Raum C / H die Überdeckung von X , die H entspricht , falls H ≤ π ₁ ( X , x ) eine beliebige Untergruppe ist . Man muss auch überprüfen, ob zwei Überdeckungen von X , die derselben (Konjugationsklasse von) Untergruppe von π ₁ ( X , x ) entsprechen, äquivalent sind. Verbundene Zellkomplexe und verbundene Mannigfaltigkeiten sind Beispiele für "ausreichend gute" Räume.

Sei N ( Γ _p ) der Normalisierer von _p in π ₁ ( X , x ) . Die Decktransformationsgruppe Aut( p ) ist isomorph zur Quotientengruppe N (Γ _p )/Γ _p . Ist p eine universelle Überdeckung, dann ist Γ _p die triviale Gruppe und Aut( p ) isomorph zu π ₁ ( X ).

Lassen Sie uns dieses Argument umkehren. Sei N eine Normalteiler von π ₁ ( X , x ) . Nach den obigen Argumenten definiert dies eine (reguläre) Abdeckung von p  : C → X . Sei c ₁ in C in der Faser von x . Dann gibt es für jedes zweite c ₂ in der Faser von x genau eine Decktransformation, die c ₁ zu c _{2 führt} . Diese Decktransformation entspricht einer Kurve g in C, die c ₁ mit c _{2 verbindet} .

Beziehungen zu Gruppoiden

Eine Möglichkeit, den algebraischen Inhalt der Theorie der Raumbedeckung auszudrücken, ist die Verwendung von Gruppoiden und dem Fundamental-Gruppoid . Der letztgenannte Funktor liefert eine Äquivalenz von Kategorien

${\displaystyle \pi _{1}:\operatorname {TopCov} (X)\to \operatorname {GpdCov} (\pi _{1}X)}$

zwischen der Kategorie der überdeckenden Räume eines einigermaßen schönen Raumes X und der Kategorie der gruppoiden überdeckenden Morphismen von π ₁ ( X ). Somit ist eine besondere Art von Karte von Räumen ist gut mit einer bestimmten Art von modellierten morphism von Gruppoide. Die Kategorie der überdeckenden Morphismen eines Gruppoids G ist auch äquivalent zur Kategorie der Einwirkungen von G auf Mengen, und dies ermöglicht die Wiedergewinnung traditionellerer Klassifizierungen von Überdeckungen.

Beziehungen zu klassifizierenden Räumen und Gruppenkohomologie

Ist X ein zusammenhängender Zellkomplex mit Homotopiegruppen π _n ( X ) = 0 für alle n ≥ 2 , dann ist der universelle Überdeckungsraum T von X kontrahierbar, wie aus der Anwendung des Whitehead-Theorems auf T folgt . In diesem Fall ist X ein klassifizierender Raum oder K ( G , 1) für G = π ₁ ( X ) .

Außerdem hat für jedes n ≥ 0 die Gruppe der zellulären n -Ketten C _n ( T ) (d. h. eine freie abelsche Gruppe mit Basis gegeben durch n -Zellen in T ) auch eine natürliche Z G - Modulstruktur . Hier ist für eine n- Zelle σ in T und für g in G die Zelle g σ genau die Übersetzung von σ durch eine überdeckende Transformation von T entsprechend g . Außerdem ist C _n ( T ) ein freier Z G -Modul mit freier Z G -Basis, gegeben durch Vertreter von G -Bahnen von n -Zellen in T . In diesem Fall ist der standardmäßige topologische Kettenkomplex

${\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to}}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to}}C_{n-1}(T){\overset {\ partielle }{\to }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} ,}$

wobei ε die Augmentationsabbildung ist, eine freie Z G -Auflösung von Z (wobei Z mit der trivialen Z G -Modulstruktur ausgestattet ist, gm = m für jedes g ∈ G und jedes m ∈ Z ). Diese Auflösung kann verwendet werden, um die Gruppenkohomologie von G mit beliebigen Koeffizienten zu berechnen .

Die Methode von Graham Ellis zur Berechnung von Gruppenauflösungen und anderen Aspekten der homologischen Algebra, wie in seiner Arbeit in J. Symbolic Comp. und seine unten aufgeführte Webseite besteht darin, eine universelle Hülle eines prospektiven K ( G , 1) induktiv gleichzeitig mit einer kontrahierenden Homotopie dieser universellen Hülle zu bauen. Letzteres gibt die Berechnungsmethode an.

Verallgemeinerungen

Als Homotopietheorie funktioniert der Begriff der Raumbedeckung gut, wenn die Decktransformationsgruppe diskret ist oder äquivalent, wenn der Raum lokal pfadverbunden ist . Wenn die Decktransformationsgruppe jedoch eine topologische Gruppe ist, deren Topologie nicht diskret ist , treten Schwierigkeiten auf. Bei komplexeren Räumen, wie dem hawaiianischen Ohrring , wurden einige Fortschritte erzielt ; Weitere Informationen finden Sie in den dortigen Referenzen.

Eine Reihe dieser Schwierigkeiten werden mit dem Konzept der Halbbedeckung aufgrund von Jeremy Brazas gelöst , siehe die unten zitierte Veröffentlichung. Jede überdeckende Abbildung ist eine Halbüberdeckung, aber Halbüberdeckungen erfüllen die "2 aus 3"-Regel: Bei einer Zusammensetzung h = fg von Raumabbildungen sind zwei der Abbildungen Halbüberdeckungen, dann ist es auch die dritte. Diese Regel gilt nicht für Überdeckungen, da die Zusammensetzung von Überdeckungskarten keine Überdeckungskarte sein muss.

Eine andere Verallgemeinerung betrifft Aktionen einer Gruppe, die nicht frei sind. Ross Geoghegan in seiner 1986 Bewertung ( MR 0760769 ) von zwei Arbeiten von MA Armstrong auf den grundlegenden Gruppen von Orbit Räumen schrieb: „Diese beiden Papiere zeigen , welche Teile der Elementardeckung Raumtheorie Übertrag von dem auf den unfreien Fall Dies ist. Art von grundlegendem Material, das in den letzten fünfzig Jahren in Standard-Lehrbüchern über fundamentale Gruppen hätte stehen müssen." Derzeit scheint die unten aufgeführte "Topologie und Gruppoide" der einzige grundlegende Topologietext zu sein, der solche Ergebnisse abdeckt.

Anwendungen

Gimbal Lock tritt auf, weil jede Karte T ³ → RP ³ keine abdeckende Karte ist. Insbesondere trägt die relevante Abbildung jedes Element von T ³ , d. h. ein geordnetes Tripel (a,b,c) von Winkeln (reelle Zahlen mod 2 π ), zur Zusammensetzung der drei Koordinatenachsenrotationen R _x (a) ∘R _y (b)∘R _z (c) jeweils um diese Winkel. Jede dieser Rotationen und ihre Zusammensetzung ist ein Element der Rotationsgruppe SO (3), die topologisch RP ^{3 ist} . Diese Animation zeigt einen Satz von drei Kardanringen, die zusammen montiert sind, um drei Freiheitsgrade zu ermöglichen . Wenn alle drei Gimbals aufgereiht sind (in derselben Ebene), kann sich das System aus dieser Konfiguration nur in zwei Dimensionen bewegen, nicht in drei, und befindet sich in der Gimbal-Verriegelung . In diesem Fall kann es nicken oder gieren, aber nicht rollen (in der Ebene rotieren, in der alle Achsen liegen).

Eine wichtige praktische Anwendung des Abdeckens von Räumen findet sich in Diagrammen auf SO(3) , der Rotationsgruppe . Diese Gruppe ist in der Technik weit verbreitet, da dreidimensionale Rotationen neben vielen anderen Anwendungen in der Navigation , der Schifffahrt und der Luft- und Raumfahrttechnik stark verwendet werden. Topologisch, SO (3) ist der reale projektiven Raum RP ³ , mit Fundamentalgruppe Z / 2, und nur (nicht-triviale) Überlagerung der Hypersphäre S ³ , die die Gruppe Spin (3) und durch die Einheit , dargestellt Quaternionen . Quaternionen sind daher eine bevorzugte Methode zur Darstellung räumlicher Rotationen – siehe Quaternionen und räumliche Rotation .

Es ist jedoch oft wünschenswert, Rotationen durch einen Satz von drei Zahlen darzustellen, die als Euler-Winkel (in zahlreichen Varianten) bekannt sind, sowohl weil dies für jemanden, der mit planarer Rotation vertraut ist, konzeptionell einfacher ist, als auch weil man eine Kombination von drei Kardanringen bauen kann, um Drehungen in drei Dimensionen erzeugen. Topologisch entspricht dies einer Karte vom 3-Torus T ³ von drei Winkeln zum realen projektiven Raum RP ³ der Rotationen, und die resultierende Karte weist Unvollkommenheiten auf, da diese Karte keine überdeckende Karte sein kann. Insbesondere das Versagen der Karte, an bestimmten Punkten ein lokaler Homöomorphismus zu sein, wird als Gimbal-Lock bezeichnet und in der Animation rechts demonstriert – an einigen Punkten (wenn die Achsen koplanar sind) ist der Rang der Karte 2, statt 3, was bedeutet, dass von diesem Punkt aus durch Änderung der Winkel nur 2 Dimensionen von Drehungen realisiert werden können. Dies verursacht bei Anwendungen Probleme und wird durch den Begriff des Abdeckraums formalisiert.

Siehe auch

• Bethe-Gitter ist die universelle Abdeckung eines Cayley-Graphen
• Überdeckender Graph , ein überdeckender Raum für einen ungerichteten Graphen und sein Spezialfall die zweiteilige Doppelüberdeckung
• Abdeckgruppe
• Galois-Verbindung
• Quotientenraum (Topologie)

Anmerkungen

Verweise

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