Kreuzkappe - Cross-cap

Zwei Ansichten von P 2 mit Kreuzkappe

In der Mathematik ist eine Kreuzkappe eine zweidimensionale Fläche im 3-Raum, die einseitig ist und das kontinuierliche Bild eines Möbiusstreifens , der sich in einem Intervall schneidet . In der Domäne ist das inverse Bild dieses Intervalls ein längeres Intervall, das die Abbildung in den 3-Raum "halbiert". An der Stelle, an der das längere Intervall im Bild in zwei Hälften gefaltet ist, ist die nahe Konfiguration die des Whitney-Regenschirms .

Das Intervall der Selbstüberschneidung schließt aus, dass die Kreuzkappe homöomorph zum Möbius-Streifen ist , aber es gibt nur zwei Punkte im Bild (die Endpunkte des Intervalls der Selbstüberschneidung), an denen das Bild nicht das einer Immersion sein kann. Die Begrenzungskante einer Kreuzkappe ist eine einfache geschlossene Schleife. Wie bestimmte Versionen des Möbius-Streifens kann er die Form eines symmetrischen Kreises annehmen .

Eine Kreuzkappe, die durch Ankleben einer Scheibe an ihren Rand geschlossen wurde, ist ein Modell der realen projektiven Ebene P 2 (wieder mit einem Selbstschnittintervall und zwei Punkten, an denen dieses Modell kein Eintauchen von P 2 ist ) .

Zwei an ihren Grenzen zusammengeklebte Kreuzverschlüsse bilden ein Modell der Klein-Flasche , diesmal mit zwei Selbstschnittintervallen und vier Punkten, an denen dieses Modell kein Eintauchen ist.

Ein wichtiger Satz der Topologie , der Klassifikationssatz für Oberflächen , besagt, dass jede zweidimensionale kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand homöomorph zu einer Kugel mit einer Anzahl (möglicherweise 0) von "Griffen" und 0, 1 oder 2 Kreuzkappen ist.

Siehe auch

Externe Links

  • Weisstein, Eric W. "Cross-Cap" . MathWorld .