d'Alemberts Formel - d'Alembert's formula

In der Mathematik und speziell in partiellen Differentialgleichungen (PDEs) ist die d'Alembert-Formel die allgemeine Lösung für die eindimensionale Wellengleichung (wobei tiefgestellte Indizes eine partielle Differenzierung unter Verwendung des d'Alembert-Operators anzeigen , wird die PDE :) .

Die Lösung hängt von den Anfangsbedingungen an : und . Es besteht aus separaten Begriffen für die Anfangsbedingungen und :

Es ist nach dem Mathematiker Jean le Rond d'Alembert benannt , der es 1747 als Lösung für das Problem einer vibrierenden Saite herleitete .

Einzelheiten

Die Eigenschaften der PDE sind (wobei das Vorzeichen die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung angibt), sodass wir die Änderung der Variablen (für die positive Lösung) und (für die negative Lösung) verwenden können, um die PDE zu transformieren . Die allgemeine Lösung dieser PDE ist, wo und sind Funktionen. Zurück in Koordinaten,

ist wenn und sind .

Diese Lösung kann als zwei Wellen mit konstanter Geschwindigkeit interpretiert werden, die sich entlang der x-Achse in entgegengesetzte Richtungen bewegen.

Betrachten Sie diese Lösung nun mit den Cauchy-Daten .

Mit bekommen wir .

Mit bekommen wir .

Wir können die letzte Gleichung integrieren, um zu erhalten

Jetzt können wir dieses Gleichungssystem lösen, um zu erhalten

Jetzt mit

Die Formel von d'Alembert lautet:

Verallgemeinerung für inhomogene kanonische hyperbolische Differentialgleichungen

Die allgemeine Form einer inhomogenen Differentialgleichung vom kanonischen hyperbolischen Typ hat folgende Form:

für .

Alle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können in ihre jeweiligen kanonischen Formen transformiert werden . Diese Gleichung ist einer dieser drei Fälle: Elliptische partielle Differentialgleichung , parabolische partielle Differentialgleichung und hyperbolische partielle Differentialgleichung .

Der einzige Unterschied zwischen einer homogenen und einer inhomogenen (partiellen) Differentialgleichung besteht darin, dass wir in der homogenen Form nur 0 auf der rechten Seite stehen lassen ( ), während die inhomogene viel allgemeiner ist, da jede Funktion so lange sein könnte da es kontinuierlich ist und zweimal kontinuierlich differenziert werden kann.

Die Lösung der obigen Gleichung ergibt sich aus der Formel:

.

Wenn der erste Teil verschwindet, wenn der zweite Teil verschwindet und wenn der dritte Teil aus der Lösung verschwindet, da die Integration der 0-Funktion zwischen zwei beliebigen Grenzen immer zu 0 führt.

Siehe auch

Anmerkungen

Externe Links

  • Ein Beispiel für die Lösung einer inhomogenen Wellengleichung von www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html