De Rham-Kohomologie - De Rham cohomology

Vektorfeld, das einer Differentialform auf der punktierten Ebene entspricht , die geschlossen, aber nicht exakt ist, was zeigt, dass die de Rham-Kohomologie dieses Raums nicht trivial ist.

In der Mathematik ist die de Rham - Kohomologie ( benannt nach Georges de Rham ) ein Werkzeug , das sowohl zur algebraischen Topologie als auch zur Differentialtopologie gehört und in der Lage ist , grundlegende topologische Informationen über glatte Mannigfaltigkeiten in einer Form auszudrücken , die speziell für die Berechnung und die konkrete Darstellung von Kohomologieklassen geeignet ist . Es ist eine Kohomologietheorie, die auf der Existenz von Differentialformen mit vorgeschriebenen Eigenschaften basiert .

Jede exakte Form ist abgeschlossen, aber das Umgekehrte gilt nicht unbedingt. Andererseits besteht ein Zusammenhang zwischen dem Fehlen der Genauigkeit und dem Vorhandensein von "Löchern". De Rham-Kohomologiegruppen sind eine Menge von Invarianten glatter Mannigfaltigkeiten, die die oben genannte Beziehung quantitativ machen und in diesem Artikel diskutiert werden.

Das Konzept der Integration auf Formen ist von grundlegender Bedeutung in der Differentialtopologie, Geometrie und Physik und liefert auch eines der wichtigsten Beispiele der Kohomologie , nämlich die de Rham-Kohomologie , die (grob gesprochen) genau misst, inwieweit der Fundamentalsatz von Kalkül versagt in höheren Dimensionen und auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten.
—  Terence Tao , Differentialformen und Integration

Definition

Der de Rham-Komplex ist der Cokettenkomplex von Differentialformen auf einer glatten Mannigfaltigkeit M , mit der äußeren Ableitung als Differential:

wobei Ω 0 ( M ) der Raum ist glatter Funktionen auf M , Ω 1 ( M ) ist der Raum von 1 -Formen, und so weiter. Formen, die das Abbild anderer Formen unter der äußeren Ableitung plus der konstanten 0- Funktion in Ω 0 ( M ) sind, heißen exakt und Formen, deren äußere Ableitung 0 ist, heißen geschlossen (siehe Geschlossene und exakte Differentialformen ); die Beziehung d 2 = 0 besagt dann, dass exakte Formen abgeschlossen sind.

Im Gegensatz dazu sind geschlossene Formen nicht unbedingt exakt. Ein anschaulicher Fall ist ein Kreis als Mannigfaltigkeit und die 1- Form, die der Ableitung des Winkels von einem Bezugspunkt in seinem Zentrum entspricht, typischerweise als dθ geschrieben (beschrieben bei Geschlossene und genaue Differentialformen ). Es gibt keine Funktion θ, die auf dem ganzen Kreis definiert ist, so dass seine Ableitung ist; die Zunahme von 2 π beim einmaligen Umrunden des Kreises in positiver Richtung impliziert eine mehrwertige Funktion θ . Das Entfernen eines Punktes des Kreises vermeidet dies und ändert gleichzeitig die Topologie der Mannigfaltigkeit.

Die Idee hinter der de-Rham-Kohomologie besteht darin, Äquivalenzklassen geschlossener Formen auf einer Mannigfaltigkeit zu definieren . Zwei abgeschlossene Formen α , β ∈ Ω k ( M ) klassifiziert man als kohomologe, wenn sie sich durch eine exakte Form unterscheiden, dh wenn αβ exakt ist. Diese Klassifizierung induziert eine Äquivalenzbeziehung auf den Raum der geschlossenen Formen in Ω k ( M ) . Man definiert dann die k - te de Rham Kohomologiegruppe die Menge der Äquivalenzklassen zu sein, das heißt, die Menge der geschlossenen Formen in Ω k ( M ) Modulo die genauen Formen.

Beachten Sie, dass für jede Mannigfaltigkeit M, die aus m getrennten Komponenten besteht, von denen jede verbunden ist , gilt:

Dies folgt aus der Tatsache, dass jede glatte Funktion auf M mit Nullableitung überall auf jeder der Zusammenhangskomponenten von M separat konstant ist .

De Rham-Kohomologie berechnet

Man kann oft die allgemeinen de Rham-Kohomologien einer Mannigfaltigkeit finden, wenn man die obige Tatsache über die Nullkohomologie und eine Mayer-Vietoris-Folge verwendet . Eine weitere nützliche Tatsache ist, dass die de Rham-Kohomologie eine Homotopie- Invariante ist. Obwohl die Berechnung nicht angegeben ist, sind im Folgenden die berechneten de Rham-Kohomologien für einige gängige topologische Objekte:

Die n- Sphäre

Für die n- Sphäre , , und auch zusammen mit einem Produkt offener Intervalle ergibt sich folgendes. Sei n > 0, m ≥ 0 und I ein offenes reelles Intervall. Dann

Der n- Torus

Der -Torus ist das kartesische Produkt: . In ähnlicher Weise erhalten wir , wenn wir hier zulassen,

Wir können auch explizite Generatoren für die de Rham-Kohomologie des Torus direkt unter Verwendung von Differentialformen finden. Bei einem Quotienten Verteiler und eine Differentialform können wir sagen , dass ist -invariant jede Diffeomorphismus , wenn gegeben , induziert durch , wir haben . Insbesondere auf dem Pullback jeglicher Form ist -invariant. Auch der Pullback ist ein injektiver Morphismus. In unserem Fall von den Differentialformen sind -invariant da . Beachten Sie jedoch, dass for keine invariante -Form ist. Dies mit Injektivität impliziert, dass

Da der Kohomologiering eines Torus durch erzeugt wird , erhält man durch die äußeren Produkte dieser Formen alle expliziten Repräsentanten für die de Rham-Kohomologie eines Torus.

Durchbohrter euklidischer Raum

Der punktierte euklidische Raum ist einfach mit entferntem Ursprung.

Der Möbius-Streifen

Wir können aus der Tatsache ableiten , dass die Streifen Möbius , M , können eingezogene Verformung auf den 1 -sphere (dh des realen Einheitskreis), dass:

Theorem von De Rham

Der Satz von Stokes ist ein Ausdruck der Dualität zwischen der de Rham-Kohomologie und der Homologie von Ketten . Es besagt, dass die Paarung von Differentialformen und -ketten durch Integration einen Homomorphismus von der de Rham-Kohomologie zu singulären Kohomologiegruppen ergibt. Der Satz von De Rham, der 1931 von Georges de Rham bewiesen wurde , besagt, dass diese Abbildung für eine glatte Mannigfaltigkeit M tatsächlich ein Isomorphismus .

Betrachten Sie genauer die Karte

definiert wie folgt: für any sei I ( ω ) das Element dessen , das wie folgt wirkt:

Der Satz von de Rham behauptet, dass dies ein Isomorphismus zwischen der de Rham-Kohomologie und der singulären Kohomologie ist.

Das äußere Produkt verleiht der direkten Summe dieser Gruppen eine Ringstruktur . Ein weiteres Ergebnis des Satzes ist, dass die beiden Kohomologieringe isomorph sind (als abgestufte Ringe ), wobei das analoge Produkt auf singulärer Kohomologie das Cup-Produkt ist .

Garbentheoretischer de Rham Isomorphismus

Die de Rham - Kohomologie ist isomorph zur Čech - Kohomologie , wobei die Garbe der abelschen Gruppen durch für alle zusammenhängenden offenen Mengen bestimmt ist , und für offene Mengen so , dass der Gruppenmorphismus durch die Identitätskarte auf gegeben ist und wo eine gute offene Hülle ist of (dh alle offenen Mengen in der offenen Hülle sind auf einen Punkt kontrahierbar , und alle endlichen Schnittmengen der Mengen in sind entweder leer oder auf einen Punkt kontrahierbar). Mit anderen Worten ist die konstante Garbe, die durch die Garbe der konstanten Vorgarbe-Zuordnung gegeben ist .

Anders ausgedrückt, wenn eine kompakte C m +1 Mannigfaltigkeit der Dimension ist , dann gibt es für jede einen Isomorphismus

wobei die linke Seite die -te de Rham-Kohomologiegruppe ist und die rechte Seite die ech-Kohomologie für die konstante Garbe mit Faser

Nachweisen

Lassen Sie bezeichnen die Garbe der Keime von -Formen auf (mit der Garbe von Funktionen ). Nach dem Lemma von Poincaré ist die folgende Garbenfolge exakt (in der Kategorie der Garben):

Diese Sequenz zerfällt nun in kurze exakte Sequenzen

Jede von diesen induziert eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie. Da die Garbe von Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit Partitionen der Einheit zulässt , verschwindet die Garben-Kohomologie für . So trennen sich die langen exakten Kohomologiesequenzen selbst letztendlich in eine Kette von Isomorphismen. An einem Ende der Kette liegt die Čech-Kohomologie und am anderen die de Rham-Kohomologie.

Verwandte Ideen

Die De-Rham-Kohomologie hat viele mathematische Ideen inspiriert, darunter die Dolbeault-Kohomologie , die Hodge-Theorie und das Atiyah-Singer-Index-Theorem . Aber auch in klassischeren Kontexten hat das Theorem eine Reihe von Entwicklungen inspiriert. Erstens beweist die Hodge-Theorie, dass es einen Isomorphismus zwischen der aus harmonischen Formen bestehenden Kohomologie und der aus geschlossenen Formen modulo exakten Formen bestehenden de Rham-Kohomologie gibt. Dies beruht auf einer geeigneten Definition der harmonischen Formen und des Hodge-Theorems. Für weitere Details siehe Hodge-Theorie .

Harmonische Formen

Ist M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit , dann enthält jede Äquivalenzklasse in genau eine harmonische Form . Das heißt, jedes Mitglied einer gegebenen Äquivalenzklasse abgeschlossener Formen kann geschrieben werden als

wo ist genau und ist harmonisch: .

Jede harmonische Funktion auf einer kompakten zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit ist eine Konstante. Somit kann dieses bestimmte repräsentative Element als Extremum (ein Minimum) aller kohomologen äquivalenten Formen auf der Mannigfaltigkeit verstanden werden. Zum Beispiel auf einen 2 - Torus kann man eine konstante vergegenwärtigt 1 -Form als einen , in der alle von den „Haaren“ ordentlich in der gleichen Richtung gekämmt wird (und alle der „Haare“ die gleiche Länge). In diesem Fall gibt es zwei kohomologisch unterschiedliche Kämmungen; alle anderen sind Linearkombinationen. Dies impliziert insbesondere, dass die 1. Betti-Zahl eines 2- Torus zwei ist. Allgemeiner kann man auf einem eindimensionalen Torus die verschiedenen Kämmungen von -Formen auf dem Torus betrachten. Es gibt wählen solche combings , die verwendet werden können , um die Basisvektoren zu bilden für ; die -te Betti-Zahl für die de-Rham-Kohomologiegruppe für den -Torus ist also select .

Genauer gesagt kann man eine Differentialmannigfaltigkeit M mit einer zusätzlichen Riemannschen Metrik ausstatten . Dann ist der Laplace-Operator definiert durch

mit der äußeren Ableitung und der Kodifferenz . Der Laplace-Operator ist ein homogener (in der Abstufung ) linearer Differentialoperator, der auf die äußere Algebra der Differentialformen einwirkt : Wir können seine Wirkung auf jede Gradkomponente separat betrachten.

Wenn ist kompakt und orientierte , die Dimension des Kernels des Laplace beaufschlagenden Raum von k -Formen ist dann gleich (durch Theorie Hodge ) zu dem dem de Rham Kohomologiegruppe in Grad : Laplace - Picks aus einer einzigartigen harmonischen Form in jede Kohomologieklasse geschlossener Formen . Insbesondere ist der Raum aller harmonischen -Formen auf isomorph zu Die Dimension jedes dieser Räume ist endlich und wird durch die -te Betti-Zahl gegeben .

Hodge-Zerlegung

Sei eine kompakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit . Die Hodge-Zerlegung besagt, dass sich jede -Form auf eindeutig in die Summe von drei L 2 -Komponenten aufspaltet :

wobei genau, koexakt und harmonisch ist.

Man sagt, dass eine Form co-abgeschlossen ist, wenn und co-exakt, wenn für irgendeine Form , und das ist harmonisch, wenn der Laplace-Operator null ist, . Dies folgt aus der Feststellung, dass exakte und koexakte Formen orthogonal sind; das orthogonale Komplement besteht dann aus geschlossenen und co-geschlossenen Formen, also aus harmonischen Formen. Hier wird Orthogonalität bezüglich des L 2 inneren Produkts auf definiert :

Durch Verwendung von Sobolev-Räumen oder -Verteilungen kann die Zerlegung beispielsweise auf eine vollständige (orientierte oder nicht orientierte) Riemannsche Mannigfaltigkeit erweitert werden.

Siehe auch

Zitate

Verweise

Externe Links