Verformung (Mathematik) - Deformation (mathematics)

In der Mathematik , Deformationstheorie ist die Untersuchung der infinitesimal Bedingungen im Zusammenhang mit einer Lösung Variieren P ein Problem zu leicht unterschiedlichen Lösungen P _ε , wobei ε eine kleine Zahl ist, oder einen Vektor von kleinen Mengen. Die infinitesimalen Bedingungen sind das Ergebnis der Anwendung des Ansatzes der Differentialrechnung zur Lösung eines Problems mit Nebenbedingungen . Der Name ist eine Analogie zu nicht starren Strukturen, die sich leicht verformen , um externe Kräfte aufzunehmen.

Einige charakteristische Phänomene sind: die Ableitung von Gleichungen erster Ordnung durch Behandlung der ε-Größen als vernachlässigbare Quadrate; die Möglichkeit von Insellösungen , da eine Variation einer Lösung nicht möglich ist oder nichts Neues bringt; und die Frage, ob die infinitesimalen Beschränkungen tatsächlich „integrieren“, so dass ihre Lösung kleine Variationen liefert. In gewisser Form haben diese Überlegungen eine jahrhundertelange Geschichte in der Mathematik, aber auch in der Physik und den Ingenieurwissenschaften . Zum Beispiel wurde in der Geometrie der Zahlen eine Klasse von Ergebnissen erkannt, die Isolationssätze genannt werden , mit der topologischen Interpretation einer offenen Bahn (einer Gruppenwirkung ) um eine gegebene Lösung. Die Störungstheorie betrachtet auch Deformationen, im Allgemeinen von Operatoren .

Verformungen komplexer Mannigfaltigkeiten

Die herausragendste Deformationstheorie in der Mathematik war die der komplexen Mannigfaltigkeiten und algebraischen Varietäten . Dies wurde durch die Grundlagenarbeit von Kunihiko Kodaira und Donald C. Spencer auf eine solide Grundlage gestellt , nachdem Deformationstechniken in der italienischen Schule der algebraischen Geometrie viel versuchsweise Anwendung gefunden hatten . Intuitiv erwartet man, dass die Deformationstheorie erster Ordnung den Zariski-Tangentenraum mit einem Modulraum gleichsetzen sollte . Im allgemeinen Fall erweisen sich die Phänomene jedoch als eher subtil.

Bei Riemannschen Flächen kann man erklären, dass die komplexe Struktur auf der Riemannschen Kugel isoliert ist (keine Moduli). Für die Gattung 1 hat eine elliptische Kurve eine einparametrige Familie komplexer Strukturen, wie in der Theorie der elliptischen Funktionen gezeigt . Die allgemeine Kodaira-Spencer Theorie identifiziert als Schlüssel für die Verformung der Theorie Garbenkohomologie Gruppe

${\displaystyle H^{1}(\Theta)\,}$

wobei Θ (die Garbe von Keimen von Abschnitten der) holomorphe Tangentialbündel . Es gibt ein Hindernis im H ² derselben Garbe; die bei einer Kurve aus allgemeinen Dimensionsgründen immer Null ist. Bei der Gattung 0 verschwindet auch das H ¹ . Für die Gattung 1 ist die Dimension die Hodge-Zahl h ^1,0 und damit 1. Es ist bekannt, dass alle Kurven der Gattung eins Gleichungen der Form y ² = x ³ + ax + b haben . Diese hängen offensichtlich von zwei Parametern a und b ab, während die Isomorphismusklassen solcher Kurven nur einen Parameter haben. Daher muss es eine Gleichung geben, die diejenigen a und b miteinander verbindet, die isomorphe elliptische Kurven beschreiben. Es stellt sich heraus, dass Kurven, für die b ² a ⁻³ den gleichen Wert hat, isomorphe Kurven beschreiben. Dh das Variieren von a und b ist eine Möglichkeit, die Struktur der Kurve y ² = x ³ + ax + b zu verformen , aber nicht alle Variationen von a,b ändern tatsächlich die Isomorphismusklasse der Kurve.

Man kann im Fall der Gattung g > 1 weiter gehen, indem man die Serre-Dualität verwendet , um H ¹ auf . zu beziehen

${\displaystyle H^{0}(\Omega^{[2]})}$

wobei Ω das holomorphe Kotangensbündel ist und die Notation Ω ^[2] das Tensorquadrat ( nicht die zweite äußere Potenz ) bedeutet. Mit anderen Worten, Deformationen werden durch holomorphe quadratische Differentiale auf einer Riemann-Fläche reguliert , was wiederum klassisch bekannt ist. Die Dimension des Modulraums, in diesem Fall Teichmüller-Raum genannt , wird nach dem Riemann-Roch-Theorem zu 3 g − 3 berechnet .

Diese Beispiele sind der Beginn einer Theorie, die sich auf holomorphe Familien komplexer Mannigfaltigkeiten jeglicher Dimension bezieht. Weitere Entwicklungen waren: die Erweiterung der Techniken durch Spencer auf andere Strukturen der Differentialgeometrie ; die Assimilation der Kodaira-Spencer-Theorie in die abstrakte algebraische Geometrie von Grothendieck mit einer konsequenten inhaltlichen Klärung früherer Arbeiten; und Deformationstheorie anderer Strukturen, wie Algebren.

Verformungen und flache Karten

Die allgemeinste Form einer Deformation ist eine flache Karte komplexanalytischer Räume, Schemata oder Funktionskeime auf einem Raum. Grothendieck hat diese weitreichende Verallgemeinerung für Deformationen als erster gefunden und in diesem Zusammenhang die Theorie entwickelt. Die allgemeine Idee ist, dass es eine universelle Familie geben sollte, so dass jede Verformung als einzigartiges Rückzugsquadrat gefunden werden kann${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

In vielen Fällen ist diese universelle Familie entweder ein Hilbert-Schema oder Quot-Schema oder ein Quotient von einem von ihnen. Bei der Konstruktion der Moduli von Kurven wird es beispielsweise als Quotient der glatten Kurven im Hilbert-Schema konstruiert. Wenn das Pullback-Quadrat nicht eindeutig ist, ist die Familie nur versal .

Verformungen von Keimen analytischer Algebren

Einer der nützlichen und leicht berechenbaren Bereiche der Deformationstheorie stammt aus der Deformationstheorie von Keimen komplexer Räume, wie Stein-Mannigfaltigkeiten , komplexen Mannigfaltigkeiten oder komplexen analytischen Varietäten . Beachten Sie, dass diese Theorie auf komplexe Mannigfaltigkeiten und komplexe analytische Räume globalisiert werden kann, indem man die Keimbündel holomorpher Funktionen, Tangentialräume usw. betrachtet. Solche Algebren haben die Form

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb{C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}{I}}}$

wo ist der Ring der konvergenten Potenzreihe und ist ein Ideal. Viele Autoren untersuchen zum Beispiel die Keime von Funktionen einer Singularität, wie die Algebra${\displaystyle \mathbb{C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

eine Singularität einer ebenen Kurve darstellend. Ein Keim analytischer Algebren ist dann ein Objekt in der entgegengesetzten Kategorie solcher Algebren. Dann wird eine Verformung eines Keims analytischen algebras durch eine flache Karte von Keimen des analytischen algebras gegeben , wo einen bemerkenswerten Punkt hat derart , daß die paßt in das quadratischen Rücksetzer${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

Diese Deformationen haben eine Äquivalenzrelation, die durch kommutative Quadrate gegeben ist

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

wobei die horizontalen Pfeile Isomorphismen sind. Zum Beispiel gibt es eine Deformation der ebenen Kurvensingularität, die durch das entgegengesetzte Diagramm des kommutativen Diagramms der analytischen Algebren gegeben ist

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb{C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac { \mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb{C}\{s\}\end{matrix}}}$

Tatsächlich hat Milnor solche Verformungen untersucht, bei denen eine Singularität durch eine Konstante verformt wird, daher wird die Faser über einer Nicht-Null als Milnor-Faser bezeichnet . ${\displaystyle s}$

Kohomologische Interpretation von Deformationen

Es sollte klar sein, dass es viele Deformationen eines einzelnen Keims analytischer Funktionen geben kann. Aus diesem Grund sind einige Buchhaltungsgeräte erforderlich, um all diese Informationen zu organisieren. Diese organisatorischen Geräte werden unter Verwendung der Tangentialkohomologie konstruiert. Dies wird gebildet, indem die Koszul-Tate-Auflösung verwendet und möglicherweise modifiziert wird, indem zusätzliche Generatoren für nicht-reguläre Algebren hinzugefügt werden . Im Fall analytischer Algebren werden diese Auflösungen für den Mathematiker, der solche Objekte zuerst untersuchte, Galina Tyurina, die Tjurina-Auflösung genannt . Dies ist eine abgestufte-kommutative differentiell abgestufte Algebra , also eine surjektive Abbildung analytischer Algebren, und diese Abbildung passt in eine exakte Folge${\displaystyle A}$${\displaystyle (R_{\bullet},s)}$${\displaystyle R_{0}\to A}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Dann bildet seine Kohomologie unter Verwendung des differentiell abgestuften Moduls der Ableitungen die Tangentenkohomologie des Keims der analytischen Algebren . Diese Kohomologiegruppen werden mit bezeichnet . Der enthält Informationen über alle Verformungen von und kann mit der genauen Reihenfolge leicht berechnet werden${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet}),d)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T^{k}(A)}$${\displaystyle T^{1}(A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I ,A)\nach T^{1}(A)\nach 0}$

Wenn isomorph zur Algebra ist${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb{C} \{z_{1},\ldots,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots,f_{m})}}}$

dann sind seine Verformungen gleich

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

waren ist die jacobianische Matrix von . Zum Beispiel hat die Verformung einer Hyperfläche gegeben durch die Verformungen${\displaystyle df}$${\displaystyle f=(f_{1},\ldots,f_{m}):\mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{m}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\ frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

Für die Singularität ist dies das Modul${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

daher sind die einzigen Verformungen durch Zugabe von Konstanten oder lineare Faktoren gegeben, so dass eine allgemeine Verformung ist , wo der Verformungsparameter sind. ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$${\displaystyle a_{i}}$

Funktionsbeschreibung

Eine andere Methode zur Formalisierung der Deformationstheorie ist die Verwendung von Funktoren für die Kategorie der lokalen Artin-Algebren über einem Körper. Ein Vorverformungsfunktor ist definiert als ein Funktor ${\displaystyle {\text{Kunst}}_{k}}$

${\displaystyle F:{\text{Kunst}}_{k}\to {\text{Mengen}}}$

das ist ein Punkt. Die Idee ist, dass wir die infinitesimale Struktur eines Modulraums um einen Punkt herum untersuchen wollen, an dem der interessierende Raum über diesem Punkt liegt. Typischerweise ist es einfacher, den Funktor für ein Moduli-Problem zu beschreiben, als einen tatsächlichen Raum zu finden. Wenn wir zum Beispiel den Modulraum von Hyperflächen vom Grad in betrachten wollen , dann könnten wir den Funktor ${\displaystyle F(k)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb{P}^{n}}$

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Mengen}}}$

wo

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ jede Faser ist ein Grad }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb{P}^{n}\right\}}$

Obwohl es im Allgemeinen bequemer/erforderlich ist, mit Funktoren von Gruppoiden anstelle von Mengen zu arbeiten. Dies gilt für Moduli von Kurven.

Technische Bemerkungen zu Infinitesimals

Infinitesimale werden seit langem von Mathematikern für nicht-rigorose Argumente in der Infinitesimalrechnung verwendet. Die Idee ist, dass, wenn wir Polynome mit einem infinitesimalen Wert betrachten , nur die Terme erster Ordnung wirklich von Bedeutung sind; das heißt, wir können in Betracht ziehen ${\displaystyle F(x,\varepsilon)}$${\displaystyle\varepsilon}$

${\displaystyle F(x,\varepsilon)\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon^{2})}$

Eine einfache Anwendung davon ist, dass wir die Ableitungen von Monomen mithilfe von infinitesimalen Zahlen finden können :

${\displaystyle (x+\varepsilon)^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon^{2})}$

der Begriff enthält die Ableitung des Monoms, was seine Verwendung in der Infinitesimalrechnung demonstriert. Wir könnten diese Gleichung auch als die ersten beiden Terme der Taylor-Entwicklung des Monoms interpretieren. Infinitesimale können mit nilpotenten Elementen in lokalen Artin-Algebren rigoros gemacht werden. Im Ring sehen wir, dass Argumente mit infinitesimalen Zahlen funktionieren können. Dies motiviert die Notation , die als Ring der dualen Zahlen bezeichnet wird . ${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$${\displaystyle k[\varepsilon]=k[y]/(y^{2})}$

Wenn wir außerdem Terme höherer Ordnung einer Taylor-Approximation betrachten wollen, könnten wir die Artin-Algebren betrachten . Angenommen, wir wollen für unser Monom die Entwicklung zweiter Ordnung schreiben, dann ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$

${\displaystyle (x+\varepsilon)^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon^{3}}$

Denken Sie daran, dass eine Taylor-Entwicklung (bei Null) geschrieben werden kann als

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(x)}{1!}}+{\frac {f^{(2)}(x)}{ 2!}}+{\frac{f^{(3)}(x)}{3!}}+\cdots}$

daher zeigen die beiden vorherigen Gleichungen, dass die zweite Ableitung von ist . ${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle 6x}$

Da wir Taylor-Entwicklungen beliebiger Ordnung in beliebig vielen Variablen betrachten wollen, betrachten wir im Allgemeinen die Kategorie aller lokalen Artin-Algebren über einem Körper.

Motivation

Um die Definition eines Vorverformungsfunktors zu motivieren, betrachten wir die projektive Hyperfläche über einem Feld

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{( x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\Operatorname { Spez.} (k)\end{matrix}}}$

Wollen wir eine infinitesimale Deformation dieses Raumes betrachten, dann könnten wir ein kartesisches Quadrat aufschreiben

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{( x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb{C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_ {1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\Operatorname {Spec} (k)&\to &\ Operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

wo . Dann ist der Raum in der rechten Ecke ein Beispiel für eine infinitesimale Deformation: Die zusätzliche schematheoretische Struktur der nilpotenten Elemente in (die topologisch ein Punkt ist) ermöglicht es uns, diese infinitesimalen Daten zu organisieren. Da wir alle möglichen Erweiterungen berücksichtigen wollen, lassen wir unseren Vorverformungsfunktor auf Objekten definieren als ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2} ,x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right) &\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\} }$

wo ist eine lokale Artin- Algebra. ${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$

Glatte Vorverformungsfunktionen

Ein Vorverformungsfunktor heißt glatt, wenn es für jede Surjektion , bei der das Quadrat jedes Elements im Kernel null ist, eine Surjektion gibt ${\displaystyle A'\to A}$

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Dies wird durch die folgende Frage motiviert: gegeben eine Verformung

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\ Ende{Matrix}}}$

Gibt es eine Erweiterung dieses kartesischen Diagramms zu den kartesischen Diagrammen?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} ( k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

der Name glatt kommt vom Lifting-Kriterium eines glatten Morphismus von Schemata.

Tangentialraum

Denken Sie daran, dass der Tangentialraum eines Schemas beschrieben werden kann als die -Menge ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

wobei die Quelle der Ring der dualen Zahlen ist . Da wir den Tangentialraum eines Punktes eines Modulraums betrachten, können wir den Tangentialraum unseres (Vor-)Verformungsfunktors definieren als

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon])}$

Anwendungen der Deformationstheorie

Dimension der Moduli von Kurven

Eine der ersten Eigenschaften der Moduli algebraischer Kurven kann mit der elementaren Deformationstheorie abgeleitet werden. Seine Dimension kann berechnet werden als${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle \dim({\mathcal{M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

für eine beliebige glatte Gattungskurve, weil der Deformationsraum der Tangentenraum des Modulraums ist. Mit der Serre-Dualität ist der Tangentialraum isomorph zu${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega_{C}) ^{\vee}\\&\cong H^{0}(C,\omega_{C}^{\otimes 2})^{\vee}\end{ausgerichtet}}}$

Daher liefert der Riemann-Roch-Satz

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}h^{0}(C,\omega_{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega_{C}^{\otimes 2 })&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{ausgerichtet}}}$

Für Kurven der Gattung das weil${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle h^{1}(C,\omega_{C}^{\otimes 2})=0}$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega_{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega_{C}^{\otimes 2})^{\ v }\otimes \omega_{C})}$

der grad ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee}\otimes \omega _{C})&=4-4g +2g-2\\&=2-2g\end{ausgerichtet}}}$

und für Linienbündel negativen Grades. Daher ist die Dimension des Modulraums . ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$${\displaystyle 3g-3}$

Biegen und Brechen

Die Deformationstheorie wurde bekanntermaßen von Shigefumi Mori in der birationalen Geometrie angewandt , um die Existenz rationaler Kurven auf Varietäten zu untersuchen . Für eine Fano-Variante mit positiver Dimension zeigte Mori, dass durch jeden Punkt eine rationale Kurve verläuft. Die Beweismethode wurde später als Moris Bend-and-Break bekannt . Die grobe Idee ist, mit einer Kurve C durch einen gewählten Punkt zu beginnen und sie so lange zu verformen, bis sie in mehrere Komponenten zerfällt . Das Ersetzen von C durch eine der Komponenten hat die Wirkung, entweder die Gattung oder den Grad von C zu verringern . Nach mehreren Wiederholungen des Verfahrens erhalten wir also schließlich eine Kurve der Gattung 0, dh eine rationale Kurve. Die Existenz und die Eigenschaften von Deformationen von C erfordern Argumente aus der Deformationstheorie und eine Reduktion auf positive Eigenschaften .

Arithmetische Verformungen

Eine der Hauptanwendungen der Deformationstheorie ist die Arithmetik. Es kann verwendet werden, um die folgende Frage zu beantworten: Wenn wir eine Sorte haben , was sind die möglichen Erweiterungen ? Wenn unsere Varietät eine Kurve ist, dann impliziert das Verschwinden , dass jede Deformation eine Varietät über induziert ; das heißt, wenn wir eine glatte Kurve haben ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle {\mathfrak{X}}/\mathbb{Z} _{p}}$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

und eine Verformung

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})& \to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

dann können wir es immer auf ein Diagramm der Form erweitern

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\ downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Dies impliziert, dass wir ein formales Schema konstruieren können , das eine Kurve über gibt . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet})}$${\displaystyle \mathbb{Z} _{p}}$

Verformungen abelscher Schemata

Der Satz von Serre-Tate behauptet, grob gesagt, dass die Deformationen des abelschen Schemas A durch Deformationen der p- teilbaren Gruppe, bestehend aus ihren p- potenzierten Torsionspunkten, kontrolliert werden. ${\displaystyle A[p^{\infty}]}$

Galois-Verformungen

Eine andere Anwendung der Deformationstheorie sind Galois-Deformationen. Es erlaubt uns, die Frage zu beantworten: Wenn wir eine Galois-Darstellung haben

${\displaystyle G\to\operatorname {GL}_{n}(\mathbb{F}_{p})}$

wie können wir es auf eine Darstellung erweitern

${\displaystyle G\to\operatorname {GL}_{n}(\mathbb{Z}_{p}){\text{?}}}$

Beziehung zur Stringtheorie

Die sogenannte Deligne-Vermutung, die im Kontext der Algebren (und der Hochschild-Kohomologie ) auftaucht, weckte großes Interesse an der Deformationstheorie in Bezug auf die Stringtheorie (grob gesagt, um die Idee zu formalisieren, dass eine Stringtheorie als eine Deformation eines Punktes betrachtet werden kann). Teilchentheorie). Dies wird nun nach einigen Problemen mit frühen Ankündigungen als erwiesen akzeptiert. Maxim Kontsevich gehört zu denen, die dafür einen allgemein anerkannten Beweis erbracht haben.

Siehe auch

• Karte Kodaira–Spencer
• Doppelnummer
• Satz von Schlessinger
• Exalcomm
• Kotangentialkomplex
• Gromov-Witten-Invariante
• Modul algebraischer Kurven
• Degeneration (algebraische Geometrie)

Anmerkungen

Quellen

• "deformation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Gerstenhaber, Murray und Stasheff, James , Hrsg. (1992). Deformationstheorie und Quantengruppen mit Anwendungen in der mathematischen Physik , American Mathematical Society (Google eBook) ISBN  0821851411

Pädagogisch

• Palamodov, VP, III. Verformungen komplexer Räume . Complex Variables IV (sehr bodenständiges Intro)
• Kursnotizen zur Deformationstheorie (Artin)
• Studium der Deformationstheorie von Schemata
• Sernesi, Eduardo, Deformationen algebraischer Schemata
• Hartshorne, Robin, Deformationstheorie
• Notizen aus Hartshornes Kurs über Deformationstheorie
• MSRI – Deformationstheorie und Moduli in der algebraischen Geometrie

Umfrageartikel

• Mazur, Barry (2004), "Perturbations, Deformations, and Variations (and "Near-Misses" in Geometry, Physics, and Number Theory" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 41 (3): 307–336, doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , MR  2058289
• Anel, M., Warum Deformationen kohomologisch sind (PDF)

Externe Links

• "Ein Blick in die Deformationstheorie" (PDF) ., Vortragsnotizen von Brian Osserman