Differential (unendlich) - Differential (infinitesimal)

Der Begriff Differential wird in der Infinitesimalrechnung verwendet, um sich auf eine infinitesimale (unendlich kleine) Änderung in einer variierenden Größe zu beziehen . Wenn beispielsweise x eine Variable ist , wird eine Änderung des Wertes von x oft als Δ x (ausgesprochen delta x ) bezeichnet. Das Differential dx stellt eine unendlich kleine Änderung der Variablen x dar . Die Idee einer unendlich kleinen oder unendlich langsamen Änderung ist intuitiv äußerst nützlich, und es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, den Begriff mathematisch zu präzisieren.

Mit der Infinitesimalrechnung ist es möglich, die unendlich kleinen Veränderungen verschiedener Variablen durch Ableitungen mathematisch miteinander in Beziehung zu setzen . Wenn y eine Funktion von x ist , dann hängt das Differential dy von y mit dx durch die Formel

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$

wobei bezeichnet die Ableitung von y nach x . Diese Formel fasst die intuitive Idee zusammen, dass die Ableitung von y nach x die Grenze des Differenzverhältnisses Δ y /Δ x ist, wenn Δ x infinitesimal wird. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$

Es gibt mehrere Ansätze, um den Begriff der Differentiale mathematisch präzise zu machen.

1. Differentiale als lineare Abbildungen . Dieser Ansatz liegt der Definition der Ableitung und der äußeren Ableitung in der Differentialgeometrie zugrunde .
2. Differentiale als nilpotente Elemente kommutativer Ringe . Dieser Ansatz ist in der algebraischen Geometrie beliebt.
3. Differentiale in glatten Modellen der Mengenlehre. Dieser Ansatz ist als synthetische Differentialgeometrie oder glatte infinitesimale Analyse bekannt und ist eng mit dem algebraischen geometrischen Ansatz verwandt, außer dass Ideen aus der Topos-Theorie verwendet werden, um die Mechanismen zu verbergen , durch die nilpotente infinitesimale Zahlen eingeführt werden.
4. Differentiale als infinitesimale Zahlen in hyperrealen Zahlensystemen, die Erweiterungen der reellen Zahlen sind, die invertierbare infinitesimale und unendlich große Zahlen enthalten. Dies ist der Ansatz der nichtstandardisierten Analyse, der von Abraham Robinson entwickelt wurde .

Diese Ansätze sind sehr unterschiedlich, aber sie haben die Idee, quantitativ zu sein , dh nicht nur zu sagen, dass ein Differential unendlich klein ist, sondern wie klein es ist.

Geschichte und Nutzung

Bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung spielten unendliche Größen eine bedeutende Rolle. Archimedes benutzte sie, obwohl er nicht glaubte, dass Argumente mit Infinitesimals streng waren. Isaac Newton bezeichnete sie als Fluxionen . Es war jedoch Gottfried Leibniz , der den Begriff Differentiale für infinitesimale Größen prägte und die noch heute gebräuchliche Schreibweise für sie einführte.

In der Leibniz-Notation bezeichnet dx , wenn x eine variable Größe ist, eine infinitesimale Änderung der Variablen x . Somit kann , wenn y eine Funktion von x , dann ist die Derivat von y in Bezug auf x ist oft bezeichnet mit dy / dx , die ansonsten (in der Notation von Newton oder bezeichnet werden würden Lagrange ) y oder y ' . Die Verwendung von Differentialen in dieser Form erregte viel Kritik, zum Beispiel in der berühmten Broschüre The Analyst von Bishop Berkeley. Dennoch ist die Notation populär geblieben, da sie stark auf die Idee hindeutet, dass die Ableitung von y bei x seine momentane Änderungsrate (die Steigung der Tangentenlinie des Graphen ) ist, die durch Verwenden des Grenzwerts des Verhältnisses Δ y / Δ x der Änderung von y über die Änderung von x , da die Änderung von x beliebig klein wird. Differentiale sind auch mit der Dimensionsanalyse kompatibel , bei der ein Differential wie dx die gleichen Dimensionen wie die Variable x hat .

Differentiale werden auch in der Notation für Integrale verwendet, weil ein Integral als unendliche Summe unendlich kleiner Größen betrachtet werden kann: Die Fläche unter einem Graphen erhält man, indem man den Graphen in unendlich dünne Streifen unterteilt und deren Flächen aufsummiert. In einem Ausdruck wie

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

das Integralzeichen (das ein modifiziertes langes s ist ) bezeichnet die unendliche Summe, f ( x ) bezeichnet die "Höhe" eines dünnen Streifens und das Differential dx bezeichnet seine unendlich dünne Breite.

Differentiale als lineare Abbildungen

Es gibt eine einfache Möglichkeit, Differenzen einen genauen Sinn zu geben, indem man sie als lineare Abbildungen betrachtet . Zur Veranschaulichung nehmen wir an, es handelt sich um eine reellwertige Funktion auf . Wir können die Variable in als Funktion statt als Zahl uminterpretieren , nämlich die Identitätskarte auf der reellen Geraden, die eine reelle Zahl für sich nimmt: . Dann ist die Zusammensetzung von with , deren Wert at ist . Das Differential (das natürlich von ) abhängt, ist dann eine Funktion, deren Wert at (normalerweise bezeichnet ) keine Zahl ist, sondern eine lineare Abbildung von bis . Da eine lineare Abbildung von bis durch eine gegebene Matrix , ist es im Wesentlichen dasselbe wie eine Zahl, aber die Änderung der Sicht ermöglicht es uns , zu denken , als unendlich und vergleichen es mit dem Standard unendlich , was wiederum nur ist die Identitätskarte von bis (eine Matrix mit Eintrag ). Die Identitätskarte hat die Eigenschaft, dass wenn sehr klein ist, dann sehr klein ist, was es uns ermöglicht, sie als infinitesimal zu betrachten. Das Differential hat die gleiche Eigenschaft, weil es nur ein Vielfaches von ist und dieses Vielfache per Definition die Ableitung ist . Wir erhalten daher das , und daher . Damit gewinnen wir die Idee zurück, die das Verhältnis der Differentiale und ist . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x(p)=p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$${\displaystyle \operatorname {d} f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle df_{p}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle\varepsilon}$${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon)}$${\displaystyle df_{p}}$${\displaystyle dx_{p}}$${\displaystyle f'(p)}$${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$${\displaystyle df=f'\,dx}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle df}$${\displaystyle dx}$

Das wäre nur ein Trick, wenn nicht:

1. es fängt die Idee der Ableitung von at als beste lineare Annäherung an at ein ;${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$
2. es hat viele Verallgemeinerungen.

Wenn zum Beispiel eine Funktion von bis ist , dann sagen wir, dass ist differenzierbar bei, wenn es eine lineare Abbildung von bis gibt, so dass es für any eine Umgebung von gibt, so dass für , ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle df_{p}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in N}$

${\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(xp)\right|<\varepsilon \left|xp\right|.}$

Wir können nun den gleichen Trick wie im eindimensionalen Fall verwenden und denken Sie an dem Ausdruck als Verbund aus mit den Standard - Koordinaten auf (so dass die -te Komponente ). Dann bilden die Differentiale an einem Punkt eine Basis für den Vektorraum der linearen Abbildungen von bis und daher, wenn bei differenzierbar ist , können wir als Linearkombination dieser Basiselemente schreiben : ${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\ldots,x^{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots,x^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle x^{j}(p)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle p\in\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle \left(dx^{1}\right)_{p},\left(dx^{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx^{n}\right)_ {P}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {d} f_{p}}$

${\displaystyle df_{p}=\sum_{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx^{j})_{p}.}$

Die Koeffizienten sind (per Definition) die partiellen Ableitungen von at nach . Wenn also auf allen differenzierbar ist , können wir kürzer schreiben: ${\displaystyle D_{j}f(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots,x^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}\,dx^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{ 2}}}\,dx^{2}+\cdots +{\frac{\partial f}{\partial x^{n}}}\,dx^{n}.}$

Im eindimensionalen Fall wird daraus

${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$

wie vorher.

Diese Idee lässt sich direkt auf Funktionen von bis verallgemeinern . Darüber hinaus hat sie gegenüber anderen Definitionen der Ableitung den entscheidenden Vorteil, dass sie gegenüber Koordinatenänderungen invariant ist . Dies bedeutet, dass die gleiche Idee verwendet werden kann, um das Differential von glatten Abbildungen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten zu definieren . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{m}}$

Nebenbei: Beachten Sie, dass die Existenz aller partiellen Ableitungen von at eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Differentials at ist . Dies ist jedoch keine ausreichende Bedingung . Für Gegenbeispiele siehe Gateaux-Derivat . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Algebraische Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Differentiale und andere infinitesimale Begriffe sehr explizit gehandhabt, indem akzeptiert wird, dass der Koordinatenring oder die Strukturgarbe eines Raums nilpotente Elemente enthalten kann . Das einfachste Beispiel ist der Ring der dualen Zahlen R [ ε ] mit ε ² = 0.

Dies kann durch die algebro-geometrische Sicht auf die Ableitung einer Funktion f von R nach R an einem Punkt p motiviert werden . Beachten Sie dazu zunächst, dass f  − f ( p ) zum idealen I _p von Funktionen auf R gehört , die bei p verschwinden . Verschwindet die Ableitung f bei p , so gehört f  − f ( p ) zum Quadrat I _p ² dieses Ideals. Daher kann die Ableitung von f an p durch die Äquivalenzklasse [ f  − f ( p )] im Quotientenraum I _p / I _p ² erfasst werden , und der 1-Jet von f (der seinen Wert und seine erste Ableitung kodiert) ist die Äquivalenzklasse von f im Raum aller Funktionen modulo I _p ² . Algebraische Geometer betrachten diese Äquivalenzklasse als Beschränkung von f auf eine verdickte Version des Punktes p, dessen Koordinatenring nicht R (der Quotientenraum der Funktionen auf R modulo I _p ) sondern R [ ε ] ist, der der Quotientenraum von Funktionen auf R modulo I _p ² . Ein solcher verdickter Punkt ist ein einfaches Beispiel für ein Schema .

Synthetische Differentialgeometrie

Ein dritter Ansatz für infinitesimale Zahlen ist die Methode der synthetischen Differentialgeometrie oder der glatten infinitesimalen Analyse . Dies hängt eng mit dem algebraisch-geometrischen Ansatz zusammen, außer dass die infinitesimalen Zahlen impliziter und intuitiver sind. Die Hauptidee dieses Ansatzes besteht darin, die Kategorie der Mengen durch eine andere Kategorie von sich glatt ändernden Mengen zu ersetzen, die ein Topos ist . In dieser Kategorie kann man reelle Zahlen, glatte Funktionen usw. definieren, aber die reellen Zahlen enthalten automatisch nilpotente infinitesimale Zahlen , sodass diese nicht wie beim algebraischen geometrischen Ansatz von Hand eingeführt werden müssen. Die Logik dieser neuen Kategorie ist jedoch nicht identisch mit der bekannten Logik der Kategorie der Mengen: insbesondere gilt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht. Das bedeutet, dass sich mengentheoretische mathematische Argumente nur dann auf eine glatte infinitesimale Analysis erstrecken, wenn sie konstruktiv sind (zB keinen Widerspruchsbeweis verwenden ). Dieser Nachteil wird von manchen positiv bewertet, da er dazu zwingt, konstruktive Argumente zu finden, wo immer sie zur Verfügung stehen.

Nichtstandardisierte Analyse

Der letzte Ansatz zu infinitesimalen Zahlen besteht wiederum darin, die reellen Zahlen zu erweitern, jedoch auf weniger drastische Weise. Im nichtstandardisierten Analyseansatz gibt es keine nilpotenten Infinitesimalen, sondern nur invertierbare, die als Kehrwerte unendlich großer Zahlen angesehen werden können. Solche Erweiterungen der reellen Zahlen können explizit unter Verwendung von Äquivalenzklassen von Folgen reeller Zahlen konstruiert werden , so dass beispielsweise die Folge (1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , ...) stellt ein Infinitesimal dar. Die Logik erster Ordnung dieser neuen Menge hyperrealer Zahlen ist dieselbe wie die Logik für die üblichen reellen Zahlen, aber das Vollständigkeitsaxiom (das Logik zweiter Ordnung beinhaltet ) gilt nicht. Dies reicht jedoch aus, um einen elementaren und recht intuitiven Zugang zur Infinitesimalrechnung zu entwickeln, siehe Übertragungsprinzip .

Siehe auch

• Differentialgleichung
• Differentialform
• Differential einer Funktion

Anmerkungen

Verweise

• Apostol, Tom M. (1967), Calculus (2. Aufl.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
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• Darling, RWR (1994), Differentielle Formen und Verbindungen , Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
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• Kock, Anders (2006), Synthetische Differentialgeometrie (PDF) (2. Aufl.), Cambridge University Press.
• Lawvere, FW (1968), Entwurf der synthetischen Differentialgeometrie (PDF) (veröffentlicht 1998).
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• Robinson, Abraham (1996), Nichtstandardisierte Analyse , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.