Differentialgleichung - Differential equation

Visualisierung des Wärmeübergangs in einem Pumpengehäuse, erstellt durch Lösen der Wärmegleichung . Wärme wird intern im Gehäuse erzeugt und an der Grenze gekühlt, wodurch eine stationäre Temperaturverteilung erreicht wird.

In der Mathematik ist eine Differentialgleichung eine Gleichung , die eine oder mehrere Funktionen und deren Ableitungen in Beziehung setzt . In Anwendungen stellen die Funktionen im Allgemeinen physikalische Größen dar, die Ableitungen ihre Änderungsraten und die Differentialgleichung definiert eine Beziehung zwischen den beiden. Solche Beziehungen sind üblich; Daher spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen eine herausragende Rolle, darunter Ingenieurwissenschaften , Physik , Wirtschaftswissenschaften und Biologie .

Das Studium von Differentialgleichungen besteht hauptsächlich aus dem Studium ihrer Lösungen (der Menge von Funktionen, die jede Gleichung erfüllen) und der Eigenschaften ihrer Lösungen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar; jedoch können viele Eigenschaften von Lösungen einer gegebenen Differentialgleichung bestimmt werden, ohne sie genau zu berechnen.

Wenn kein geschlossener Ausdruck für die Lösungen verfügbar ist, können Lösungen häufig mit Computern numerisch approximiert werden. Die Theorie dynamischer Systeme legt den Schwerpunkt auf die qualitative Analyse von Systemen, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, während viele numerische Methoden entwickelt wurden, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen.

Geschichte

Differentialgleichungen entstanden erstmals mit der Erfindung der Analysis durch Newton und Leibniz . In Kapitel 2 seiner 1671 erschienenen Arbeit Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum listete Isaac Newton drei Arten von Differentialgleichungen auf:

In all diesen Fällen ist y eine unbekannte Funktion von x (oder von x 1 und x 2 ) und f ist eine gegebene Funktion.

Er löst diese und andere Beispiele mit unendlichen Reihen und diskutiert die Nichteindeutigkeit von Lösungen.

Jacob Bernoulli schlug 1695 die Bernoulli-Differentialgleichung vor. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

für die Leibniz im folgenden Jahr durch Vereinfachung Lösungen erhielt.

Historisch gesehen wurde das Problem einer vibrierenden Saite wie das eines Musikinstruments von Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli und Joseph-Louis Lagrange untersucht . 1746 entdeckte d'Alembert die eindimensionale Wellengleichung und innerhalb von zehn Jahren entdeckte Euler die dreidimensionale Wellengleichung.

Die Euler-Lagrange-Gleichung wurde in den 1750er Jahren von Euler und Lagrange im Zusammenhang mit ihren Studien zum Tautochronenproblem entwickelt . Dies ist das Problem, eine Kurve zu bestimmen, auf der ein gewichteter Partikel in einer festgelegten Zeit unabhängig vom Startpunkt auf einen festen Punkt fällt. Lagrange löste dieses Problem 1755 und schickte die Lösung an Euler. Beide entwickelten Lagranges Methode weiter und wendeten sie auf die Mechanik an , was zur Formulierung der Lagrangeschen Mechanik führte .

Im Jahr 1822 veröffentlichte Fourier seine Arbeit über den Wärmefluss in Théorie analytique de la chaleur (Die analytische Wärmetheorie), in der er seine Argumentation auf dem Newtonschen Gesetz der Kühlung begründete , nämlich dass der Wärmefluss zwischen zwei benachbarten Molekülen proportional ist zu den extrem kleinen Temperaturunterschied. In diesem Buch enthalten war Fouriers Vorschlag seiner Wärmegleichung für die konduktive Diffusion von Wärme. Diese partielle Differentialgleichung wird heute jedem Studenten der mathematischen Physik beigebracht.

Beispiel

In der klassischen Mechanik wird die Bewegung eines Körpers durch seine Position und Geschwindigkeit beschrieben, wenn sich der Zeitwert ändert. Die Newtonschen Gesetze erlauben es, diese Variablen dynamisch (in Anbetracht der Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und verschiedener auf den Körper einwirkender Kräfte) als Differentialgleichung für die unbekannte Position des Körpers als Funktion der Zeit auszudrücken.

In einigen Fällen kann diese Differentialgleichung (sogenannte Bewegungsgleichung ) explizit gelöst werden.

Ein Beispiel für die Modellierung eines realen Problems unter Verwendung von Differentialgleichungen ist die Bestimmung der Geschwindigkeit eines durch die Luft fallenden Balls, wobei nur die Schwerkraft und der Luftwiderstand berücksichtigt werden. Die Beschleunigung des Balls in Richtung Boden ist die Erdbeschleunigung minus der Verzögerung durch den Luftwiderstand. Die Schwerkraft wird als konstant betrachtet und der Luftwiderstand kann als proportional zur Geschwindigkeit des Balls modelliert werden. Dies bedeutet, dass die Beschleunigung des Balls, die eine Ableitung seiner Geschwindigkeit ist, von der Geschwindigkeit abhängt (und die Geschwindigkeit von der Zeit). Um die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu bestimmen, muss eine Differentialgleichung gelöst und ihre Gültigkeit überprüft werden.

Typen

Differentialgleichungen können in verschiedene Typen unterteilt werden. Abgesehen von der Beschreibung der Eigenschaften der Gleichung selbst können diese Klassen von Differentialgleichungen bei der Wahl des Lösungsansatzes helfen. Häufig verwendete Unterscheidungen umfassen, ob die Gleichung gewöhnlich oder partiell, linear oder nichtlinear und homogen oder heterogen ist. Diese Liste ist bei weitem nicht vollständig; Es gibt viele andere Eigenschaften und Unterklassen von Differentialgleichungen, die in bestimmten Kontexten sehr nützlich sein können.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ( ODE ) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer reellen oder komplexen Variablen x , ihre Ableitungen und einige gegebene Funktionen von x enthält . Die unbekannte Funktion wird durch eine allgemein dargestellte Variable (oft bezeichnet y ), die daher hängt auf x . Daher wird x oft als unabhängige Variable der Gleichung bezeichnet. Der Begriff „ gewöhnlich “ wird im Gegensatz zum Begriff partielle Differentialgleichung verwendet , der sich auf mehr als eine unabhängige Variable beziehen kann.

Lineare Differentialgleichungen sind die Differentialgleichungen, die in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen linear sind . Ihre Theorie ist gut entwickelt, und in vielen Fällen kann man ihre Lösungen in Form von Integralen ausdrücken .

Die meisten in der Physik vorkommenden ODEs sind linear. Daher können die meisten speziellen Funktionen als Lösungen linearer Differentialgleichungen definiert werden (siehe Holonomische Funktion ).

Wie im allgemeinen können die Lösungen einer Differentialgleichung nicht durch einen ausgedrückt werden geschlossene Form Ausdruck , numerische Verfahren sind für die Lösung von Differentialgleichungen auf einem Computer verwendet.

Partielle Differentialgleichungen

Eine partielle Differentialgleichung ( PDE ) ist eine Differentialgleichung, die unbekannte multivariable Funktionen und ihre partiellen Ableitungen enthält . (Dies steht im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen , die sich mit Funktionen einer einzelnen Variablen und ihren Ableitungen befassen.) PDEs werden verwendet, um Probleme mit Funktionen mehrerer Variablen zu formulieren, und werden entweder in geschlossener Form gelöst oder verwendet, um einen entsprechenden Computer zu erstellen Modell .

PDEs können verwendet werden, um eine Vielzahl von Phänomenen in der Natur wie Schall , Wärme , Elektrostatik , Elektrodynamik , Flüssigkeitsströmung , Elastizität oder Quantenmechanik zu beschreiben . Diese scheinbar unterschiedlichen physikalischen Phänomene können in ähnlicher Weise in Form von PDEs formalisiert werden. So wie gewöhnliche Differentialgleichungen oft eindimensionale dynamische Systeme modellieren, modellieren partielle Differentialgleichungen oft mehrdimensionale Systeme . Stochastische partielle Differentialgleichungen verallgemeinern partielle Differentialgleichungen zur Modellierung von Zufälligkeit .

Nichtlineare Differentialgleichungen

Eine nichtlineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die keine lineare Gleichung in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen ist (die Linearität oder Nichtlinearität in den Argumenten der Funktion wird hier nicht berücksichtigt). Es gibt nur sehr wenige Methoden, um nichtlineare Differentialgleichungen exakt zu lösen; diejenigen , die bekannt sind , hängen typischerweise davon ab , dass die Gleichung bestimmte Symmetrien aufweist . Nichtlineare Differentialgleichungen können über ausgedehnte Zeitintervalle ein sehr kompliziertes Verhalten zeigen, das für Chaos charakteristisch ist . Auch die fundamentalen Fragen der Existenz, Eindeutigkeit und Erweiterbarkeit von Lösungen für nichtlineare Differentialgleichungen sowie die Angemessenheit von Anfangs- und Randwertproblemen für nichtlineare PDEs sind schwierige Probleme und ihre Lösung in speziellen Fällen gilt als bedeutender Fortschritt in der mathematischen Theorie (vgl. Navier-Stokes Existenz und Glätte ). Ist die Differentialgleichung jedoch eine richtig formulierte Darstellung eines sinnvollen physikalischen Prozesses, so erwartet man von ihr eine Lösung.

Lineare Differentialgleichungen erscheinen häufig als Annäherungen an nichtlineare Gleichungen. Diese Näherungen sind nur unter eingeschränkten Bedingungen gültig. Beispielsweise ist die harmonische Oszillatorgleichung eine Annäherung an die nichtlineare Pendelgleichung, die für Schwingungen kleiner Amplitude gültig ist (siehe unten).

Gleichungsreihenfolge

Differentialgleichungen werden durch ihre Ordnung beschrieben, die durch den Term mit den höchsten Ableitungen bestimmt wird . Eine Gleichung, die nur erste Ableitungen enthält, ist eine Differentialgleichung erster Ordnung , eine Gleichung, die die zweite Ableitung enthält, ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und so weiter. Differentialgleichungen, die Naturphänomene beschreiben, enthalten fast immer nur Ableitungen erster und zweiter Ordnung, aber es gibt einige Ausnahmen, wie die Dünnschichtgleichung , die eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung ist.

Beispiele

In der ersten Gruppe von Beispielen ist u eine unbekannte Funktion von x , und c und ω sind Konstanten, die bekannt sein sollen. Zwei grobe Klassifikationen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen bestehen darin, zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen sowie zwischen homogenen und heterogenen Differentialgleichungen zu unterscheiden.

  • Heterogene lineare konstante Koeffizienten erster Ordnung gewöhnliche Differentialgleichung:
  • Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:
  • Heterogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:
  • Nichtlineare (aufgrund der Sinusfunktion) gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Bewegung eines Pendels der Länge L beschreibt :

In der nächsten Gruppe von Beispielen hängt die unbekannte Funktion u von zwei Variablen x und t oder x und y ab .

  • Homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:
  • Homogene partielle Differentialgleichung mit linearem konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung vom elliptischen Typ, die Laplace-Gleichung :
  • Homogene nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung:

Existenz von Lösungen

Das Lösen von Differentialgleichungen ist nicht mit dem Lösen algebraischer Gleichungen vergleichbar . Nicht nur deren Lösungen sind oft unklar, sondern auch, ob Lösungen einzigartig sind oder überhaupt existieren, sind von besonderem Interesse.

Für Anfangswertprobleme erster Ordnung gibt der Existenzsatz von Peano eine Menge von Umständen an, unter denen eine Lösung existiert. Definieren Sie für einen beliebigen Punkt in der xy-Ebene einen rechteckigen Bereich , so dass und im Inneren von liegt . Wenn wir eine Differentialgleichung und die Bedingung wann gegeben haben , dann gibt es lokal eine Lösung für dieses Problem, wenn und beide stetig auf sind . Diese Lösung existiert in einem Intervall mit ihrem Mittelpunkt bei . Die Lösung ist möglicherweise nicht eindeutig. (Siehe Gewöhnliche Differentialgleichung für andere Ergebnisse.)

Dies hilft uns jedoch nur bei Anfangswertproblemen erster Ordnung . Angenommen, wir hätten ein lineares Anfangswertproblem n-ter Ordnung:

so dass

Für alle von Null verschiedenen , wenn und in einem Intervall, das enthält , stetig sind , ist es eindeutig und existiert.

Verwandte konzepte

Verbindung zu Differenzengleichungen

Die Theorie der Differentialgleichungen ist eng mit der Theorie der Differenzengleichungen verwandt , in der die Koordinaten nur diskrete Werte annehmen und die Beziehung Werte der unbekannten Funktion oder Funktionen und Werte an nahegelegenen Koordinaten beinhaltet. Viele Methoden zur Berechnung numerischer Lösungen von Differentialgleichungen oder zur Untersuchung der Eigenschaften von Differentialgleichungen beinhalten die Approximation der Lösung einer Differentialgleichung durch die Lösung einer entsprechenden Differenzengleichung.

Anwendungen

Das Studium von Differentialgleichungen ist ein weites Feld in der reinen und angewandten Mathematik , Physik und Ingenieurwissenschaften . Alle diese Disziplinen befassen sich mit den Eigenschaften von Differentialgleichungen unterschiedlicher Art. Die reine Mathematik konzentriert sich auf die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, während die angewandte Mathematik die strenge Rechtfertigung der Methoden zur Approximation von Lösungen betont. Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung praktisch jedes physikalischen, technischen oder biologischen Prozesses, von der Himmelsbewegung über das Brückendesign bis hin zu Interaktionen zwischen Neuronen. Differentialgleichungen, wie sie zur Lösung realer Probleme verwendet werden, müssen nicht unbedingt direkt lösbar sein, dh haben keine Lösungen in geschlossener Form . Stattdessen können Lösungen mit numerischen Methoden approximiert werden .

Viele Grundgesetze der Physik und Chemie lassen sich als Differentialgleichungen formulieren. In Biologie und Ökonomie werden Differentialgleichungen verwendet, um das Verhalten komplexer Systeme zu modellieren . Die mathematische Theorie der Differentialgleichungen entwickelte sich zunächst gemeinsam mit den Wissenschaften, wo die Gleichungen entstanden waren und wo die Ergebnisse Anwendung fanden. Unterschiedliche Probleme, die manchmal aus ganz unterschiedlichen wissenschaftlichen Gebieten stammen, können jedoch zu identischen Differentialgleichungen führen. Wann immer dies geschieht, kann die mathematische Theorie hinter den Gleichungen als ein verbindendes Prinzip hinter verschiedenen Phänomenen angesehen werden. Betrachten Sie als Beispiel die Ausbreitung von Licht und Schall in der Atmosphäre sowie von Wellen auf der Oberfläche eines Teiches. Sie alle können durch dieselbe partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden , die Wellengleichung , die es uns ermöglicht, uns Licht und Schall als Wellenformen vorzustellen, ähnlich wie bekannte Wellen im Wasser. Die Wärmeleitung, deren Theorie von Joseph Fourier entwickelt wurde , wird von einer anderen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, der Wärmegleichung, bestimmt . Es stellt sich heraus, dass viele Diffusionsprozesse , obwohl sie scheinbar unterschiedlich sind, durch dieselbe Gleichung beschrieben werden; die Black-Scholes- Gleichung im Finanzwesen ist beispielsweise mit der Wärmegleichung verwandt.

Die Zahl der Differentialgleichungen, die in verschiedenen Wissenschaftsbereichen einen Namen erhalten haben, zeugt von der Bedeutung des Themas. Siehe Liste der benannten Differentialgleichungen .

Software

Einige CAS- Software kann Differentialgleichungen lösen. Erwähnenswert sind diese CAS- Software und deren Befehle:

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links