Differentielle Topologie - Differential topology

In Mathematik , Differentialtopologie ist das Feld Umgang mit den topologischen Eigenschaften und glatte Eigenschaften von glatten Mannigfaltigkeiten . In diesem Sinne unterscheidet sich die Differentialtopologie vom eng verwandten Gebiet der Differentialgeometrie , das sich mit den geometrischen Eigenschaften glatter Mannigfaltigkeiten beschäftigt, einschließlich der Begriffe Größe, Abstand und starre Form. Im Vergleich dazu befasst sich die Differentialtopologie mit gröberen Eigenschaften, wie der Anzahl der Löcher in einer Mannigfaltigkeit, ihrem Homotopietyp oder der Topologie ihrer Diffeomorphismusgruppe . Da viele dieser gröberen Eigenschaften algebraisch erfasst werden können, weist die differentielle Topologie eine starke Verbindung zur algebraischen Topologie auf .

Die Morsetheorie der Höhenfunktion auf einem Torus kann seinen Homotopietyp beschreiben .

Das zentrale Ziel der Differentialtopologie ist die Klassifikation aller glatten Mannigfaltigkeiten bis hin zum Diffeomorphismus . Da die Dimension eine Invariante glatter Mannigfaltigkeiten bis hin zum Diffeomorphismus-Typ ist, wird diese Klassifikation oft untersucht, indem die ( verbundenen ) Mannigfaltigkeiten in jeder Dimension separat klassifiziert werden:

• In Dimension 1 sind die einzigen glatten Mannigfaltigkeiten bis zum Diffeomorphismus der Kreis , die reelle Zahlengerade , und eine Begrenzung erlaubend , das halbgeschlossene Intervall und das vollständig geschlossene Intervall .${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [0,1]}$
• In Dimension 2 wird jede geschlossene Fläche bis zum Diffeomorphismus klassifiziert durch ihre Gattung , die Anzahl der Löcher (oder äquivalent ihre Euler-Charakteristik ) und ob sie orientierbar ist oder nicht . Dies ist die berühmte Klassifikation geschlossener Flächen . Bereits in der zweiten Dimension wird die Klassifizierung von nicht kompakten Flächen aufgrund der Existenz exotischer Räume wie der Jakobsleiter schwierig .
• In Dimension 3, William Thurston ‚s Geometrisierung Vermutung , bewiesen durch Grigori Perelman gibt, eine Teil Klassifizierung von kompakten Drei Verteiler. In diesem Satz enthalten ist die Poincaré-Vermutung , die besagt, dass jede geschlossene, einfach zusammenhängende Dreiermannigfaltigkeit homöomorph (und tatsächlich diffeomorph) zur 3-Sphäre ist .

Ein Kobordismus ( W ; M , N ), der den Begriff eines Diffeomorphismus verallgemeinert.

Ab Dimension 4 wird die Einordnung aus zwei Gründen deutlich schwieriger. Erstens erscheint jede endlich präsentierte Gruppe als Fundamentalgruppe einer 4-Mannigfaltigkeit , und da die Fundamentalgruppe eine Diffeomorphismus-Invariante ist, macht dies die Klassifizierung von 4-Mannigfaltigkeiten mindestens so schwierig wie die Klassifizierung von endlich präsentierten Gruppen. Durch das Wortproblem für Gruppen , das dem Halteproblem äquivalent ist , ist es unmöglich, solche Gruppen zu klassifizieren, so dass eine vollständige topologische Klassifikation unmöglich ist. Zweitens ist es ab der vierten Dimension möglich, glatte Mannigfaltigkeiten zu haben, die homöomorph sind, jedoch mit unterschiedlichen, nicht-diffeomorphen glatten Strukturen . Dies gilt sogar für den euklidischen Raum , der viele exotische Strukturen zulässt . Dies bedeutet, dass das Studium der differentiellen Topologie in Dimensionen 4 und höher Werkzeuge verwenden muss, die wirklich außerhalb des Bereichs der regulären kontinuierlichen Topologie topologischer Mannigfaltigkeiten liegen . Eines der zentralen offenen Probleme in der Differentialtopologie ist die vierdimensionale glatte Poincaré-Vermutung , die fragt, ob jede glatte 4-Mannigfaltigkeit, die zur 4-Sphäre homöomorph ist, auch zu dieser diffeomorph ist. Das heißt, lässt die 4-Sphäre mehr als eine glatte Struktur zu ? Diese Vermutung ist in den Dimensionen 1, 2 und 3 aufgrund der obigen Klassifikationsergebnisse wahr, ist jedoch in Dimension 7 aufgrund der Milnor-Sphären als falsch bekannt . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{4}}$

Wichtige Werkzeuge beim Studium der differentiellen Topologie glatter Mannigfaltigkeiten sind die Konstruktion glatter topologischer Invarianten solcher Mannigfaltigkeiten, wie die de Rham-Kohomologie oder die Schnittform , sowie glättbare topologische Konstruktionen, wie die glatte Chirurgietheorie oder die Konstruktion von Kobordismen . Morse Theorie ist ein wichtiges Werkzeug , das Studien Verteilern glätten , indem sie die Berücksichtigung kritischen Punkte von differenzierbaren Funktionen auf dem Verteiler, die zeigen , wie die glatte Struktur des Verteilers in den Satz von Werkzeugen zur Verfügung gelangt. Oftmals können mehr geometrische oder analytische Techniken verwendet werden, indem man eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik ausstattet oder eine Differentialgleichung darauf studiert. Es muss darauf geachtet werden, dass die resultierenden Informationen gegenüber dieser Wahl einer zusätzlichen Struktur unempfindlich sind und daher nur die topologischen Eigenschaften der zugrunde liegenden glatten Mannigfaltigkeit wirklich widerspiegeln. Zum Beispiel liefert der Satz von Hodge eine geometrische und analytische Interpretation der de Rham-Kohomologie, und die Eichtheorie wurde von Simon Donaldson verwendet , um Fakten über die Schnittform einfach zusammenhängender 4-Mannigfaltigkeiten zu beweisen. In einigen Fällen können Techniken aus der zeitgenössischen Physik auftauchen, wie die topologische Quantenfeldtheorie , die verwendet werden kann, um topologische Invarianten glatter Räume zu berechnen.

Berühmte Theoreme in der Differentialtopologie sind das Whitney-Einbettungstheorem , das Hairy-Ball-Theorem , das Hopf-Theorem , das Poincaré-Hopf-Theorem , das Donaldson-Theorem und die Poincaré-Vermutung .

Beschreibung

Die Differentialtopologie berücksichtigt die Eigenschaften und Strukturen, die nur eine glatte Struktur auf einer Mannigfaltigkeit erfordern , um definiert zu werden. Glatte Mannigfaltigkeiten sind "weicher" als Mannigfaltigkeiten mit zusätzlichen geometrischen Strukturen, die als Hindernisse für bestimmte Arten von Äquivalenzen und Verformungen wirken können , die in der Differentialtopologie existieren. Zum Beispiel, Volumen und Riemannsche Krümmung sind Invarianten , die unterschiedliche geometrische Strukturen auf dem gleichen glatten Mannigfaltigkeit, das heißt unterscheiden kann, kann man glatt „abzuflachen“ gewisse Verteiler, aber es könnte den Raum und die Auswirkungen auf die Krümmung oder Volumen erfordern verzerren.

Andererseits sind glatte Mannigfaltigkeiten steifer als die topologischen Mannigfaltigkeiten . John Milnor entdeckte, dass einige Kugeln mehr als eine glatte Struktur haben – siehe Exotische Kugel und Satz von Donaldson . Michel Kervaire zeigte topologische Mannigfaltigkeiten ohne jegliche glatte Struktur. Einige Konstruktionen der glatten Mannigfaltigkeitstheorie, wie die Existenz von Tangentenbündeln , können in der topologischen Umgebung mit viel mehr Aufwand durchgeführt werden, andere nicht.

Eines der Hauptthemen in der Differentialtopologie ist das Studium spezieller Arten von glatten Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, nämlich Immersionen und Untertauchen , und den Schnittpunkten von Untermannigfaltigkeiten über Transversalität . Allgemeiner interessiert man sich für Eigenschaften und Invarianten glatter Mannigfaltigkeiten, die von Diffeomorphismen übertragen werden , einer anderen speziellen Art der glatten Abbildung. Die Morsetheorie ist ein weiterer Zweig der Differentialtopologie, bei der topologische Informationen über eine Mannigfaltigkeit aus Änderungen im Rang der Jacobifunktion einer Funktion abgeleitet werden.

Eine Liste der Themen zur Differentialtopologie finden Sie in der folgenden Referenz: Liste der Themen zur Differentialgeometrie .

Differentialtopologie versus Differentialgeometrie

Differentielle Topologie und Differentialgeometrie werden zunächst durch ihre Ähnlichkeit charakterisiert . Beide untersuchen in erster Linie die Eigenschaften differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, manchmal mit einer Vielzahl von Strukturen, die ihnen auferlegt werden.

Animation einer Kaffeetasse, die sich in eine Donutform verwandelt

Ein wesentlicher Unterschied liegt in der Art der Probleme, die jedes Thema anzugehen versucht. Einerseits unterscheidet sich die Differentialtopologie von der Differentialgeometrie dadurch, dass sie hauptsächlich solche Probleme untersucht, die von Natur aus global sind . Betrachten Sie das Beispiel einer Kaffeetasse und eines Donuts. Aus der Sicht der Differentialtopologie, die Donut und die Kaffeetasse sind die gleiche (in gewissem Sinne). Dies ist jedoch eine inhärent globale Sichtweise, da es für den Differentialtopologen keine Möglichkeit gibt, zu sagen, ob die beiden Objekte (in diesem Sinne) gleich sind, indem er nur ein winziges ( lokales ) Stück von einem von ihnen betrachtet. Sie müssen Zugriff auf jedes gesamte ( globale ) Objekt haben.

Aus der Sicht der Differentialgeometrie, die Kaffeetasse und die Krapfen sind verschieden , weil es unmöglich ist , die Kaffeetasse in einer solchen Art und Weise , dass seine Konfiguration entspricht der des Donut zu drehen. Dies ist auch eine globale Denkweise über das Problem. Ein wichtiger Unterschied besteht jedoch darin, dass der Geometer nicht das gesamte Objekt benötigt, um dies zu entscheiden. Wenn sie sich zum Beispiel nur ein winziges Stück des Griffs ansehen, können sie feststellen, dass sich die Kaffeetasse vom Donut unterscheidet, weil der Griff dünner (oder stärker gebogen) ist als jedes andere Stück des Donuts.

Kurz gesagt untersucht die differentielle Topologie Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, die gewissermaßen keine interessante lokale Struktur haben. Die Differentialgeometrie untersucht Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, die eine interessante lokale (oder manchmal sogar infinitesimale) Struktur haben.

Mathematisch gesehen ist beispielsweise das Problem der Konstruktion eines Diffeomorphismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten derselben Dimension inhärent global, da lokal zwei solcher Mannigfaltigkeiten immer diffeomorph sind. Ebenso ist das Problem der Berechnung einer Größe auf einer Mannigfaltigkeit, die unter differenzierbaren Abbildungen invariant ist, von Natur aus global, da jede lokale Invariante in dem Sinne trivial ist, dass sie bereits in der Topologie von gezeigt wird . Darüber hinaus beschränkt sich die differentielle Topologie nicht unbedingt auf das Studium des Diffeomorphismus. Beispielsweise untersucht die symplektische Topologie – ein Unterzweig der Differentialtopologie – globale Eigenschaften symplektischer Mannigfaltigkeiten . Die Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Problemen – die lokal oder global sein können –, die immer einige nicht-triviale lokale Eigenschaften haben. Somit kann die Differentialgeometrie differenzierbare Mannigfaltigkeiten untersuchen, die mit einer Verbindung , einer Metrik (die Riemannsche , Pseudo-Riemannsche oder Finsler sein kann ), einer speziellen Art von Verteilung (wie einer CR-Struktur ) usw. ausgestattet sind. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Diese Unterscheidung zwischen Differentialgeometrie und Differentialtopologie wird jedoch in Fragen verwischt, die sich speziell auf lokale Diffeomorphismus-Invarianten wie den Tangentialraum an einem Punkt beziehen . Die Differentialtopologie beschäftigt sich auch mit Fragen wie diesen, die sich speziell auf die Eigenschaften von differenzierbaren Abbildungen beziehen (zum Beispiel das Tangensbündel , Jet-Bündel , das Whitney-Erweiterungstheorem usw.). ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Die Unterscheidung ist in abstrakten Worten prägnant:

• Differentielle Topologie ist das Studium der (unendlichen, lokalen und globalen) Eigenschaften von Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, die nur triviale lokale Moduli haben .
• Differentialgeometrie ist eine solche Untersuchung von Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, die einen oder mehrere nicht-triviale lokale Moduli haben.

Siehe auch

• Liste der Themen zur Differentialgeometrie
• Glossar der Differentialgeometrie und Topologie
• Wichtige Veröffentlichungen zur Differentialgeometrie
• Wichtige Veröffentlichungen zur Differentialtopologie
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raumzeit

Anmerkungen

Verweise

• Bloch, Ethan D. (1996). Ein erster Kurs in geometrischer Topologie und Differentialgeometrie . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3840-5.
• Hirsch, Morris (1997). Differentielle Topologie . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
• Lashof, Richard (Dezember 1972). „Das Tangentenbündel einer topologischen Mannigfaltigkeit“. Amerikanische mathematische Monatszeitschrift . 79 (10): 1090–1096. doi : 10.2307/2317423 . JSTOR  2317423 .
• Kervaire, Michel A. (Dezember 1960). „Eine Mannigfaltigkeit, die keine differenzierbare Struktur zulässt“. Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. doi : 10.1007/BF02565940 .

Externe Links

• "Differentialtopologie" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]