Dirac Membran - Dirac membrane

Ein Modell einer geladenen Membran, das 1962 von Paul Dirac eingeführt wurde. Diracs ursprüngliche Motivation bestand darin, die Masse des Myons als Anregung des Grundzustands zu erklären, der einem Elektron entspricht . Als er die Geburt der Stringtheorie um fast ein Jahrzehnt vorwegnahm, war er der erste, der eine Art Nambu-Goto-Aktion für Membranen einführte .

Im Dirac-Membranmodell werden die abstoßenden elektromagnetischen Kräfte auf die Membran durch die kontrahierenden Kräfte ausgeglichen, die von der positiven Spannung herrühren. Im Fall der sphärischen Membran implizieren klassische Bewegungsgleichungen, dass das Gleichgewicht für den Radius erfüllt ist , wobei der klassische Elektronenradius ist . Verwendung Bohr-Sommerfeld - Bedingung für die Quantisierung Hamilton - Operator des kugelsymmetrischen Membran findet Dirac zur Angleichung der Masse zu den ersten Anregungs entspricht , wie , wo die Masse des Elektrons ist, die etwa ein Viertel der beobachteten Myon Masse. ${\ displaystyle 0.75r_ {e}}$ ${\ displaystyle r_ {e}}$ ${\ displaystyle 53m_ {e}}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$

Handlungsprinzip

Dirac entschied sich für einen nicht standardmäßigen Weg, um das Wirkprinzip für die Membran zu formulieren. Da geschlossene Membranen eine natürliche Aufteilung des Raumes in das Innere und das Äußere bieten, gibt es ein spezielles krummliniges Koordinatensystem in der Raumzeit und eine solche Funktion ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle f (x)}$

- definiert eine Membran ${\ displaystyle f (x) = 0}$

- , einen Bereich außerhalb oder innerhalb der Membran beschreiben ${\ displaystyle f (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x) <0}$

Die Wahl und die folgende Lehre , , wo , ( ) ist die interne Parametrisierung der Membran Welt Volumen, die Membranwirkung von Dirac vorgeschlagen ist ${\ displaystyle x ^ {1} = f (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {0} = x ^ {0} =: \ tau}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {1} = x ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = x ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 0,1,2}$

{\ displaystyle S = S_ {EM} + S_ {membran}}

{\ displaystyle S_ {EM} = - {\ frac {1} {16 \ pi}} \ int _ {x ^ {1}> 0} Jg ^ {\ mu \ rho} g ^ {\ nu \ sigma} F_ {\ mu \ nu} F _ {\ rho \ sigma} d ^ {4} x, \ \ \ \ S_ {mem.} = - {\ frac {\ omega} {4 \ pi}} \ int _ {x ^ {1} = 0} Mdx ^ {0} dx ^ {2} dx ^ {3}}

wobei die induzierte Metrik und die Faktoren J und M gegeben sind durch

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ partiell _ {\ mu} y ^ {\ Lambda} \ partiell _ {\ nu} y _ {\ Lambda}, \ \ \ \ Lambda = 0,1,2,3 }}

{\ displaystyle J = {\ sqrt {- \ det g _ {\ mu \ nu}}. \ \ \ M = J {\ sqrt {-g ^ {11}}}}

Oben sind geradlinig und orthogonal. Die verwendete Raum-Zeit-Signatur ist (+, -, -, -). Es ist zu beachten, dass dies nur eine übliche Aktion für das elektromagnetische Feld in einem krummlinigen System ist, während es das Integral über dem Membranweltvolumen ist, dh genau die Art der Aktion, die später in der Stringtheorie verwendet wird. ${\ displaystyle y ^ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle S_ {EM}}$ ${\ displaystyle S_ {membran}}$

Bewegungsgleichungen

Es gibt 3 Bewegungsgleichungen, die sich aus der Variation in Bezug auf und ergeben . Sie sind: - Variation wrt für - dies führt zu quellenlosen Maxwell-Gleichungen - Variation wrt für - dies ergibt eine Konsequenz von Maxwell-Gleichungen - Variation wrt für ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle y ^ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$ ${\ displaystyle y ^ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$ ${\ displaystyle y ^ {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} F _ {\ alpha 1} F ^ {\ alpha 1} = \ omega J ^ {- 1} (Mg ^ {1 \ mu} / g ^ {11}) _ {, \ mu}}

Die letzte Gleichung hat eine geometrische Interpretation: Die rhs ist proportional zur Krümmung der Membran. Für den sphärisch symmetrischen Fall erhalten wir

{\ displaystyle {\ frac {e ^ {2}} {2 \ rho ^ {4}}} = \ omega {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ dot {\ rho}} {\ sqrt {1 - {\ dot {\ rho}} ^ {2}}} + {\ frac {2 \ omega} {\ rho {\ sqrt {1 - {\ dot {\ rho}} ^ {2}}} }}}

Daher impliziert die Gleichgewichtsbedingung , wo sich der Radius der ausgeglichenen Membran befindet. Die Gesamtenergie für die Kugelmembran mit Radius beträgt ${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = 0}$ ${\ displaystyle a ^ {3} = e ^ {2} / 4 \ omega}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle E (\ rho) = e ^ {2} / 2 \ rho + \ beta \ rho ^ {2}}

und es ist im Gleichgewicht für daher minimal . Andererseits sollte die Gesamtenergie im Gleichgewicht (in Einheiten) sein und so erhalten wir . ${\ displaystyle \ beta = \ omega}$ ${\ displaystyle E (a) = 3e ^ {2} / 4a}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ ${\ displaystyle c = 1}$ ${\ displaystyle a = 0.75r_ {e}}$

Hamiltonsche Formulierung

Kleine Schwingungen um das Gleichgewicht im sphärisch symmetrischen Fall implizieren Frequenzen - . In der Quantentheorie wäre daher die Energie eines Quantums . Dies ist viel mehr als die Myonenmasse, aber die Frequenzen sind keineswegs klein, so dass diese Annäherung möglicherweise nicht richtig funktioniert. Um eine bessere Quantentheorie zu erhalten, muss man den Hamilton-Operator des Systems berechnen und die entsprechende Schrödinger-Gleichung lösen. ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} / a}$ ${\ displaystyle h \ nu = {\ sqrt {6}} \ hbar / a = 448m_ {e}}$

Für die Hamiltonsche Formulierung führt Dirac verallgemeinerte Impulse ein

- für : und - Impulse Konjugat zu und jeweils ( Koordinaten Wahl ) ${\ displaystyle x ^ {1}> 0}$ ${\ displaystyle B ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle w_ {R}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle y ^ {R}}$ ${\ displaystyle R = 1,2,3}$ ${\ displaystyle x ^ {0} = y ^ {0}}$

- für : - Momenta konjugieren mit ${\ displaystyle x ^ {1} = 0}$ ${\ displaystyle W_ {R}}$ ${\ displaystyle y ^ {R}}$

Dann bemerkt man die folgenden Einschränkungen

- für das Maxwell-Feld

{\ displaystyle B ^ {0} = 0, \ \ \ {B ^ {r}} _ {, r} = 0, \ \ \ w_ {R} {y ^ {R}} _ {, s} -B ^ {r} F_ {rs} = 0}

- für Membranimpulse

{\ displaystyle W_ {R} {y ^ {R}} _ {, 2} = W_ {R} {y ^ {R}} _ {, 3} = 0, \ \ \ 16 \ pi ^ {2} W_ {R} W_ {R} = \ omega ^ {2} M ^ {2} c ^ {00} (c ^ {00} -1)}

wo - wechselseitig von , . ${\ displaystyle c ^ {ab}}$ ${\ displaystyle g_ {ab}}$ ${\ displaystyle a, b = 0,2,3}$

Diese Einschränkungen müssen bei der Berechnung des Hamilton-Operators unter Verwendung der Dirac-Klammermethode berücksichtigt werden. Das Ergebnis dieser Berechnung ist der Hamilton-Operator der Form

{\ displaystyle H = H_ {EM} + H_ {s}}

{\ displaystyle H_ {s} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int {\ sqrt {16 \ pi ^ {2} W_ {R} W_ {R} + \ omega ^ {2} (g_ {22} g_ {33} -g_ {23} ^ {2})}} dx ^ {2} dx ^ {3}}

Wo ist der Hamilton-Operator für das im krummlinigen System geschriebene elektromagnetische Feld? ${\ displaystyle H_ {EM}}$

Quantisierung

Für sphärisch symmetrische Bewegungen ist der Hamilton-Operator

{\ displaystyle H = {\ sqrt {\ eta ^ {2} + \ omega ^ {2} \ rho ^ {4}}} + e ^ {2} / 2 \ rho, \ \ \ \ {\ rho, \ eta \} = 1}

Die direkte Quantisierung ist jedoch aufgrund der Quadratwurzel des Differentialoperators nicht klar. Um weiter zu kommen, betrachtet Dirac die Bohr-Sommerfeld-Methode: