Teiler - Divisor

Die Teiler von 10 mit Cuisenaire-Stäben dargestellt : 1, 2, 5 und 10

In der Mathematik ist ein Teiler einer ganzen Zahl , auch Faktor von genannt , eine ganze Zahl , die mit einer ganzen Zahl multipliziert werden kann, um sie zu erhalten . In diesem Fall sagt man auch , dass a multiple von Einer ganzen Zahl ist , teilbar oder teilbar durch eine andere ganze Zahl ist, wenn ein Teiler von ; dies bedeutet, dass die Division durch keinen Rest übrig bleibt.

Definition

Eine ganze Zahl ist durch eine ganze Zahl ungleich null teilbar, wenn es eine ganze Zahl gibt, so dass . Dies ist geschrieben als

Andere Wege , dasselbe zu sagen, dass dividieren , ist ein Teiler von , ist ein Faktor , und ein Vielfaches von . Wenn m n nicht teilt , lautet die Schreibweise .

Normalerweise muss m ungleich null sein, aber n darf null sein. Mit dieser Konvention gilt für jede ganze Zahl m ungleich null . Einige Definitionen lassen die Anforderung weg , die ungleich null sein muss.

Allgemein

Teiler können sowohl negativ als auch positiv sein, obwohl der Begriff manchmal auf positive Teiler beschränkt ist. Zum Beispiel gibt es sechs Teiler von 4; sie sind 1, 2, 4, −1, −2 und −4, aber normalerweise werden nur die positiven (1, 2 und 4) erwähnt.

1 und −1 teilen (sind Teiler von) jede ganze Zahl. Jede ganze Zahl (und ihre Negation) ist ein Teiler ihrer selbst. Durch 2 teilbare ganze Zahlen heißen gerade , nicht durch 2 teilbare ganze Zahlen heißen ungerade .

1, −1, n und − n werden als triviale Teiler von n bezeichnet . Ein Teiler von n , der kein trivialer Teiler ist, wird als nicht-trivialer Teiler (oder strikter Teiler) bezeichnet. Eine ganze Zahl ungleich null mit mindestens einem nicht trivialen Teiler wird als zusammengesetzte Zahl bezeichnet , während die Einheiten -1 und 1 und Primzahlen keine nicht trivialen Teiler haben.

Es gibt Teilbarkeitsregeln , die es erlauben, bestimmte Teiler einer Zahl an den Ziffern der Zahl zu erkennen.

Beispiele

Darstellung der Anzahl der Teiler von ganzen Zahlen von 1 bis 1000. Primzahlen haben genau 2 Teiler und stark zusammengesetzte Zahlen sind fett gedruckt.
  • 7 ist ein Teiler von 42 weil , so können wir sagen . Man kann auch sagen, dass 42 durch 7 teilbar ist, 42 ein Vielfaches von 7, 7 dividiert 42 oder 7 ein Faktor von 42 ist.
  • Die nicht-trivialen Teiler von 6 sind 2, −2, 3, −3.
  • Die positiven Teiler von 42 sind 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
  • Die Menge aller positiven Teiler von 60, , teilweise nach Teilbarkeit geordnet , hat das Hasse-Diagramm :
Gitter der Teilbarkeit von 60;  Faktoren.svg

Weitere Begriffe und Fakten

Es gibt einige elementare Regeln:

  • Wenn und , dann ist die Teilbarkeit also eine transitive Relation .
  • Wenn und , dann oder .
  • Wenn und , dann gilt ebenso wie . Wenn jedoch und , dann ist nicht immer halten (zB und aber 5 6 nicht teilen).

Wenn , und , dann . Dies wird als Lemma von Euklid bezeichnet .

Wenn eine Primzahl ist und dann oder .

Ein positiver Teiler, von dem verschieden ist, heißt a richtiger Teiler oder einaliquoter Teil von. Eine Zahl, die sich nicht gleichmäßig teilt,aber einen Rest hinterlässt, wird manchmal als an . bezeichnetaliquanter Teil von.

Eine ganze Zahl, deren einziger echter Teiler 1 ist, heißt Primzahl . Entsprechend ist eine Primzahl eine positive ganze Zahl, die genau zwei positive Faktoren hat: 1 und sich selbst.

Jeder positive Teiler von ist ein Produkt von hochgestellten Primteilern von . Dies ist eine Folge des Fundamentalsatzes der Arithmetik .

Eine Zahl heißt perfekt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, mangelhaft, wenn die Summe ihrer echten Teiler kleiner ist als und reichlich, wenn diese Summe größer ist .

Die Gesamtzahl der positiven Teiler von einem Multiplikativität , was bedeutet , dass , wenn zwei Zahlen und sind relativ prim , dann . Zum Beispiel ; die acht Teiler von 42 sind 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 und 42. Die Anzahl der positiven Teiler ist jedoch keine vollständig multiplikative Funktion: Wenn die beiden Zahlen und einen gemeinsamen Teiler haben, ist dies möglicherweise nicht der Fall sei das wahr . Die Summe der positiven Teiler von ist eine weitere multiplikative Funktion (zB ). Diese beiden Funktionen sind Beispiele für Divisorfunktionen .

Wenn die Primfaktorzerlegung von gegeben ist durch

dann ist die Anzahl der positiven Teiler von is

und jeder der Teiler hat die Form

wo für jeden

Für jede natürliche , .

Ebenfalls,

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante ist . Eine Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass eine zufällig ausgewählte positive ganze Zahl n eine durchschnittliche Anzahl von Teilern von ungefähr hat . Dies ergibt sich jedoch aus den Beiträgen von Zahlen mit "abnormal vielen" Teilern .

In abstrakter Algebra

Ringtheorie

Teilungsgitter

In Definitionen, die 0 enthalten, verwandelt die Teilbarkeitsbeziehung die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen in eine teilweise geordnete Menge : ein vollständiges Verteilungsgitter . Das größte Element dieses Gitters ist 0 und das kleinste ist 1. Die Meet-Operation ist durch den größten gemeinsamen Teiler und die Join-Operation durch das kleinste gemeinsame Vielfache gegeben . Dieses Gitter ist isomorph zum Dual des Gitters der Untergruppen der unendlichen zyklischen Gruppe .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Durbin, John R. (2009). Moderne Algebra: Eine Einführung (6. Aufl.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
  • Richard K. Guy , Ungelöste Probleme der Zahlentheorie (3. Aufl.), Springer Verlag , 2004 ISBN  0-387-20860-7 ; Abschnitt b.
  • Hardy, GH ; Wright, EM (1960). Eine Einführung in die Zahlentheorie (4. Aufl.). Oxford University Press.
  • Herstein, IN (1986), Abstrakte Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
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  • Sims, Charles C. (1984), Abstrakte Algebra: A Computational Approach , New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9