Duodezimal - Duodecimal

Das Duodezimalsystem (auch bekannt als Basis 12 , Dutzend oder selten Unziale ) ist ein Zahlensystem mit Positionsnotation , das zwölf als Basis verwendet . Die Zahl zwölf (d. h. die Zahl, die im Zahlensystem zur Basis zehn als "12" geschrieben wird) wird stattdessen als "10" im Duodezimal geschrieben (was "1 Dutzend und 0 Einheiten" bedeutet, anstatt "1 zehn und 0 Einheiten") , während die Ziffernfolge "12" "1 Dutzend und 2 Einheiten" bedeutet (dh dieselbe Zahl, die dezimal als "14" geschrieben wird). In ähnlicher Weise bedeutet im Duodezimal "100" "1 Brutto ", "1000" bedeutet "1 großes Brutto " und "0.1" bedeutet "1 Zwölftel" (anstelle ihrer dezimalen Bedeutungen "1 Hundert", "1 Tausend" und " 1 Zehntel").

Verschiedene Symbole wurden verwendet, um in Duodezimalnotation für zehn und elf zu stehen; Diese Seite verwendet A und B, wie in hexadezimal , wodurch eine duodezimale Zählung von null bis zwölf 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10 lautet.

Die Zahl Zwölf, eine überlegene, stark zusammengesetzte Zahl , ist die kleinste Zahl mit vier nicht-trivialen Faktoren (2, 3, 4, 6) und die kleinste, die alle vier Zahlen (1 bis 4) innerhalb des Subitisierungsbereichs als Faktoren enthält . und die kleinste häufige Zahl . Alle Vielfachen der Kehrwerte von 3-glatten Zahlen ( $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} a ⁄ 2 b · 3 c$ wobei $a, b, c$ ganze Zahlen sind) haben eine abschließende Darstellung in Duodezimal. Bestimmtes,+1 ⁄ 4 (0,3),+1 ⁄ 3 (0,4),+1 ⁄ 2 (0,6),+2 ⁄ 3 (0,8) und+3 ⁄ 4 (0.9) haben alle eine kurze terminierende Darstellung in Duodezimal. Es ist auch eine höhere Regelmäßigkeit in der duodezimalen Multiplikationstabelle beobachtbar. Als Ergebnis wurde Duodezimal als das optimale Zahlensystem beschrieben.

Dies wird als überlegen gegenüber der Basis 10 (die nur 2 und 5 als Faktoren hat) und auch anderen vorgeschlagenen Basen wie 16 oder 20 angesehen . Base-60 (und die weniger populäre Base-30 ) schneiden in dieser Hinsicht noch besser ab (die Kehrwerte aller 5-Glatt- Zahlen enden), aber auf Kosten unhandlicher Multiplikationstabellen und einer viel größeren Anzahl von Symbolen, die man sich merken muss.

Herkunft

In diesem Abschnitt werden Zahlen basieren auf dezimal Stellen . 10 bedeutet beispielsweise zehn , 12 bedeutet zwölf .

Sprachen mit duodezimalen Zahlensystemen sind ungewöhnlich. Sprachen im nigerianischen Mittleren Gürtel wie Janji , Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), Piti und der Nimbia-Dialekt von Gwandara ; und die Chepang-Sprache von Nepal sind dafür bekannt, Duodezimalzahlen zu verwenden.

Germanische Sprachen haben spezielle Wörter für 11 und 12, wie elf und zwölf im Englischen . Sie stammen aus dem protogermanischen * ainlif und * twalif (bedeutet jeweils eins links und zwei links ), was auf einen dezimalen statt duodezimalen Ursprung hindeutet. Das Altnordische verwendete jedoch ein duodezimales Zählsystem, wobei seine Wörter für "einhundertachtzig" 200 und "zweihundert" für 240 bedeuten. Auf den britischen Inseln überlebte diese Art des Zählens bis weit ins Mittelalter als das lange Hundert .

Historisch gesehen , Einheiten der Zeit in vielen Kulturen sind duodecimal. Es gibt zwölf Tierkreiszeichen , zwölf Monate im Jahr, und die Babylonier hatten zwölf Stunden am Tag (obwohl dies irgendwann auf 24 geändert wurde). Traditionelle chinesische Kalender , Uhren und Kompasse basieren auf den zwölf irdischen Zweigen . Es gibt 12 Zoll in einem imperialen Fuß, 12 Feinunzen in einem Troy-Pfund, 12 alte britische Pence in einem Schilling , 24 (12 × 2) Stunden in einem Tag und viele andere Dinge, die im Dutzend gezählt werden , brutto ( 144 , Quadrat .). von 12) oder großes Brutto ( 1728 , Würfel von 12). Die Römer verwendeten ein Bruchsystem basierend auf 12, einschließlich der Uncia, die sowohl die englischen Wörter ounce als auch inch wurde . Vor decimalisation , Irland und das Vereinigte Königreich verwendet , um ein gemischtes duodecimal-vigesimal Währungssystem (12 Pence = 1 Schilling, 20 Schilling oder 240 Pence zum Pfund Sterling oder irisches Pfund ), und Karl des Große ein Währungssystem festgestellt , dass hatte auch eine gemischte Basis von zwölf und zwanzig, deren Reste an vielen Orten bestehen.

Einheitentabelle ab einer Basis von 12
Relativer Wert	Französisch - Einheit der Länge	Englisch Einheit der Länge	Englische (Troy) Gewichtseinheit	Römische Gewichtseinheit	Englisch Einheit der Masse
12 ⁰	gescheckt	Fuß	Pfund	Waage
12 ^-1	Beutel	Zoll	Unze	uncia	schluchzen
12 ^-2	ligne	Leitung	2 Skrupel	2 Skrupel	Schnecke
12 ^-3	Punkt	Punkt	Samen	siliqua

Die Bedeutung von 12 wurde der Anzahl der Mondzyklen in einem Jahr zugeschrieben sowie der Tatsache, dass der Mensch 12 Fingerknochen ( Phalangen ) an einer Hand hat (drei in jedem von vier Fingern). Es ist möglich, mit dem Daumen als Zeiger bis 12 zu zählen und jeden Fingerknochen nacheinander zu berühren. Ein traditionelles Fingerzählsystem , das in vielen Regionen Asiens noch gebräuchlich ist, funktioniert auf diese Weise und könnte helfen, das Vorkommen von Zahlensystemen basierend auf 12 und 60 neben denen basierend auf 10, 20 und 5 zu erklären. normalerweise die rechte) Hand zählt wiederholt bis 12 und zeigt die Anzahl der Iterationen auf der anderen (normalerweise linken) an, bis fünf Dutzend, dh die 60, voll sind.

Notationen und Aussprachen

Transdezimale Symbole

In einem Zahlensystem muss die Basis (zwölf für Duodezimal) als 10 geschrieben werden, aber es gibt zahlreiche Vorschläge, wie man duodezimale Zehn und Elf schreibt.

Um die Eingabe auf Schreibmaschinen zu ermöglichen, werden Buchstaben wie A und B (wie in hexadezimal ), T und E (Initialen von Zehn und Elf), X und E (X von der römischen Zahl für Zehn) oder X und Z verwendet. Einige verwenden griechische Buchstaben wie δ (für griechisch δέκα 'zehn') und ε (für griechisch ένδεκα 'elf') oder τ und ε . Frank Emerson Andrews, ein früher amerikanischer Verfechter der Duodezimalzahl, schlug in seinem Buch New Numbers ein X und ℰ (Skript E, U+ 2130 ) vor und verwendete es .

Edna Kramer in ihrem 1951 Buch der Hauptstrom der Mathematik verwendet , um einen sechszackigen Stern ( Sextil ) ⚹ und einen Hash (oder Rautenzeichen) # . Die Symbole wurden gewählt, weil sie auf einigen Schreibmaschinen verfügbar waren; sie befinden sich auch auf Tastentelefonen . Diese Notation wurde in Veröffentlichungen der Dozenal Society of America ( DSA ) von 1974–2008 verwendet.

Von 2008 bis 2015 verwendete die DSA und , die von William Addison Dwiggins entwickelten Symbole .

Die Dozenal Society of Great Britain ( DSGB ) schlug Symbole und vor . Diese Notation, abgeleitet von arabischen Ziffern durch Drehung um 180°, wurde von Isaac Pitman eingeführt . Im März 2013 wurde ein Vorschlag eingereicht, die von den Dozenal Societies propagierten Ziffernformen für zehn und elf in den Unicode-Standard aufzunehmen . Von diesen wurden die britischen/Pitman-Formen zur Codierung als Zeichen an den Codepunkten U+218A ↊ TURNED DIGIT TWO und U+218B ↋ TURNED DIGIT THREE akzeptiert . Sie wurden im Juni 2015 in die Unicode 8.0- Version aufgenommen und sind in LaTeX als \textturntwound verfügbar \textturnthree.

Nachdem die Pitman-Ziffern zu Unicode hinzugefügt wurden, nahm die DSA eine Abstimmung vor und begann dann, Inhalte stattdessen unter Verwendung der Pitman-Ziffern zu veröffentlichen. Sie verwenden immer noch die Buchstaben X und E im ASCII-Text . Da die Unicode-Zeichen schlecht unterstützt werden, verwendet diese Seite "A" und "B" .

Andere Vorschläge sind kreativer oder ästhetischer; zum Beispiel verwenden viele keine arabischen Ziffern nach dem Prinzip der "separaten Identität".

Basisnotation

Es gibt auch unterschiedliche Vorschläge, wie man eine Duodezimalzahl von einer Dezimalzahl unterscheiden kann. Sie umfassen die kursive Schreibweise von Duodezimalzahlen " 54 = 64", das Hinzufügen eines "Humphrey-Punkts" (ein Semikolon anstelle eines Dezimalpunkts ) zu Duodezimalzahlen "54;6 = 64,5" oder eine Kombination aus beiden. Andere verwenden tiefgestellte oder angefügte Beschriftungen, um die Basis anzugeben, sodass mehr als dezimal und duodezimal dargestellt werden können (für einzelne Buchstaben wird 'z' von "do z enal" verwendet, da 'd' dezimal bedeuten würde) wie "54 _z = 64 _d ," "54 ₁₂ = 64 ₁₀ " oder "doz 54 = dez 64."

Aussprache

Die Dozenal Society of America schlug die Aussprache von zehn und elf als "dek" und "el" vor. Für die Namen der Zwölfkräfte gibt es zwei prominente Systeme.

Do-gro-mo- System

In diesem System wird das Präfix e - für Brüche hinzugefügt.

Duodezimal	Name	Dezimal	Duodezimalbruch	Name
1;	einer	1
10;	tun	12	0; 1	edo
100;	groß	144	0;01	Egro
1.000;	mo	1.728	0,001	emo
10.000;	do-mo	20.736	0,000,1	edo-mo
100.000;	gro-mo	248.832	0,000,01	egro-mo
1.000.000;	bi-mo	2.985.984	0,000,001	ebi-mo
10.000.000;	do-bi-mo	35.831.808	0;0,000,001	edo-bi-mo
100.000.000;	gro-bi-mo	429.981.696	0;00,000,001	egro-bi-mo
1.000.000.000;	tri-mo	5.159.780.352	0,0000,000,001	etri-mo
10.000.000.000;	do-tri-mo	61.917.364.224	0;0,0000,000,001	edo-tri-mo
100.000.000.000;	gro-tri-mo	743.008.370.688	0;00.000.000.001	egro-tri-mo
1.000.000.000.000;	quad-mo	8.916.100.448.256	0,000,0000,000,001	equad-mo
10.000.000.000.000;	do-quad-mo	106.993.205.379.072	0;0,000,0000,000,001	edo-quad-mo
100.000.000.000.000;	gro-quad-mo	1.283.918.464.548.864	0;00,000,0000,000,001	egro-quad-mo
1.000.000.000.000.000;	penta-mo	15.407.021.574.586.368	0,000,000,000,000,001	epenta-mo
10.000.000.000.000.000;	do-penta-mo	184.884.258.895.036.416	0;0,000,000,000,000,001	edo-penta-mo
100.000.000.000.000.000;	gro-penta-mo	2.218.611.106.740.436.992	0;00.000.000.000.000.001	egro-penta-mo
1.000.000.000.000.000.000;	hexa-mo	26.623.333.280.885.243.904	0,000,000,000,000,000,001	ehexa-mo

Mehrere Ziffern in dieser Reihe werden unterschiedlich ausgesprochen: 12 ist "do two"; 30 ist "drei tun"; 100 ist "gro"; BA9 ist "el gro dek do nine"; B86 ist "el gro acht mach sechs"; 8BB,15A ist "acht gro el do el mo, one gro five do dek"; und so weiter.

Systematische Dutzendnomenklatur (SDN)

Dieses System verwendet die Endung "-qua" für die positiven Potenzen von 12 und die Endung "-cia" für die negativen Potenzen von 12 und eine Erweiterung der systematischen Elementnamen der IUPAC (mit den Silben dec und lev für die zwei zusätzlichen Ziffern, die für Duodezimal erforderlich sind). ) um auszudrücken, welche Macht gemeint ist.

Duodezimal	Name	Dezimal	Duodezimalbruch	Name
1;	einer	1
10;	unqua	12	0; 1	uncia
100;	biqua	144	0;01	bicia
1.000;	triqua	1.728	0,001	tricia
10.000;	quadqua	20.736	0,000,1	Quadcia
100.000;	Pentqua	248.832	0,000,01	Pentcia
1.000.000;	hexqua	2.985.984	0,000,001	hexcia
10.000.000;	Septqua	35.831.808	0,0000,000,1	Septcia
100.000.000;	Oktqua	429.981.696	0,0000,000,01	Oktcia
1.000.000.000;	ennqua	5.159.780.352	0,0000,000,001	enncia
10.000.000.000;	decqua	61.917.364.224	0,000,0000,000,1	deccia
100.000.000.000;	levqua	743.008.370.688	0,0000,000,01	levcia
1.000.000.000.000;	unnilqua	8.916.100.448.256	0,000,0000,000,001	unnilcia
10.000.000.000.000;	ununqua	106.993.205.379.072	0.000.000.000.000,1	ununcia

Interessenvertretung und "Dozenalismus"

William James Sidis verwendete 12 als Basis für seine konstruierte Sprache Vendergood im Jahr 1906 und stellte fest, dass dies die kleinste Zahl mit vier Faktoren und ihrer Prävalenz im Handel ist.

Die Argumente für das Duodezimalsystem wurden ausführlich in Frank Emerson Andrews' Buch New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base Would Simplify Mathematics aus dem Jahr 1935 dargelegt . Emerson stellte fest, dass aufgrund der Prävalenz von Faktoren von zwölf in vielen traditionellen Gewichts- und Maßeinheiten viele der rechnerischen Vorteile, die für das metrische System beansprucht werden, entweder durch die Annahme von zehn-basierten Gewichten und Maßen oder durch die Annahme von das duodezimale Zahlensystem.

Ein Duodezimalzifferblatt wie im Logo der Dozenal Society of America, hier zur Bezeichnung von Tonarten

Sowohl die Dozenal Society of America als auch die Dozenal Society of Great Britain fördern die weit verbreitete Übernahme des Basis-Zwölf-Systems. Sie verwenden das Wort "Dozenal" anstelle von "Duodecimal", um die offenkundigere Basis-Zehn-Terminologie zu vermeiden. Die Etymologie von „dozenal“ selbst ist jedoch auch ein Ausdruck, der auf der Terminologie der Basis zehn basiert, da „dozen“ eine direkte Ableitung des französischen Wortes douzaine ist, das eine Ableitung des französischen Wortes für zwölf, douze , das vom lateinischen duodecim abstammt .

Mindestens seit 1945 haben einige Mitglieder der Dozenal Society of America und der Dozenal Society of Great Britain vorgeschlagen, dass ein treffenderes Wort "uncial" wäre. Uncial ist eine Ableitung des lateinischen Wortes uncia , was "ein Zwölftel" bedeutet, und auch die Basis-Zwölf-Entsprechung des lateinischen Wortes decima , was "ein Zehntel" bedeutet.

Der Mathematiker und Kopfrechner Alexander Craig Aitken war ein ausgesprochener Verfechter der Duodezimalzahl:

Die Duodezimaltabellen sind leicht zu beherrschen, einfacher als die Dezimaltabellen; und im Grundschulunterricht wären sie so viel interessanter, da kleine Kinder mit zwölf Stangen oder Blöcken faszinierendere Dinge finden würden als mit zehn. Jeder, der diese Tabellen im Griff hat, wird diese Berechnungen in der Duodezimalskala mehr als eineinhalbmal so schnell durchführen wie in der Dezimalskala. Dies ist meine Erfahrung; Ich bin mir sicher, dass es noch mehr die Erfahrung anderer wäre.

— AC Aitken, "Twelves and Tens" in The Listener (25. Januar 1962)

Aber der letzte quantitative Vorteil ist meiner Erfahrung nach folgender: In vielfältigen und umfangreichen Berechnungen gewöhnlicher und nicht allzu komplizierter Art, die über viele Jahre durchgeführt wurden, komme ich zu dem Schluss, dass die Effizienz des Dezimalsystems mit . bewertet werden kann etwa 65 oder weniger, wenn wir dem Duodezimal 100 zuordnen.

— AC Aitken, Der Fall gegen die Dezimalisierung (1962)

In den Medien

In "Little Twelvetoes", der amerikanischen Fernsehserie Schoolhouse Rock! porträtierte ein außerirdisches Wesen mit der Basis-Zwölf-Arithmetik, mit "dek", "el" und "doh" als Namen für zehn, elf und zwölf und Andrews' Skript-X und Skript-E für die Ziffernsymbole.

Duodezimale Maßsysteme

Die Systeme der Messung von dozenalists vorgeschlagen wurden, umfassen:

Tom Pendleburys TGM-System
Das universelle Einheitensystem von Takashi Suga
Das Primel-System von John Volan

Vergleich mit anderen Zahlensystemen

Die Zahl 12 hat sechs Faktoren, nämlich 1 , 2 , 3 , 4 , 6 und 12 , von denen 2 und 3 Primzahlen sind . Das Dezimalsystem hat nur vier Faktoren, nämlich 1 , 2 , 5 und 10 , von denen 2 und 5 Primzahlen sind.

Vigesimal (Basis 20) addiert zwei Faktoren zu denen von zehn, nämlich 4 und 20 , aber keinen zusätzlichen Primfaktor. Oktodezimal (Basis 18) addiert zwei Faktoren zu denen von sechs, nämlich 9 und 18 . Obwohl zwanzig und achtzehn 6 Faktoren haben, von denen 2 prim sind, ähnlich wie zwölf, ist es auch eine viel größere Basis, und daher sind die Ziffernmenge und die Multiplikationstabelle viel größer.

Binär hat nur zwei Faktoren, 1 und 2, wobei letzterer eine Primzahl ist. Hexadezimal (Basis 16) hat fünf Faktoren, die 4, 8 und 16 zu denen von 2 addieren , aber keine zusätzliche Primzahl. Sechzehn hat keine ungeraden Faktoren, ist also nur durch eine Potenz von 2 teilbar, und es ist auch eine viel größere Basis, und daher sind die Ziffernmenge und die Multiplikationstabelle viel größer.

Trigesimal (Basis 30) ist das kleinste System mit drei verschiedenen Primfaktoren (alle drei kleinsten Primzahlen: 2, 3 und 5) und es hat insgesamt acht Faktoren (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 , und 30). Sexagesimal – das unter anderem die alten Sumerer und Babylonier tatsächlich benutzten – fügt die vier bequemen Faktoren 4, 12, 20 und 60 hinzu, aber keine neuen Primfaktoren. Das kleinste System mit vier verschiedenen Primfaktoren ist die Basis 210 und das Muster folgt den Primorials . In allen Basissystemen gibt es Ähnlichkeiten zur Darstellung von Vielfachen von Zahlen, die eins kleiner oder eins größer als die Basis sind.

Duodezimale Multiplikationstabelle
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
2	2	4	6	8	EIN	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	EIN	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
EIN	EIN	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1

Umrechnungstabellen von und nach Dezimal

Um Zahlen zwischen Basen umzuwandeln, kann man den allgemeinen Umrechnungsalgorithmus verwenden (siehe den entsprechenden Abschnitt unter Positionsnotation ). Alternativ kann man Ziffernumwandlungstabellen verwenden. Die unten angegebenen können verwendet werden, um jede duodezimale Zahl zwischen 0,01 und BBB,BBB;BB in eine Dezimalzahl oder jede Dezimalzahl zwischen 0,01 und 999.999,99 in eine Duodezimalzahl umzuwandeln. Um sie zu verwenden, muss die angegebene Zahl zunächst in eine Summe von Zahlen mit jeweils nur einer signifikanten Ziffer zerlegt werden. Zum Beispiel:

123.456,78 = 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08

Diese Zerlegung funktioniert gleich, egal in welcher Basis die Zahl ausgedrückt wird. Isolieren Sie einfach jede Ziffer, die nicht Null ist, und füllen Sie sie mit so vielen Nullen wie nötig auf, um ihre jeweiligen Stellenwerte beizubehalten. Wenn die Ziffern der angegebenen Zahl Nullen enthalten (zB 102.304,05), werden diese bei der Ziffernzerlegung natürlich weggelassen (102.304,05 = 100.000 + 2.000 + 300 + 4 + 0,05). Dann können die Ziffernumwandlungstabellen verwendet werden, um den äquivalenten Wert in der Zielbasis für jede Ziffer zu erhalten. Wenn die angegebene Zahl duodezimal ist und die Zielbasis dezimal ist, erhalten wir:

(duodezimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0;08 = (dezimal) 248.832 + 41.472 + 5.184 + 576 + 60 + 6 + 0,58 3 333333333... + 0,0 5 5555555555.. .

Da nun die Summanden bereits zur Basis zehn konvertiert sind, wird die übliche Dezimalarithmetik verwendet, um die Addition durchzuführen und die Zahl neu zusammenzusetzen, um das Umwandlungsergebnis zu erhalten:

Duodecimal  ----->  Decimal

  100,000     =    248,832
   20,000     =     41,472
    3,000     =      5,184
      400     =        576
       50     =         60
 +      6     =   +      6
        0;7   =          0.583333333333...
        0;08  =          0.055555555555...
--------------------------------------------
  123,456;78  =    296,130.638888888888...

Das heißt, (duodezimal) 123.456,78 entspricht (dezimal) 296.130,63 8 ≈ 296.130,64

Wenn die angegebene Zahl dezimal ist und die Zielbasis Duodezimal ist, ist die Methode im Grunde dieselbe. Verwenden der Ziffernumwandlungstabellen:

(dezimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08 = (duodezimal) 49,A54 + B,6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0,8 4972 4972497249724972497... + 0 ; 0B62A68781B05915343A 0B62...

Um diese Summe zu bilden und die Zahl neu zusammenzusetzen, müssen jedoch jetzt die Additionstabellen für das Duodezimalsystem verwendet werden, anstelle der Additionstabellen für das Dezimalsystem, die die meisten Leute bereits kennen, da die Summanden jetzt zur Basis zwölf sind und so die Arithmetik mit ihnen muss auch duodezimal sein. In Dezimal ist 6 + 6 gleich 12, aber in Duodezimal gleich 10; Wenn man also Dezimalarithmetik mit Duodezimalzahlen verwendet, würde man zu einem falschen Ergebnis kommen. Wenn man die Arithmetik in Duodezimal richtig macht, erhält man das Ergebnis:

  Decimal  ----->  Duodecimal

  100,000     =     49,A54
   20,000     =      B,6A8
    3,000     =      1,8A0
      400     =        294
       50     =         42
 +      6     =   +      6
        0;7   =          0.849724972497249724972497...
        0;08  =          0.0B62A68781B05915343A0B62...
--------------------------------------------------------
  123,456.78  =     5B,540.943A0B62A68781B05915343A...

Das heißt, (dezimal) 123.456,78 entspricht (duodezimal) 5B,540;9 43A0B62A68781B059153 ... ≈ 5B,540;94

Umwandlung von Duodezimal in Dezimalziffer

Duo.	Dezimal	Duo.	Dezimal	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.
1.000.000	2.985.984	100.000	248.832	10.000	20.736	1.000	1.728	100	144	10	12	1	1	0; 1	0,08 3	0;01	0,0069 4
2.000.000	5.971.968	200.000	497.664	20.000	41.472	2.000	3.456	200	288	20	24	2	2	0;2	0,1 6	0;02	0,013 8
3.000.000	8.957.952	300.000	746.496	30.000	62.208	3.000	5.184	300	432	30	36	3	3	0;3	0,25	0;03	0,0208 3
4.000.000	11.943.936	400.000	995.328	40.000	82.944	4.000	6.912	400	576	40	48	4	4	0;4	0. 3	0;04	0,02 7
5.000.000	14.929.920	500.000	1.244.160	50.000	103.680	5.000	8.640	500	720	50	60	5	5	0,5	0,41 6	0;05	0,0347 2
6.000.000	17.915.904	600.000	1.492.992	60.000	124.416	6.000	10,368	600	864	60	72	6	6	0;6	0,5	0;06	0,041 6
7.000.000	20.901.888	700.000	1.741.824	70.000	145.152	7.000	12.096	700	1.008	70	84	7	7	0; 7	0,58 3	0;07	0,0486 1
8.000.000	23.887.872	800.000	1.990.656	80.000	165.888	8.000	13.824	800	1.152	80	96	8	8	0,8	0. 6	0;08	0.0 5
9.000.000	26.873.856	900.000	2.239.488	90.000	186.624	9.000	15.552	900	1.296	90	108	9	9	0,9	0,75	0;09	0,0625
A,000,000	29.859.840	A00.000	2.488.320	A0.000	207.360	1.000	17.280	A00	1.440	A0	120	EIN	10	0;A	0,8 3	0,0A	0,069 4
B,000,000	32.845.824	B00.000	2.737.152	B0.000	228.096	B.000	19.008	B00	1.584	B0	132	B	11	0;B	0,91 6	0,0B	0,0763 8

Umwandlung von Dezimal- in Duodezimalziffern

Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duo.	Dez.	Duodezimal	Dez.	Duodezimal
1.000.000	402.854	100.000	49,A54	10.000	5.954	1.000	6B4	100	84	10	EIN	1	1	0,1	0;1 2497	0,01	0; 0 15343A0B62A68781B059
2.000.000	805,4A8	200.000	97,8A8	20.000	B,6A8	2.000	1,1A8	200	148	20	18	2	2	0,2	0; 2497	0,02	0; 0 2A68781B05915343A0B6
3.000.000	1.008.140	300.000	125.740	30.000	15.440	3.000	1,8A0	300	210	30	26	3	3	0,3	0;3 7249	0,03	0; 0 43A0B62A68781B059153
4.000.000	1,40A,994	400.000	173.594	40.000	1B,194	4.000	2.394	400	294	40	34	4	4	0,4	0; 4972	0,04	0; 05915343A0B62A68781B
5.000.000	1.811.628	500.000	201.428	50.000	24,B28	5.000	2,A88	500	358	50	42	5	5	0,5	0;6	0,05	0; 0 7249
6.000.000	2.014.280	600.000	24B,280	60.000	2A,880	6.000	3.580	600	420	60	50	6	6	0,6	0; 7249	0,06	0; 0 8781B05915343A0B62A6
7.000.000	2.416,B14	700.000	299.114	70.000	34.614	7.000	4.074	700	4A4	70	5A	7	7	0,7	0; 8 4972	0,07	0; 0 A0B62A68781B05915343
8.000.000	2.819.768	800.000	326,B68	80.000	3A,368	8.000	4.768	800	568	80	68	8	8	0.8	0; 9724	0,08	0; 0B62A68781B05915343A
9.000.000	3.020.400	900.000	374,A00	90.000	44.100	9.000	5.260	900	630	90	76	9	9	0,9	0;A 9724	0,09	0;1 0B62A68781B05915343A

Teilbarkeitsregeln

(In diesem Abschnitt werden alle Zahlen mit Duodezimal geschrieben)

In diesem Abschnitt geht es um die Teilbarkeitsregeln in Duodezimal.

1

Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar .

2

Wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist die Einheitsziffer dieser Zahl 0, 2, 4, 6, 8 oder A.

3

Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, ist die Einheitsziffer dieser Zahl 0, 3, 6 oder 9.

4

Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist die Einheitsziffer dieser Zahl 0, 4 oder 8.

5

Um die Teilbarkeit durch 5 zu testen, verdoppeln Sie die Einerstelle und subtrahieren das Ergebnis von der Zahl, die aus den restlichen Ziffern gebildet wird. Wenn das Ergebnis durch 5 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 5 teilbar.

Diese Regel kommt von 21(5*5)

Beispiele:
13 Regel => |1-2*3| = 5, die durch 5 teilbar ist.
2BA5- Regel => |2BA-2*5| = 2B0(5*70), die durch 5 teilbar ist (oder die Regel auf 2B0 anwenden).

ODER

Um die Teilbarkeit durch 5 zu testen, subtrahieren Sie die Einerstelle und das Dreifache des Ergebnisses von der Zahl, die aus den restlichen Ziffern gebildet wird. Wenn das Ergebnis durch 5 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 5 teilbar.

Diese Regel kommt von 13(5*3)

Beispiele:
13 Regel => |3-3*1| = 0 was durch 5 teilbar ist.
2BA5 Regel => |5-3*2BA| = 8B1(5*195), die durch 5 teilbar ist (oder die Regel auf 8B1 anwenden).

ODER

Bilden Sie die abwechselnde Summe der Zweierblöcke von rechts nach links. Wenn das Ergebnis durch 5 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 5 teilbar.

Diese Regel kommt von 101, da 101 = 5*25, also kann diese Regel auch auf die Teilbarkeit durch 25 getestet werden.

Beispiel:

97,374,627 => 27-46+37-97 = -7B was durch 5 teilbar ist.

6

Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, ist die Einheitsziffer dieser Zahl 0 oder 6.

7

Um die Teilbarkeit durch 7 zu testen, verdreifache die Einerstelle und addiere das Ergebnis zu der Zahl, die aus den restlichen Ziffern gebildet wird. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 7 teilbar.

Diese Regel kommt von 2B(7*5)

Beispiele:
12 Regel => |3*2+1| = 7, was durch 7 teilbar ist.
271B Regel => |3*B+271| = 29A(7*4A), die durch 7 teilbar ist (oder die Regel auf 29A anwenden).

ODER

Um die Teilbarkeit durch 7 zu testen, subtrahiere die Einerstelle und verdopple das Ergebnis von der Zahl, die aus den restlichen Ziffern gebildet wird. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 7 teilbar.

Diese Regel kommt von 12(7*2)

Beispiele:
12 Regel => |2-2*1| = 0 was durch 7 teilbar ist.
271B Regel => |B-2*271| = 513(7*89), was durch 7 teilbar ist (oder wende die Regel auf 513) an.

ODER

Um die Teilbarkeit durch 7 zu testen, 4 mal die Einerstelle und das Ergebnis von der aus den restlichen Ziffern gebildeten Zahl subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 7 teilbar.

Diese Regel kommt von 41(7*7)

Beispiele:
12 Regel => |4*2-1| = 7, was durch 7 teilbar ist.
271B Regel => |4*B-271| = 235(7*3B), die durch 7 teilbar ist (oder die Regel auf 235) anwenden.

ODER

Bilden Sie die abwechselnde Summe der Dreierblöcke von rechts nach links. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 7 teilbar.

Diese Regel kommt von 1001, da 1001 = 7*11*17, also kann diese Regel auch auf die Teilbarkeit durch 11 und 17 getestet werden.

Beispiel:

386.967.443 => 443-967+386 = -168 was durch 7 teilbar ist.

8

Wenn die aus den letzten 2 Ziffern der angegebenen Zahl gebildete 2-stellige Zahl durch 8 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 8 teilbar.

Beispiel: 1B48, 4120

     rule => since 48(8*7) divisible by 8, then 1B48 is divisible by 8.
     rule => since 20(8*3) divisible by 8, then 4120 is divisible by 8.

9

Wenn die zweistellige Zahl, die aus den letzten 2 Ziffern der angegebenen Zahl gebildet wird, durch 9 teilbar ist, dann ist die angegebene Zahl durch 9 teilbar.

Beispiel: 7423, 8330

     rule => since 23(9*3) divisible by 9, then 7423 is divisible by 9.
     rule => since 30(9*4) divisible by 9, then 8330 is divisible by 9.

EIN

Wenn die Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, ist die Zahl durch A teilbar .

B

Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch B teilbar ist, dann ist die Zahl durch B teilbar (das entspricht dem Auswerfen von Neunen in Dezimalzahlen).

Beispiel: 29, 61B13

     rule => 2+9 = B which is divisible by B, then 29 is divisible by B.
     rule => 6+1+B+1+3 = 1A which is divisible by B, then 61B13 is divisible by B.

10

Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, ist die Einheitsziffer dieser Zahl 0.

11

Summiere die alternativen Ziffern und subtrahiere die Summen. Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist, ist die Zahl durch 11 teilbar (das Äquivalent der Teilbarkeit durch elf in Dezimal).

Beispiel: 66, 9427

     rule => |6-6| = 0 which is divisible by 11, then 66 is divisible by 11.
     rule => |(9+2)-(4+7)| = |A-A| = 0 which is divisible by 11, then 9427 is divisible by 11.

12

Wenn die Zahl durch 2 und 7 teilbar ist, ist die Zahl durch 12 teilbar .

13

Wenn die Zahl durch 3 und 5 teilbar ist, ist die Zahl durch 13 teilbar .

14

Wenn die zweistellige Zahl, die aus den letzten 2 Ziffern der angegebenen Zahl gebildet wird, durch 14 teilbar ist, ist die angegebene Zahl durch 14 teilbar.

Beispiel: 1468, 7394

     rule => since 68(14*5) divisible by 14, then 1468 is divisible by 14.
     rule => since 94(14*7) divisible by 14, then 7394 is divisible by 14.

Brüche und irrationale Zahlen

Brüche

Duodezimalen Fraktionen können einfach sein:

1/2 = 0;6
1/3 = 0;4
1/4 = 0;3
1/6 = 0;2
1/8 = 0;16
1/9 = 0;14
1/10 = 0;1 (das ist ein Zwölftel, 1/EIN ist ein Zehntel)
1/14 = 0;09 (dies ist ein Sechzehntel, 1/12 ist ein vierzehnter)

oder kompliziert:

1/5 = 0;249724972497... wiederkehrend (auf 0,24A gerundet)
1/7 = 0;186A35186A35... wiederkehrende (auf 0,187 gerundet)
1/EIN = 0;1249724972497... wiederkehrende (auf 0,125 gerundet)
1/B = 0;111111111111... wiederkehrende (auf 0,111 gerundet)
1/11 = 0;0B0B0B0B0B0B... wiederkehrend (auf 0.0B1 gerundet)
1/12 = 0;0A35186A35186... wiederkehrende (auf 0.0A3 gerundet)
1/13 = 0,0972497249724... wiederkehrende (auf 0,097 gerundet)

Beispiele in duodezimal	Dezimaläquivalent
1 × (5/8) = 0,76	1 × (5/8) = 0,625
100 × (5/8) = 76	144 × (5/8) = 90
576/9 = 76	810/9 = 90
400/9 = 54	576/9 = 64
1A.6 + 7.6 = 26	22,5 + 7,5 = 30

Wie in wiederkehrenden Dezimalzahlen erklärt , kann immer dann, wenn ein irreduzibler Bruch in Radix-Point- Notation in einer beliebigen Basis geschrieben wird, der Bruch genau dann ausgedrückt (terminiert) werden, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren der Basis sind.

Somit enden im Dezimalsystem (= 2 × 5) Brüche, deren Nenner nur aus Vielfachen von 2 und 5 bestehen: 1/8 = 1/(2×2×2), 1/20 = 1/(2×2×5) und 1/500 = 1/(2×2×5×5×5) kann genau als 0,125, 0,05 bzw. 0,002 ausgedrückt werden. 1/3 und 1/7, jedoch wiederkehren (0,333... und 0,142857142857...).

Im Duodezimalsystem (= 2 × 2 × 3), 1/8 ist genau; 1/20 und 1/500 wiederkehren, weil sie 5 als Faktor enthalten; 1/3ist genau; und1/7 wiederholt sich, genau wie bei dezimal.

Die Anzahl der Nenner, die terminierende Brüche innerhalb einer gegebenen Anzahl von Stellen, sagen wir n , in einer Basis b ergeben, ist die Anzahl der Faktoren (Teiler) von b ⁿ , der n- ten Potenz der Basis b (obwohl dies den Teiler 1 einschließt. die keine Brüche ergibt, wenn sie als Nenner verwendet wird). Die Anzahl der Faktoren von b ⁿ wird durch seine Primfaktorzerlegung gegeben.

Für dezimal 10 ⁿ = 2 ⁿ × 5 ⁿ . Die Anzahl der Teiler wird gefunden, indem zu jedem Exponenten jeder Primzahl eins addiert und die resultierenden Größen miteinander multipliziert werden, sodass die Anzahl der Faktoren von 10 ⁿ ( n + 1) ( n + 1) = ( n + 1) ^{2 ist} .

Zum Beispiel ist die Zahl 8 ein Faktor von 10 ³ (1000), sodass 1/8 und andere Brüche mit einem Nenner von 8 nicht mehr als 3 Nachkommastellen benötigen, um zu enden. 5/8 = 0,625 ₁₀

Für Duodezimal, 10 ⁿ = 2 ^{2 n} × 3 ⁿ . Dies hat (2 n + 1) ( n + 1) Teiler. Der Stichprobennenner von 8 ist ein Faktor eines Bruttowerts (12 ² = 144 in Dezimal), sodass Achtel nicht mehr als zwei duodezimale Nachkommastellen benötigen, um zu terminieren. 5/8 = 0,76 ₁₂

Da sowohl zehn als auch zwölf zwei eindeutige Primfaktoren haben, wächst die Anzahl der Teiler von b ⁿ für b = 10 oder 12 quadratisch mit dem Exponenten n (mit anderen Worten in der Größenordnung von n ² ).

Wiederkehrende Ziffern

Die Dozenal Society of America argumentiert, dass Faktoren von 3 häufiger bei realen Divisionsproblemen anzutreffen sind als Faktoren von 5. Daher tritt in praktischen Anwendungen das Problem der Wiederholung von Dezimalzahlen weniger häufig auf, wenn die Duodezimalnotation verwendet wird. Befürworter von Duodezimalsystemen argumentieren, dass dies insbesondere für Finanzrechnungen gelte, bei denen oft die zwölf Monate des Jahres in die Berechnungen eingehen.

Wenn jedoch die wiederkehrenden Fraktionen können in duodecimal Notation auftreten, sind sie weniger wahrscheinlich einen sehr kurzen Zeitraum als in Dezimalschreibweise haben, denn 12 (zwölf) zwischen zwei sind Primzahlen , 11 (elf) und 13 (dreizehn), während zehn ist neben der zusammengesetzten Zahl 9 . Nichtsdestotrotz hilft eine kürzere oder längere Periode nicht dem Hauptproblem, dass man für solche Brüche in der gegebenen Basis keine endliche Darstellung erhält (also Rundung , die Ungenauigkeiten einführt, ist notwendig, um sie in Berechnungen zu behandeln) und insgesamt hat es eher mit unendlich wiederkehrenden Ziffern zu tun, wenn Brüche dezimal als duodezimal ausgedrückt werden, da jede dritte aufeinanderfolgende Zahl den Primfaktor 3 in ihrer Faktorisierung enthält, während nur jede fünfte den Primfaktor 5 enthält . Alle anderen Primfaktoren außer 2 werden weder von zehn noch von zwölf geteilt, sodass sie die relative Wahrscheinlichkeit, auf wiederkehrende Ziffern zu treffen, nicht beeinflussen (jeder irreduzible Bruch, der einen dieser anderen Faktoren im Nenner enthält, wird in beiden Basen wiederkehren).

Außerdem kommt der Primfaktor 2 bei der Faktorisierung von zwölf zweimal vor, während er bei der Faktorisierung von zehn nur einmal vorkommt; Das bedeutet, dass die meisten Brüche, deren Nenner Zweierpotenzen sind, eine kürzere, bequemere abschließende Darstellung in Duodezimal als in Dezimal haben:

1/(2 ² ) = 0,25 ₁₀ = 0,3 ₁₂
1/(2 ³ ) = 0,125 ₁₀ = 0,16 ₁₂
1/(2 ⁴ ) = 0,0625 ₁₀ = 0,09 ₁₂
1/(2 ⁵ ) = 0,03125 ₁₀ = 0,046 ₁₂

Fraktion	Primfaktoren des Nenners	Positionsdarstellung	Positionsdarstellung	Primfaktoren des Nenners	Fraktion
Dezimalbasis Primfaktoren der Basis: 2 , 5 Primfaktoren einer unter der Basis: 3 Primfaktoren einer über der Basis: 11 Alle anderen Primzahlen: 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31			Duodezimalbasis Primfaktoren der Basis: 2 , 3 Primfaktoren einer unter der Basis: B Primfaktoren einer über der Basis: 11 Alle anderen Primzahlen: 5 , 7 , 15 , 17 , 1B , 25 , 27
1/2	2	0,5	0;6	2	1/2
1/3	3	0. 3	0;4	3	1/3
1/4	2	0,25	0;3	2	1/4
1/5	5	0,2	0; 2497	5	1/5
1/6	2 , 3	0,1 6	0;2	2 , 3	1/6
1/7	7	0. 142857	0; 186A35	7	1/7
1/8	2	0,125	0;16	2	1/8
1/9	3	0. 1	0,14	3	1/9
1/10	2 , 5	0,1	0;1 2497	2 , 5	1/A
1/11	11	0. 09	0; 1	B	1/B
1/12	2 , 3	0,08 3	0; 1	2 , 3	1/10
1/13	13	0. 076923	0; 0B	11	1/11
1/14	2 , 7	0.0 714285	0; 0 A35186	2 , 7	1/12
1/15	3 , 5	0.0 6	0; 0 9724	3 , 5	1/13
1/16	2	0,0625	0;09	2	1/14
1/17	17	0. 0588235294117647	0; 08579214B36429A7	fünfzehn	1/15
1/18	2 , 3	0.0 5	0;08	2 , 3	1/16
1/19	19	0. 052631578947368421	0; 076B45	17	1/17
1/20	2 , 5	0,05	0; 0 7249	2 , 5	1/18
1/21	3 , 7	0. 047619	0; 0 6A3518	3 , 7	1/19
1/22	2 , 11	0,0 45	0,0 6	2 , B	1/1A
1/23	23	0. 0434782608695652173913	0; 06316948421	1B	1/1B
1/24	2 , 3	0,041 6	0;06	2 , 3	1/20
1/25	5	0,04	0; 05915343A0B62A68781B	5	1/21
1/26	2 , 13	0.0 384615	0,0 56	2 , 11	1/22
1/27	3	0. 037	0.054	3	1/23
1/28	2 , 7	0,03 571428	0; 0 5186A3	2 , 7	1/24
1/29	29	0. 0344827586206896551724137931	0; 04B7	25	1/25
1/30	2 , 3 , 5	0.0 3	0; 0 4972	2 , 3 , 5	1/26
1/31	31	0. 032258064516129	0; 0478AA093598166B74311B28623A55	27	1/27
1/32	2	0,03125	0,046	2	1/28
1/33	3 , 11	0. 03	0,0 4	3 , B	1/29
1/34	2 , 17	0.0 2941176470588235	0; 0 429A708579214B36	2 , 15	1/2A
1/35	5 , 7	0.0 285714	0; 0414559B3931	5 , 7	1/2B
1/36	2 , 3	0,02 7	0;04	2 , 3	1/30

Die duodezimale Periodenlänge von 1/ n beträgt (in Basis 10)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (Sequenz A246004 im OEIS )

Die duodezimale Periodenlänge von 1/( n- te Primzahl) ist (in Basis 10)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (Sequenz A246489 im OEIS )

Kleinste Primzahl mit Duodezimalperiode n sind (zur Basis 10)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (Sequenz A252170 im OEIS )

Irrationale Zahlen

Die Darstellungen irrationaler Zahlen in jedem Positionszahlensystem (einschließlich Dezimal- und Duodezimalzahlen) enden weder noch wiederholen sie . In der folgenden Tabelle sind die ersten Ziffern für einige wichtige algebraische und transzendente Zahlen sowohl dezimal als auch duodezimal angegeben.

Algebraische irrationale Zahl	In Dezimalzahl	Im Duodezimal
√ 2 , die Quadratwurzel von 2	1.414213562373...	1;4B79170A07B8...
$φ$ (phi), der goldene Schnitt = ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.618033988749...	1;74BB6772802A...
Transzendente Zahl	In Dezimalzahl	Im Duodezimal
$π$ (pi), das Verhältnis des Umfangs eines Kreiseszu seinem Durchmesser	3.141592653589...	3;184809493B91...
$e$ , die Basis des natürlichen Logarithmus	2.718281828459...	2,875236069821...

Siehe auch

Senar (Basis 6)
Dezimal (Basis 10)
Hexadezimal (Basis 16)
Vigesimal (Basis 20)
Sexagesimal (Basis 60)

Verweise

Weiterlesen

Savard, John JG (2018) [2016]. "Basis wechseln" . quadibloc . Archiviert vom Original am 2018-07-17 . Abgerufen 2018-07-17 .
Savard, John JG (2018) [2005]. "Computerarithmetik" . quadibloc . Die Anfänge von Hexadezimal. Archiviert vom Original am 2018-07-16 . Abgerufen 2018-07-16 . (NB. Enthält auch Informationen zu Duodezimaldarstellungen.)

Externe Links

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Umwandlung von Duodezimal in Dezimalziffer

Umwandlung von Dezimal- in Duodezimalziffern

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Brüche und irrationale Zahlen

Brüche

Wiederkehrende Ziffern

Irrationale Zahlen

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×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
2	2	4	6	8	EIN	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	EIN	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
EIN	EIN	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
2	2	4	6	8	EIN	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	EIN	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
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1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B
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8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
EIN	EIN	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1